Страница 4 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что называется квадратным корнем? Приведите пример.

1.Квадратным корнем из числа $a$ называется такое число $x$, квадрат которого (результат умножения на самого себя) равен $a$. Это определение можно записать в виде уравнения: $x^2 = a$.

Например, для числа $a = 16$ квадратными корнями будут числа $x = 4$ и $x = -4$, поскольку $4^2 = 16$ и $(-4)^2 = 16$.

Важно различать два понятия:
- Алгебраический квадратный корень. В общем случае у любого положительного числа есть два квадратных корня, которые равны по модулю, но противоположны по знаку. У нуля один корень (это 0). В множестве действительных чисел квадратного корня из отрицательного числа не существует.
- Арифметический квадратный корень. Это неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа. Он обозначается знаком радикала $\sqrt{a}$. Таким образом, выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл только при $a \ge 0$, и по определению $\sqrt{a} \ge 0$ и $(\sqrt{a})^2 = a$.

В школьном курсе математики под "квадратным корнем" чаще всего понимают именно арифметический квадратный корень.

Пример:
Найти квадратный корень из числа 64.
- Алгебраические квадратные корни из 64 — это числа 8 и -8, так как $8^2 = 64$ и $(-8)^2 = 64$.
- Арифметический квадратный корень из 64 — это только положительное значение, то есть 8. Запись: $\sqrt{64} = 8$.

Ответ: Квадратным корнем из числа $a$ называется число, которое при возведении в квадрат дает число $a$. Например, квадратными корнями из числа 25 являются 5 и -5. Арифметический квадратный корень из 25, обозначаемый как $\sqrt{25}$, равен 5.

2. Что называется арифметическим квадратным корнем?
Какие его свойства вы знаете?

Что называется арифметическим квадратным корнем?

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.
Обозначается арифметический квадратный корень символом $\sqrt{}$. Таким образом, запись $\sqrt{a} = b$ означает, что одновременно выполняются два условия:
1. $b \ge 0$ (значение корня — неотрицательное число).
2. $b^2 = a$ (квадрат этого числа равен подкоренному выражению).
Из определения следует, что подкоренное выражение $a$ также должно быть неотрицательным ($a \ge 0$), так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным.
Например, $\sqrt{36} = 6$, потому что $6 \ge 0$ и $6^2 = 36$.
Важно отметить, что, хотя и $(-6)^2 = 36$, число $-6$ не является арифметическим квадратным корнем, так как оно отрицательное. Выражение $\sqrt{-16}$ не имеет смысла в области действительных чисел, потому что нельзя найти такое действительное число, квадрат которого был бы равен $-16$.

Ответ: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Какие его свойства вы знаете?

Существует несколько основных свойств арифметического квадратного корня, которые используются для упрощения выражений. Для всех свойств предполагается, что подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатели не равны нулю.

1. Корень из произведения
Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.
Для $a \ge 0$ и $b \ge 0$: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Пример: $\sqrt{144} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3 \cdot 4 = 12$.

2. Корень из частного (дроби)
Корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
Для $a \ge 0$ и $b > 0$: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
Пример: $\sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \frac{5}{7}$.

3. Корень из квадрата и другой четной степени
Для любого действительного числа $a$ верно тождество: $\sqrt{a^2} = |a|$.
Использование модуля обязательно, так как результат извлечения арифметического корня должен быть неотрицательным.
Пример: $\sqrt{(-10)^2} = \sqrt{100} = 10$, что равно $|-10|$. Если бы мы не использовали модуль, мы бы получили неверный результат $-10$.
В общем виде: для любого натурального $n$: $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$.

4. Возведение корня в квадрат
При возведении арифметического квадратного корня в квадрат получается подкоренное выражение.
Для $a \ge 0$: $(\sqrt{a})^2 = a$.
Пример: $(\sqrt{7})^2 = 7$.

5. Сравнение корней
Из двух неотрицательных чисел большему числу соответствует больший арифметический квадратный корень, и наоборот.
Если $a > b \ge 0$, то $\sqrt{a} > \sqrt{b}$.
Пример: Так как $17 > 16$, то $\sqrt{17} > \sqrt{16}$, то есть $\sqrt{17} > 4$.

6. Вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня
Вынесение: $\sqrt{a^2 \cdot b} = |a|\sqrt{b}$ (при $b \ge 0$).
Пример: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.
Внесение: $c \cdot \sqrt{b} = \sqrt{c^2 \cdot b}$ (при $c \ge 0, b \ge 0$).
Пример: $5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.

