Страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Повторение материала, пройденного в 8 классе

0.25. Найдите вершину и ось параболы и постройте ее график:

1)

$y=x^2-4$;

2)

$y=(x-4)^2$;

3)

$y=x^2-4x+4$;

4)

$y=2x^2+x-3$.

1) $y=x^2-4$

Это уравнение параболы вида $y=ax^2+bx+c$, где $a=1, b=0, c=-4$. График этой параболы получается из графика параболы $y=x^2$ сдвигом на 4 единицы вниз вдоль оси Oy. Ветви параболы направлены вверх, так как $a=1 > 0$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
$y_v = y(x_v) = 0^2 - 4 = -4$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -4)$.

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = x_v$, то есть $x=0$ (ось Oy).

Для построения графика найдем точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y = -4$. Точка $(0, -4)$, что совпадает с вершиной.
С осью Ox (при $y=0$): $x^2-4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$. Точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Ответ: Вершина $(0, -4)$, ось параболы $x=0$.

2) $y=(x-4)^2$

Это уравнение параболы вида $y=a(x-h)^2+k$, где $a=1, h=4, k=0$. Координаты вершины такой параболы равны $(h, k)$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(4, 0)$. Ветви направлены вверх ($a=1 > 0$).

Ось симметрии параболы имеет уравнение $x = h$, то есть $x=4$.

Для построения графика найдем точки пересечения с осями:
С осью Ox (при $y=0$): $(x-4)^2 = 0 \implies x=4$. Точка $(4, 0)$, вершина.
С осью Oy (при $x=0$): $y = (0-4)^2 = 16$. Точка $(0, 16)$.

Ответ: Вершина $(4, 0)$, ось параболы $x=4$.

3) $y=x^2-4x+4$

Заметим, что выражение в правой части является полным квадратом разности: $x^2-2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.
Таким образом, уравнение параболы можно переписать в виде $y=(x-2)^2$.

Это уравнение вида $y=a(x-h)^2+k$ с $a=1, h=2, k=0$.
Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть $(2, 0)$. Ветви направлены вверх ($a=1 > 0$).

Ось симметрии параболы: $x = h$, то есть $x=2$.

Найдем точки пересечения с осями:
С осью Ox: $(x-2)^2=0 \implies x=2$. Точка $(2,0)$, вершина.
С осью Oy (при $x=0$): $y=(0-2)^2=4$. Точка $(0, 4)$.

Ответ: Вершина $(2, 0)$, ось параболы $x=2$.

4) $y=2x^2+x-3$

Это уравнение параболы вида $y=ax^2+bx+c$, где $a=2, b=1, c=-3$. Ветви параболы направлены вверх ($a=2 > 0$) и являются более "крутыми", чем у $y=x^2$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}$.
$y_v = y(x_v) = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) - 3 = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - 3 = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{25}{8} = -3.125$.
Вершина параболы находится в точке $(-\frac{1}{4}, -\frac{25}{8})$.

Ось симметрии параболы: $x = x_v$, то есть $x = -\frac{1}{4}$.

Найдем точки пересечения с осями:
С осью Oy (при $x=0$): $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
С осью Ox (при $y=0$): $2x^2+x-3=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$.
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Точки пересечения $(-1.5, 0)$ и $(1, 0)$.

Ответ: Вершина $(-\frac{1}{4}, -\frac{25}{8})$, ось параболы $x = -\frac{1}{4}$.

0.26. Постройте графики функций:

1) $y=x^2+2x-3;$

2) $y=\frac{x^2}{2}-4x+6;$

3) $y=-2x^2-5x-2;$

4) $y=-x^2+6x-10;$

5) $y=x^2-4x;$

6) $y=-x^2+5.$

1) $y=x^2+2x-3$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1$), он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

$y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=-1$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

С осью OY: при $x=0$, $y = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.

С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=-3$. Точки пересечения $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

Для более точного построения графика найдем еще несколько точек. Используя ось симметрии $x=-1$, найдем точку, симметричную точке $(0, -3)$. Это будет точка $(-2, -3)$.

