Номер 8, страница 4 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8. Перечислите свойства функции $y = \sqrt{x}$ и постройте ее график.

Свойства функции $y = \sqrt{x}$

1. Область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции $D(y) = [0; +\infty)$.
2. Область значений. Арифметический квадратный корень по определению принимает только неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$. Область значений функции $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции и точки пересечения с осями. Чтобы найти нули, решим уравнение $y=0$: $\sqrt{x} = 0$, откуда $x=0$. График функции пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0;0)$.
4. Четность и нечетность. Область определения $D(y) = [0; +\infty)$ не является симметричной относительно нуля, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).
5. Промежутки монотонности. Функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Для любых $x_1$ и $x_2$ из $[0; +\infty)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$.
6. Экстремумы функции. Так как функция монотонно возрастает, она не имеет точек локального максимума. В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения, $y_{min} = 0$. Точка $(0;0)$ является точкой глобального минимума.
7. Выпуклость и вогнутость. График функции является выпуклым вверх (или вогнутым) на всей области определения $(0; +\infty)$.

Построение графика функции $y = \sqrt{x}$

Для построения графика найдем координаты нескольких опорных точек, выбирая значения $x$, из которых легко извлекается квадратный корень:

- при $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$, точка $(0;0)$;
- при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$, точка $(1;1)$;
- при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$, точка $(4;2)$;
- при $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$, точка $(9;3)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы $x=y^2$, расположенную в первой координатной четверти.

Ответ:

Основные свойства функции $y=\sqrt{x}$:
- Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
- Нули функции: $x=0$.
- Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
- Монотонность: строго возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$.
- Экстремумы: точка глобального минимума $(0;0)$.

График функции $y=\sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти, как показано на рисунке выше.