Страница 6 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.1. Найдите значения выражений:

1) $0,5\sqrt{256}$;

2) $-5\sqrt{0,64}$;

3) $0,3\sqrt{\frac{25}{9}};

4) $\frac{\sqrt{0,16}}{2\sqrt{0,04}};

5) $\sqrt{4900}-\sqrt{289};

6) $0,07\sqrt{10000}-\sqrt{36};

7) $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{361}}+\sqrt{\frac{1}{4}};

8) $\sqrt{1\frac{9}{16}}+\sqrt{\frac{121}{25}};

9) $\sqrt{2\frac{7}{81}}-\frac{1}{\sqrt{36}}.

9) $\blacktriangle \sqrt{2\frac{7}{81}}-\frac{1}{\sqrt{36}}=\sqrt{\frac{162+7}{81}}-\frac{1}{6}=\frac{13}{9}-\frac{1}{6}=\frac{26-3}{18}=\frac{23}{18}=1\frac{5}{18}$

1) Для нахождения значения выражения $0,5\sqrt{256}$ сначала извлечем квадратный корень из 256. Так как $16^2 = 256$, то $\sqrt{256} = 16$. Теперь умножим результат на 0,5: $0,5 \cdot 16 = 8$.
Ответ: 8.

2) Для нахождения значения выражения $-5\sqrt{0,64}$ сначала извлечем квадратный корень из 0,64. Так как $0,8^2 = 0,64$, то $\sqrt{0,64} = 0,8$. Теперь умножим результат на -5: $-5 \cdot 0,8 = -4$.
Ответ: -4.

3) Для нахождения значения выражения $0,3\sqrt{\frac{25}{9}}$ сначала извлечем квадратный корень из дроби. Используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, получаем $\sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3}$. Теперь умножим результат на 0,3. Представим 0,3 в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{10}$: $\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 5}{10 \cdot 3} = \frac{5}{10} = 0,5$.
Ответ: 0,5.

4) Для нахождения значения выражения $\frac{\sqrt{0,16}}{2\sqrt{0,04}}$ вычислим значения в числителе и знаменателе. В числителе $\sqrt{0,16} = 0,4$. В знаменателе $2\sqrt{0,04} = 2 \cdot 0,2 = 0,4$. Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{0,4}{0,4} = 1$.
Ответ: 1.

5) Для нахождения значения выражения $\sqrt{4900} - \sqrt{289}$ извлечем каждый корень по отдельности. $\sqrt{4900} = \sqrt{49 \cdot 100} = 7 \cdot 10 = 70$. $\sqrt{289} = 17$, так как $17^2 = 289$. Теперь выполним вычитание: $70 - 17 = 53$.
Ответ: 53.

6) Для нахождения значения выражения $0,07\sqrt{10000} - \sqrt{36}$ вычислим каждое слагаемое. $0,07\sqrt{10000} = 0,07 \cdot 100 = 7$. $\sqrt{36} = 6$. Теперь выполним вычитание: $7 - 6 = 1$.
Ответ: 1.

7) Для нахождения значения выражения $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{361}} + \sqrt{\frac{1}{4}}$ упростим каждое слагаемое. Первое слагаемое: $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{361}} = \frac{9}{19}$. Второе слагаемое: $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$. Теперь сложим дроби: $\frac{9}{19} + \frac{1}{2}$. Приведем к общему знаменателю 38: $\frac{9 \cdot 2}{19 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 19}{2 \cdot 19} = \frac{18}{38} + \frac{19}{38} = \frac{18+19}{38} = \frac{37}{38}$.
Ответ: $\frac{37}{38}$.

8) Для нахождения значения выражения $\sqrt{1\frac{9}{16}} + \sqrt{\frac{121}{25}}$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь и извлечем корни. $\sqrt{1\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 16 + 9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$. $\sqrt{\frac{121}{25}} = \frac{11}{5}$. Теперь сложим полученные дроби: $\frac{5}{4} + \frac{11}{5}$. Приведем к общему знаменателю 20: $\frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{11 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{25}{20} + \frac{44}{20} = \frac{69}{20}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{69}{20} = 3\frac{9}{20}$.
Ответ: $3\frac{9}{20}$.