Построим график функции:

Ответ: График функции $y=x^2+2x-3$ — это парабола с вершиной в точке $(-1, -4)$, ветвями, направленными вверх, пересекающая ось OY в точке $(0, -3)$ и ось OX в точках $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

2) $y = \frac{x^2}{2} - 4x + 6$

Это квадратичная функция ($a=0.5, b=-4, c=6$), график — парабола. Так как $a=0.5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 0.5} = 4$

$y_0 = \frac{4^2}{2} - 4(4) + 6 = \frac{16}{2} - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$

Вершина находится в точке $(4, -2)$. Ось симметрии — $x=4$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: при $x=0$, $y = 6$. Точка $(0, 6)$.

С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $\frac{x^2}{2} - 4x + 6 = 0$. Умножим на 2: $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=6$. Точки пересечения $(2, 0)$ и $(6, 0)$.

Точка, симметричная точке $(0, 6)$ относительно оси $x=4$, имеет координаты $(8, 6)$.

Построим график функции:

Ответ: График функции $y = \frac{x^2}{2} - 4x + 6$ — парабола с вершиной в точке $(4, -2)$, ветвями вверх, пересекающая OY в $(0, 6)$ и OX в $(2, 0)$ и $(6, 0)$.

3) $y=-2x^2-5x-2$

Это квадратичная функция ($a=-2, b=-5, c=-2$), график — парабола. Так как $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot (-2)} = -\frac{5}{4} = -1.25$

$y_0 = -2(-1.25)^2 - 5(-1.25) - 2 = -2(1.5625) + 6.25 - 2 = -3.125 + 6.25 - 2 = 1.125$

Вершина находится в точке $(-1.25, 1.125)$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: при $x=0$, $y = -2$. Точка $(0, -2)$.

С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $-2x^2-5x-2=0$, или $2x^2+5x+2=0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4}$, т.е. $x_1 = \frac{-5-3}{4}=-2$ и $x_2 = \frac{-5+3}{4}=-0.5$. Точки пересечения $(-2, 0)$ и $(-0.5, 0)$.

Построим график функции:

Ответ: График функции $y=-2x^2-5x-2$ — парабола с вершиной в точке $(-1.25, 1.125)$, ветвями вниз, пересекающая OY в $(0, -2)$ и OX в $(-2, 0)$ и $(-0.5, 0)$.

4) $y=-x^2+6x-10$

Это квадратичная функция ($a=-1, b=6, c=-10$), график — парабола. Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$

$y_0 = -(3)^2 + 6(3) - 10 = -9 + 18 - 10 = -1$

Вершина находится в точке $(3, -1)$. Ось симметрии — $x=3$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: при $x=0$, $y = -10$. Точка $(0, -10)$.

С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $-x^2+6x-10=0$, или $x^2-6x+10=0$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX.

Дополнительные точки: при $x=2, y=-(2)^2+6(2)-10=-4+12-10=-2$. Точка $(2, -2)$. Симметричная ей точка $(4, -2)$.

Построим график функции:

Ответ: График функции $y=-x^2+6x-10$ — парабола с вершиной в точке $(3, -1)$, ветвями вниз, не пересекающая ось OX и пересекающая ось OY в точке $(0, -10)$.

5) $y=x^2-4x$

Это квадратичная функция ($a=1, b=-4, c=0$), график — парабола. Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_0 = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$

Вершина находится в точке $(2, -4)$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.

С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $x^2-4x=0 \Rightarrow x(x-4)=0$. Корни $x_1=0$ и $x_2=4$. Точки пересечения $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Дополнительные точки: при $x=-1, y=(-1)^2-4(-1)=1+4=5$. Точка $(-1, 5)$. Симметричная ей точка $(5, 5)$.

Построим график функции:

Ответ: График функции $y=x^2-4x$ — парабола с вершиной в точке $(2, -4)$, ветвями вверх, проходящая через начало координат и пересекающая ось OX также в точке $(4, 0)$.

