Номер 10, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10. Напишите формулу нахождения корней квадратного уравнения. Что называется дискриминантом? Приведите пример.

Формула нахождения корней квадратного уравнения

Квадратное уравнение в общем виде записывается как $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a, b, c$ — числовые коэффициенты, причём $a \neq 0$. Корни этого уравнения (его решения) можно найти с помощью специальной формулы.

Ответ: Формула для нахождения корней квадратного уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Что называется дискриминантом

Дискриминантом квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ называется выражение, которое находится под знаком квадратного корня в формуле корней. Он обозначается буквой $D$. Дискриминант (от лат. discriminans — «различающий») используется для определения количества действительных корней уравнения:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней (его корни являются комплексными числами).

Ответ: Дискриминант — это выражение, вычисляемое по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Пример

Рассмотрим решение квадратного уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
В данном уравнении коэффициенты равны: $a=2$, $b=-7$, $c=3$.
1. Сначала вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
2. Поскольку $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
3. Теперь найдем сами корни, используя значение дискриминанта и формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

Ответ: Корни уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$ равны $3$ и $0.5$.