Ответ: Основные свойства включают правила для корня из произведения, дроби и степени ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$; $\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}$; $\sqrt{a^2} = |a|$), а также тождество $(\sqrt{a})^2 = a$ и правила для сравнения корней, вынесения и внесения множителя.

3. Какие числа называются иррациональными? Приведите примеры.

Иррациональные числа — это действительные (вещественные) числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Ключевой особенностью иррациональных чисел является их десятичное представление: оно всегда является бесконечной непериодической дробью. Это означает, что последовательность цифр после запятой никогда не заканчивается и не содержит повторяющегося блока цифр (периода). Этим они отличаются от рациональных чисел, которые представляются либо конечными, либо периодическими десятичными дробями.

Примеры иррациональных чисел:

1. Корни из натуральных чисел, не являющихся точными степенями целых чисел. Например: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt[5]{17}$.
Например, $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$

2. Всемирно известные математические константы:
- Число Пи ($\pi$) — отношение длины окружности к её диаметру. $\pi \approx 3.14159265...$
- Число Эйлера ($e$) — основание натурального логарифма. $e \approx 2.71828182...$
- Золотое сечение ($\phi$) — $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398...$

3. Многие логарифмы, например, $\log_{2}{3}$, $\ln{2}$.

Ответ: Иррациональные числа — это действительные числа, которые не могут быть выражены в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$ (где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число) и имеют бесконечное непериодическое десятичное представление. Примеры: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$, $\log_{2}3$.

4. Какие числа называются действительными и как вы понимаете множество действительных чисел?

Какие числа называются действительными

Действительными (или вещественными) числами называются все числа, которые можно расположить на числовой прямой. Множество действительных чисел, обозначаемое символом $\mathbb{R}$, является объединением множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел.

1. Рациональные числа ($\mathbb{Q}$)
Это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число (принадлежит множеству $\mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральное число (принадлежит множеству $\mathbb{N}$). В виде десятичной дроби рациональные числа являются либо конечными, либо бесконечными периодическими.
К рациональным числам относятся:
- Натуральные числа ($\mathbb{N}$): $1, 2, 3, 100, ...$
- Целые числа ($\mathbb{Z}$): $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$
- Дробные числа: $\frac{1}{2} = 0.5$; $\quad -\frac{3}{4} = -0.75$; $\quad \frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$.

2. Иррациональные числа ($\mathbb{I}$)
Это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. В виде десятичной дроби они являются бесконечными непериодическими.
Известные примеры иррациональных чисел:
- Число $\pi$ (отношение длины окружности к её диаметру): $\pi \approx 3.14159265...$
- Число $e$ (основание натурального логарифма): $e \approx 2.71828182...$
- Корни из чисел, не являющихся точными квадратами: $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$, $\sqrt{3}$ и т.д.

Таким образом, множество действительных чисел $\mathbb{R}$ — это совокупность всех рациональных и иррациональных чисел: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$.

Ответ: Действительные числа — это все рациональные и иррациональные числа вместе взятые, то есть все числа, которые можно расположить на числовой прямой.

Как вы понимаете множество действительных чисел

Понимание множества действительных чисел основывается на его ключевых свойствах и концепциях:

1. Геометрическая модель (числовая прямая). Множество действительных чисел можно наглядно представить в виде бесконечной прямой линии. Каждой точке этой прямой соответствует ровно одно действительное число, и каждому действительному числу — ровно одна точка. Это взаимно-однозначное соответствие помогает визуализировать упорядоченность и непрерывность чисел. На рисунке ниже показана числовая прямая с целыми числами, а также отмечены положения иррациональных чисел: красной точкой — число $\sqrt{2}$, а синей — число $\pi$.

2. Свойство непрерывности (полноты). Это фундаментальное отличие действительных чисел от рациональных. На числовой прямой, состоящей только из рациональных чисел, существуют "пробелы" или "дыры" — места, где должны находиться иррациональные числа. Множество действительных чисел заполняет все эти пробелы, образуя сплошную, непрерывную линию. Это свойство означает, что любой отрезок на числовой прямой, как бы мал он ни был, содержит действительные числа. Непрерывность является основой математического анализа (понятий предела, производной, интеграла).

3. Упорядоченность. Для любых двух различных действительных чисел $a$ и $b$ всегда выполняется одно из трех соотношений: $a < b$ (a меньше b), $a > b$ (a больше b) или $a = b$. Это позволяет сравнивать любые два действительных числа и располагать их в строгом порядке на числовой прямой.

4. Алгебраическая структура. На множестве действительных чисел определены операции сложения и умножения, которые обладают привычными свойствами (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность), а также для каждого числа существует противоположное и для каждого ненулевого — обратное. Это делает множество $\mathbb{R}$ упорядоченным полем.