9) Для нахождения значения выражения $\sqrt{2\frac{7}{81}} - \frac{1}{\sqrt{36}}$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь и извлечем корни. $\sqrt{2\frac{7}{81}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 81 + 7}{81}} = \sqrt{\frac{162+7}{81}} = \sqrt{\frac{169}{81}} = \frac{13}{9}$. Второй член выражения: $\frac{1}{\sqrt{36}} = \frac{1}{6}$. Теперь выполним вычитание: $\frac{13}{9} - \frac{1}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 18: $\frac{13 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{26}{18} - \frac{3}{18} = \frac{23}{18}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{23}{18} = 1\frac{5}{18}$.
Ответ: $1\frac{5}{18}$.

0.2. Вычислите:

1) $\sqrt{360} \cdot \sqrt{2,5}$; 2) $\sqrt{90 \cdot 4,9}$; 3) $\sqrt{72 \cdot 32}$;

4) $\sqrt{3,6 \cdot 12,1}$; 5) $\sqrt{13} \cdot \sqrt{52}$; 6) $\sqrt{63} \cdot \sqrt{7}$;

7) $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8}}$; 8) $\sqrt{1,2} \cdot \sqrt{3\frac{1}{3}}$; 9) $\sqrt{20} \cdot \sqrt{45}$.

1) Для вычисления $\sqrt{360} \cdot \sqrt{2,5}$ воспользуемся свойством, что произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Объединим подкоренные выражения:

$\sqrt{360 \cdot 2,5} = \sqrt{900}$

Извлечем квадратный корень из 900:

$\sqrt{900} = 30$

Ответ: 30.

2) Преобразуем подкоренное выражение $\sqrt{90 \cdot 4,9}$, чтобы упростить извлечение корня. Для этого можно избавиться от десятичной дроби, умножив и разделив на 10, либо заметив, что $90 \cdot 4,9 = 9 \cdot 10 \cdot 4,9 = 9 \cdot 49$.

$\sqrt{90 \cdot 4,9} = \sqrt{9 \cdot 49}$

Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:

$\sqrt{9 \cdot 49} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{49} = 3 \cdot 7 = 21$

Ответ: 21.

3) Для вычисления $\sqrt{72 \cdot 32}$ разложим числа 72 и 32 на множители, чтобы выделить полные квадраты. Это удобнее, чем перемножать большие числа.

$72 = 36 \cdot 2$

$32 = 16 \cdot 2$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt{72 \cdot 32} = \sqrt{(36 \cdot 2) \cdot (16 \cdot 2)} = \sqrt{36 \cdot 16 \cdot 4}$

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{36 \cdot 16 \cdot 4} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{4} = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48$

Ответ: 48.

4) Чтобы вычислить $\sqrt{3,6 \cdot 12,1}$, представим десятичные дроби в виде обыкновенных:

$3,6 = \frac{36}{10}$

$12,1 = \frac{121}{10}$

Перемножим их под корнем:

$\sqrt{3,6 \cdot 12,1} = \sqrt{\frac{36}{10} \cdot \frac{121}{10}} = \sqrt{\frac{36 \cdot 121}{100}}$

Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и свойством корня из произведения:

$\frac{\sqrt{36 \cdot 121}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{36} \cdot \sqrt{121}}{\sqrt{100}} = \frac{6 \cdot 11}{10} = \frac{66}{10} = 6,6$

Ответ: 6,6.

5) Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для выражения $\sqrt{13} \cdot \sqrt{52}$:

$\sqrt{13} \cdot \sqrt{52} = \sqrt{13 \cdot 52}$

Разложим число 52 на множители, чтобы найти полный квадрат: $52 = 4 \cdot 13$.

