Номер 12, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

12. Как можно устно найти корни квадратного уравнения в случаях, когда $a \pm b + c = 0$? Приведите пример.

Для устного нахождения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ в случаях, когда коэффициенты связаны определенными соотношениями, можно использовать следующие правила. Эти правила позволяют найти один корень мгновенно, а второй — через простую формулу, вытекающую из теоремы Виета.

Случай 1: $a + b + c = 0$
Если сумма всех коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то один из его корней всегда равен $1$, а второй корень равен $\frac{c}{a}$.

Обоснование:
Подставим значение $x = 1$ в левую часть уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c$.
Поскольку по условию $a + b + c = 0$, то $x_1 = 1$ является корнем данного уравнения. Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно $\frac{c}{a}$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
$1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
$x_2 = \frac{c}{a}$

Пример:
Решим уравнение $5x^2 - 8x + 3 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a = 5$, $b = -8$, $c = 3$.
Проверим сумму коэффициентов: $a + b + c = 5 + (-8) + 3 = 0$.
Так как сумма равна нулю, первый корень $x_1 = 1$.
Второй корень $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{3}{5}$.

Случай 2: $a - b + c = 0$
Если в квадратном уравнении второй коэффициент равен сумме первого и третьего коэффициентов ($b = a + c$), что равносильно условию $a - b + c = 0$, то один из его корней всегда равен $-1$, а второй корень равен $-\frac{c}{a}$.

Обоснование:
Подставим значение $x = -1$ в левую часть уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = a - b + c$.
Поскольку по условию $a - b + c = 0$, то $x_1 = -1$ является корнем данного уравнения. Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно $\frac{c}{a}$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
$(-1) \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
$x_2 = -\frac{c}{a}$

Пример:
Решим уравнение $2x^2 + 9x + 7 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a = 2$, $b = 9$, $c = 7$.
Проверим условие: $a - b + c = 2 - 9 + 7 = 0$. (Или $a+c = 2+7 = 9 = b$).
Так как условие выполняется, первый корень $x_1 = -1$.
Второй корень $x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{7}{2}$.
Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{7}{2}$.