Ответ: Множество действительных чисел понимается как непрерывная (без "пробелов"), упорядоченная совокупность всех рациональных и иррациональных чисел, которую наглядно представляет числовая прямая и которая служит основой для измерения непрерывных величин и для математического анализа.

5. Как найти целую (дробную) часть числа? Приведите пример.

Любое действительное число $x$ можно представить в виде суммы его целой и дробной частей: $x = [x] + \{x\}$, где $[x]$ — целая часть, а $\{x\}$ — дробная часть.

Нахождение целой части числа

Целой частью числа $x$ (обозначается как $[x]$ или $\lfloor x \rfloor$) называется наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Иными словами, это ближайшее к $x$ целое число на числовой оси, которое находится левее или совпадает с $x$.

Правила нахождения:
• Для положительного числа целая часть — это его часть до десятичной запятой.
• Для отрицательного числа целая часть — это ближайшее целое, которое меньше или равно исходному числу (округление в меньшую сторону).
• Для целого числа целая часть равна самому числу.

Примеры:
1. Найти целую часть числа $7.85$.
Наибольшее целое число, не превосходящее $7.85$, — это $7$.
$[7.85] = 7$.
2. Найти целую часть числа $-3.4$.
На числовой оси $-3.4$ находится между $-4$ и $-3$. Наибольшим целым числом, которое не превосходит $-3.4$, является $-4$ (так как $-4 \le -3.4$).
$[-3.4] = -4$.
3. Найти целую часть числа $8$.
Целая часть равна самому числу: $[8] = 8$.

Ответ: Чтобы найти целую часть числа $x$, нужно найти наибольшее целое число, которое меньше или равно $x$. Для положительных чисел это число до запятой, для отрицательных — ближайшее меньшее или равное целое.

Нахождение дробной части числа

Дробной частью числа $x$ (обозначается как $\{x\}$) называется разность между самим числом $x$ и его целой частью $[x]$.

Формула для нахождения дробной части: $\{x\} = x - [x]$.

Важное свойство дробной части: она всегда неотрицательна и строго меньше единицы, то есть $0 \le \{x\} < 1$.

Примеры:
1. Найти дробную часть числа $7.85$.
Сначала находим целую часть: $[7.85] = 7$.
Затем вычисляем дробную часть: $\{7.85\} = 7.85 - [7.85] = 7.85 - 7 = 0.85$.
2. Найти дробную часть числа $-3.4$.
Сначала находим целую часть: $[-3.4] = -4$.
Затем вычисляем дробную часть: $\{-3.4\} = -3.4 - [-3.4] = -3.4 - (-4) = -3.4 + 4 = 0.6$.
Результат $0.6$ удовлетворяет условию $0 \le 0.6 < 1$.
3. Найти дробную часть целого числа $8$.
Целая часть: $[8] = 8$.
Дробная часть: $\{8\} = 8 - [8] = 8 - 8 = 0$.

Ответ: Чтобы найти дробную часть числа $x$, нужно из этого числа вычесть его целую часть. Дробная часть всегда является неотрицательным числом, меньшим единицы (находится в промежутке $[0, 1)$).

6. Как найти координаты точки на числовой прямой?

Приведите пример.

Чтобы найти координату точки на числовой прямой, необходимо определить, какому числу эта точка соответствует. Числовая прямая (или координатная прямая) — это прямая, на которой выбраны: начало отсчета (точка O), которому соответствует число 0; единичный отрезок, который задает масштаб (например, расстояние от 0 до 1); и положительное направление, которое указывается стрелкой (обычно вправо).

Для нахождения координаты точки нужно:
1. Найти на прямой начало отсчета (точку с координатой 0).
2. Определить, в каком направлении от начала отсчета находится точка: в положительном (справа) или в отрицательном (слева).
3. Измерить расстояние от начала отсчета до точки в единичных отрезках.
4. Если точка расположена справа, ее координата будет положительным числом, равным этому расстоянию. Если точка расположена слева, ее координата будет отрицательным числом, модуль которого равен этому расстоянию. Координата начала отсчета равна 0.

Пример.

Рассмотрим числовую прямую, на которой отмечены точки A, B, C и D.

• Точка C совпадает с началом отсчета O, поэтому ее координата равна 0. Запись: $C(0)$.
• Точка A расположена на 4 единичных отрезка правее начала отсчета. Ее координата — положительное число 4. Запись: $A(4)$.
• Точка B расположена на 3 единичных отрезка левее начала отсчета. Ее координата — отрицательное число -3. Запись: $B(-3)$.
• Точка D расположена на 1.5 единичного отрезка левее начала отсчета (ровно посередине между отметками -1 и -2). Ее координата — отрицательное число -1.5. Запись: $D(-1.5)$.