$\sqrt{13 \cdot 4 \cdot 13} = \sqrt{4 \cdot 13^2}$

Извлечем корень:

$\sqrt{4 \cdot 13^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13^2} = 2 \cdot 13 = 26$

Ответ: 26.

6) Применим свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{63} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{63 \cdot 7}$

Разложим число 63 на множители: $63 = 9 \cdot 7$.

$\sqrt{9 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{9 \cdot 7^2}$

Извлечем корень:

$\sqrt{9 \cdot 7^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7^2} = 3 \cdot 7 = 21$

Ответ: 21.

7) Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}}$

Выполним умножение дробей под корнем, сократив множители:

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}}$

Извлечем корень из дроби:

$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

8) Для вычисления $\sqrt{1,2} \cdot \sqrt{3\frac{1}{3}}$ сначала преобразуем подкоренные выражения в неправильные дроби.

$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

Теперь применим свойство произведения корней:

$\sqrt{1,2} \cdot \sqrt{3\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{6}{5} \cdot \frac{10}{3}} = \sqrt{\frac{6 \cdot 10}{5 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{60}{15}} = \sqrt{4}$

Извлечем корень:

$\sqrt{4} = 2$

Ответ: 2.

9) Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для выражения $\sqrt{20} \cdot \sqrt{45}$:

$\sqrt{20} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{20 \cdot 45}$

Чтобы упростить вычисление, разложим числа 20 и 45 на множители:

$20 = 4 \cdot 5$

$45 = 9 \cdot 5$

$\sqrt{20 \cdot 45} = \sqrt{(4 \cdot 5) \cdot (9 \cdot 5)} = \sqrt{4 \cdot 9 \cdot 25}$

Извлечем корень из произведения:

$\sqrt{4 \cdot 9 \cdot 25} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$

Ответ: 30.

0.3. Покажите справедливость неравенств:

1) $3,4 < \sqrt{12} < 3,6$;

2) $5 < \sqrt{30} < 6$;

3) $5 < \sqrt{26} < 5,1$;

4) $7,9 < \sqrt{63} < 8$.

1) Чтобы доказать справедливость неравенства $3,4 < \sqrt{12} < 3,6$, возведем все его части в квадрат. Поскольку все части неравенства являются положительными числами, знаки неравенства сохранятся.
$(3,4)^2 < (\sqrt{12})^2 < (3,6)^2$
$11,56 < 12 < 12,96$
Полученное двойное неравенство является верным, так как $11,56$ действительно меньше $12$, а $12$ в свою очередь меньше $12,96$. Следовательно, исходное неравенство также справедливо.
Ответ: Неравенство справедливо.

2) Для доказательства неравенства $5 < \sqrt{30} < 6$ возведем все его части в квадрат.
$5^2 < (\sqrt{30})^2 < 6^2$
$25 < 30 < 36$
Данное неравенство верно, так как число $30$ находится между числами $25$ и $36$. Значит, исходное неравенство справедливо.
Ответ: Неравенство справедливо.

3) Чтобы проверить неравенство $5 < \sqrt{26} < 5,1$, возведем все его части в квадрат.
$5^2 < (\sqrt{26})^2 < (5,1)^2$
$25 < 26 < 26,01$
Так как полученное неравенство $25 < 26 < 26,01$ верно, то и исходное неравенство является справедливым.
Ответ: Неравенство справедливо.

4) Докажем справедливость неравенства $7,9 < \sqrt{63} < 8$ путем возведения всех его частей в квадрат.
$(7,9)^2 < (\sqrt{63})^2 < 8^2$
$62,41 < 63 < 64$
Это неравенство является верным, поскольку $62,41$ меньше $63$, а $63$ меньше $64$. Следовательно, исходное неравенство справедливо.
Ответ: Неравенство справедливо.

0.4. Решите уравнения:

1) $\sqrt{x} = 4$;

2) $\sqrt{y} = 0,4$;

3) $3\sqrt{x} = 7$;

4) $10\sqrt{z} = 3$.