Ответ: Чтобы найти координату точки на числовой прямой, нужно определить расстояние от этой точки до начала отсчета (нуля) в единичных отрезках и поставить знак в зависимости от направления: "+" (или отсутствие знака) для точек, расположенных в положительном направлении (справа от нуля), и "–" для точек, расположенных в отрицательном направлении (слева от нуля). Координата начала отсчета равна 0.

7. Какие числовые промежутки вы знаете? Выразите их с помощью неравенств. Приведите пример.

Числовые промежутки — это подмножества множества действительных чисел, которые можно изобразить на числовой прямой в виде интервалов, отрезков или лучей. Вот основные виды числовых промежутков:

1. Открытый интервал (или просто интервал)

Это множество всех чисел, заключенных между двумя числами $a$ и $b$, не включая сами эти числа. Его обозначают круглыми скобками.

Обозначение: $(a; b)$

Запись с помощью неравенства: $a < x < b$

Графическое изображение: На числовой прямой такой промежуток изображается отрезком, концы которого ("выколотые" точки) не закрашены.

Пример: Интервал $(-2; 3)$ включает все числа, которые строго больше -2 и строго меньше 3. Неравенство: $-2 < x < 3$.

Ответ: Открытый интервал $(a; b)$ — это множество чисел $x$, удовлетворяющих строгому двойному неравенству $a < x < b$. Пример: $(-2; 3)$, что соответствует $-2 < x < 3$.

2. Замкнутый интервал (или отрезок)

Это множество всех чисел, заключенных между двумя числами $a$ и $b$, включая сами эти числа. Его обозначают квадратными скобками.

Обозначение: $[a; b]$

Запись с помощью неравенства: $a \le x \le b$

Графическое изображение: На числовой прямой такой промежуток изображается отрезком, концы которого (закрашенные точки) включены в множество.

Пример: Отрезок $[-1; 4]$ включает все числа от -1 до 4, включая -1 и 4. Неравенство: $-1 \le x \le 4$.

Ответ: Замкнутый интервал (отрезок) $[a; b]$ — это множество чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому двойному неравенству $a \le x \le b$. Пример: $[-1; 4]$, что соответствует $-1 \le x \le 4$.

3. Полуинтервал (или полуотрезок)

Это промежуток, у которого один конец включен, а другой — нет. Существует два вида.

а) Промежуток вида $[a; b)$

Обозначение: $[a; b)$

Запись с помощью неравенства: $a \le x < b$

Графическое изображение:

Пример: Полуинтервал $[0; 5)$ включает 0 и все числа до 5, но не само число 5. Неравенство: $0 \le x < 5$.

Ответ: Полуинтервал $[a; b)$ — это множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $a \le x < b$. Пример: $[0; 5)$, что соответствует $0 \le x < 5$.

б) Промежуток вида $(a; b]$

Обозначение: $(a; b]$

Запись с помощью неравенства: $a < x \le b$

Графическое изображение:

Пример: Полуинтервал $(-4; 1]$ включает все числа больше -4 и до 1, включая 1. Неравенство: $-4 < x \le 1$.

Ответ: Полуинтервал $(a; b]$ — это множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $a < x \le b$. Пример: $(-4; 1]$, что соответствует $-4 < x \le 1$.

4. Числовые лучи (бесконечные промежутки)

Это промежутки, у которых один из концов — бесконечность $(+\infty$ или $-\infty)$.

а) Луч $[a; +\infty)$ (включая точку $a$): $x \ge a$. Пример: $[3; +\infty)$ соответствует $x \ge 3$.

б) Открытый луч $(a; +\infty)$ (не включая точку $a$): $x > a$. Пример: $(5; +\infty)$ соответствует $x > 5$.

в) Луч $(-\infty; b]$ (включая точку $b$): $x \le b$. Пример: $(-\infty; 0]$ соответствует $x \le 0$.

г) Открытый луч $(-\infty; b)$ (не включая точку $b$): $x < b$. Пример: $(-\infty; -1)$ соответствует $x < -1$.

Ответ: Числовые лучи — это бесконечные промежутки, задаваемые простыми неравенствами вида $x \ge a$, $x > a$, $x \le b$ или $x < b$. Примеры: $[3; +\infty)$ соответствует $x \ge 3$; $(-\infty; -1)$ соответствует $x < -1$.

5. Числовая прямая

Это множество всех действительных чисел.

Обозначение: $(-\infty; +\infty)$ или $\mathbb{R}$

Запись с помощью неравенства: Неравенством не выражается, так как включает все числа. Иногда формально записывают как $-\infty < x < +\infty$.

Графическое изображение: Вся числовая ось.

Пример: Множество всех чисел на числовой прямой.

Ответ: Числовая прямая $(-\infty; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

8. Перечислите свойства функции $y = \sqrt{x}$ и постройте ее график.

Свойства функции $y = \sqrt{x}$

1. Область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции $D(y) = [0; +\infty)$.
2. Область значений. Арифметический квадратный корень по определению принимает только неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$. Область значений функции $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции и точки пересечения с осями. Чтобы найти нули, решим уравнение $y=0$: $\sqrt{x} = 0$, откуда $x=0$. График функции пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0;0)$.
4. Четность и нечетность. Область определения $D(y) = [0; +\infty)$ не является симметричной относительно нуля, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).
5. Промежутки монотонности. Функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Для любых $x_1$ и $x_2$ из $[0; +\infty)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$.
6. Экстремумы функции. Так как функция монотонно возрастает, она не имеет точек локального максимума. В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения, $y_{min} = 0$. Точка $(0;0)$ является точкой глобального минимума.
7. Выпуклость и вогнутость. График функции является выпуклым вверх (или вогнутым) на всей области определения $(0; +\infty)$.

Построение графика функции $y = \sqrt{x}$

Для построения графика найдем координаты нескольких опорных точек, выбирая значения $x$, из которых легко извлекается квадратный корень:

- при $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$, точка $(0;0)$;
- при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$, точка $(1;1)$;
- при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$, точка $(4;2)$;
- при $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$, точка $(9;3)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы $x=y^2$, расположенную в первой координатной четверти.

Ответ:

Основные свойства функции $y=\sqrt{x}$:
- Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
- Нули функции: $x=0$.
- Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
- Монотонность: строго возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$.
- Экстремумы: точка глобального минимума $(0;0)$.

График функции $y=\sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти, как показано на рисунке выше.

9. Как определяется квадратичная функция? Назовите особенности расположения графика квадратичной функции в зависимости от коэффициентов и дискриминанта квадратного трехчлена.

Как определяется квадратичная функция?

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, а $a, b, c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой.

Ответ: Квадратичная функция — это функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ — числа, и $a \neq 0$. Её график — парабола.

Особенности расположения графика квадратичной функции в зависимости от коэффициентов и дискриминанта квадратного трехчлена

Расположение параболы $y = ax^2 + bx + c$ на координатной плоскости полностью определяется значениями и знаками её коэффициентов $a, b, c$ и значением дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

1. Влияние старшего коэффициента $a$:
Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы.
- Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Абсолютное значение $|a|$ влияет на "крутизну" параболы. Чем больше $|a|$, тем парабола "уже" и ближе прижата к своей оси симметрии.

2. Влияние свободного члена $c$:
Коэффициент $c$ является ординатой точки пересечения параболы с осью Oy. Координаты этой точки — $(0, c)$.
- Если $c > 0$, парабола пересекает ось ординат выше начала координат.
- Если $c < 0$, — ниже начала координат.
- Если $c = 0$, парабола проходит через начало координат.

3. Влияние коэффициентов $a$ и $b$ на положение вершины:
Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -b / (2a)$ и $y_0 = y(x_0)$. Абсцисса вершины $x_0$ определяет положение оси симметрии параболы (прямая $x = x_0$).
- Если $a$ и $b$ имеют разные знаки (или $b=0$), то $x_0 \ge 0$, и вершина параболы находится в правой полуплоскости или на оси Oy.
- Если $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки, то $x_0 < 0$, и вершина находится в левой полуплоскости.

4. Влияние дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
Знак дискриминанта определяет количество точек пересечения параболы с осью абсцисс Ox (т.е. количество действительных корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$).
- Если $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух различных точках.
- Если $D = 0$, парабола касается оси Ox в одной точке — своей вершине.
- Если $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью Ox и целиком лежит выше или ниже неё.

Сочетание знаков $a$ и $D$ дает 6 основных вариантов расположения параболы относительно оси Ox:

$a > 0, D > 0$
$a > 0, D = 0$
$a > 0, D < 0$

$a < 0, D > 0$
$a < 0, D = 0$
$a < 0, D < 0$

Ответ: Расположение параболы определяется коэффициентами $a, b, c$ и дискриминантом $D$. Коэффициент $a$ отвечает за направление ветвей, $c$ — за точку пересечения с осью Oy, комбинация $a$ и $b$ — за положение вершины относительно оси Oy, а $D$ — за количество точек пересечения с осью Ox.