1) Дано уравнение $\sqrt{x} = 4$. По определению арифметического квадратного корня, подкоренное выражение $x$ должно быть неотрицательным ($x \geq 0$). Чтобы найти значение $x$, необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 4^2$
$x = 16$
Полученное значение $x=16$ удовлетворяет условию $x \geq 0$.
Проверка: $\sqrt{16} = 4$. Равенство верное.
Ответ: $x = 16$.

2) Дано уравнение $\sqrt{y} = 0,4$. Подкоренное выражение $y$ должно быть неотрицательным ($y \geq 0$). Чтобы найти значение $y$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{y})^2 = (0,4)^2$
$y = 0,16$
Полученное значение $y=0,16$ удовлетворяет условию $y \geq 0$.
Проверка: $\sqrt{0,16} = 0,4$. Равенство верное.
Ответ: $y = 0,16$.

3) Дано уравнение $3\sqrt{x} = 7$. Сначала изолируем радикал (квадратный корень), разделив обе части уравнения на 3:
$\frac{3\sqrt{x}}{3} = \frac{7}{3}$
$\sqrt{x} = \frac{7}{3}$
Теперь, чтобы найти $x$, возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{7}{3}\right)^2$
$x = \frac{7^2}{3^2} = \frac{49}{9}$
Поскольку $\frac{49}{9} > 0$, решение является действительным.
Ответ: $x = \frac{49}{9}$.

4) Дано уравнение $10\sqrt{z} = 3$. Разделим обе части уравнения на 10, чтобы изолировать радикал:
$\frac{10\sqrt{z}}{10} = \frac{3}{10}$
$\sqrt{z} = \frac{3}{10}$ или $\sqrt{z} = 0,3$
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти $z$:
$(\sqrt{z})^2 = (0,3)^2$
$z = 0,09$
Поскольку $0,09 > 0$, решение является действительным.
Ответ: $z = 0,09$.

0.5. Найдите корни квадратных уравнений:

1) $2x^2-5x-3=0;$

2) $3x^2-3x+1=0;$

3) $3x^2-8x+5=0;$

4) $x^2+9x-22=0;$

5) $5x^2+9x+4=0;$

6) $7x^2-11x-6=0;$

7) $36x^2-12x+1=0;$

8) $3x^2+x-2=0.$

Для решения квадратных уравнений вида $ax^2+bx+c=0$ будем использовать формулу корней через дискриминант: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

1) $2x^2-5x-3=0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=2$, $b=-5$, $c=-3$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.

Ответ: $x_1=3$, $x_2=-0.5$.

2) $3x^2-3x+1=0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=-3$, $c=1$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 - 12 = -3$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

3) $3x^2-8x+5=0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=-8$, $c=5$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) + 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) - 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: $x_1=\frac{5}{3}$, $x_2=1$.

4) $x^2+9x-22=0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=9$, $c=-22$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11$.

Ответ: $x_1=2$, $x_2=-11$.

5) $5x^2+9x+4=0$

Коэффициенты: $a=5$, $b=9$, $c=4$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0.8$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 1}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$.

Ответ: $x_1=-0.8$, $x_2=-1$.

6) $7x^2-11x-6=0$

Коэффициенты: $a=7$, $b=-11$, $c=-6$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-6) = 121 + 168 = 289$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) + 17}{2 \cdot 7} = \frac{11 + 17}{14} = \frac{28}{14} = 2$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) - 17}{2 \cdot 7} = \frac{11 - 17}{14} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7}$.

Ответ: $x_1=2$, $x_2=-\frac{3}{7}$.

7) $36x^2-12x+1=0$

Коэффициенты: $a=36$, $b=-12$, $c=1$.

Можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(6x-1)^2=0$.

Отсюда $6x-1=0$, $6x=1$, $x=\frac{1}{6}$.

Или, используя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 144 - 144 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.

$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-12)}{2 \cdot 36} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $x=\frac{1}{6}$.

8) $3x^2+x-2=0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=1$, $c=-2$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.

Ответ: $x_1=\frac{2}{3}$, $x_2=-1$.