6) $y=-x^2+5$

Это квадратичная функция ($a=-1, b=0, c=5$), график — парабола. Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это график функции $y=-x^2$, смещенный на 5 единиц вверх по оси OY.

Координаты вершины параболы: так как $b=0$, $x_0 = 0$. Тогда $y_0 = -0^2+5=5$. Вершина находится в точке $(0, 5)$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: точка $(0, 5)$ (вершина).

С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $-x^2+5=0 \Rightarrow x^2=5$. Корни $x = \pm\sqrt{5}$. Точки пересечения $(-\sqrt{5}, 0)$ и $(\sqrt{5}, 0)$. $(\sqrt{5} \approx 2.24)$.

Дополнительные точки: при $x=2, y=-(2)^2+5=1$. Точка $(2, 1)$. Симметричная ей точка $(-2, 1)$.

Построим график функции:

Ответ: График функции $y=-x^2+5$ — парабола с вершиной в точке $(0, 5)$, ветвями вниз, пересекающая ось OX в точках $(-\sqrt{5}, 0)$ и $(\sqrt{5}, 0)$.

0.27. Укажите посторонние корни уравнений:

1) $ \frac{1}{x-2} + 3 = \frac{3-x}{x-2} $;

2) $ 5 + \frac{1}{x-4} = \frac{5-x}{x-4} $;

3) $ \frac{1}{x-5} + 6 = \frac{6-x}{x-5} $;

4) $ \frac{8-x}{x-7} = 8 + \frac{1}{x-7} $.

1) Дано уравнение: $ \frac{1}{x-2} + 3 = \frac{3-x}{x-2} $.

Посторонний корень — это значение переменной, которое является корнем уравнения, полученного в результате преобразований, но не является корнем исходного уравнения. Обычно это происходит, когда найденный корень обращает в ноль знаменатель одной из дробей в исходном уравнении.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $ x - 2 \neq 0 $, что означает $ x \neq 2 $.

Теперь решим уравнение. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель $ (x-2) $:

$ (x-2) \cdot \frac{1}{x-2} + 3 \cdot (x-2) = (x-2) \cdot \frac{3-x}{x-2} $

$ 1 + 3(x-2) = 3 - x $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 1 + 3x - 6 = 3 - x $

$ 3x - 5 = 3 - x $

Перенесем слагаемые с $ x $ в одну сторону, а числа — в другую:

$ 3x + x = 3 + 5 $

$ 4x = 8 $

$ x = 2 $

Мы получили корень $ x=2 $. Однако, согласно ОДЗ, $ x $ не может быть равен 2. Следовательно, $ x=2 $ является посторонним корнем.

Ответ: посторонний корень 2.

2) Дано уравнение: $ 5 + \frac{1}{x-4} = \frac{5-x}{x-4} $.

Определим ОДЗ: знаменатель $ x - 4 \neq 0 $, откуда $ x \neq 4 $.

Умножим обе части уравнения на $ (x-4) $:

$ 5(x-4) + 1 = 5 - x $

Решим полученное уравнение:

$ 5x - 20 + 1 = 5 - x $

$ 5x - 19 = 5 - x $

$ 5x + x = 5 + 19 $

$ 6x = 24 $

$ x = 4 $

Полученный корень $ x=4 $ не удовлетворяет условию ОДЗ ($ x \neq 4 $). Таким образом, $ x=4 $ — посторонний корень.

Ответ: посторонний корень 4.

3) Дано уравнение: $ \frac{1}{x-5} + 6 = \frac{6-x}{x-5} $.

Определим ОДЗ: знаменатель $ x - 5 \neq 0 $, откуда $ x \neq 5 $.

Умножим обе части уравнения на $ (x-5) $:

$ 1 + 6(x-5) = 6 - x $

Решим полученное уравнение:

$ 1 + 6x - 30 = 6 - x $

$ 6x - 29 = 6 - x $

$ 6x + x = 6 + 29 $

$ 7x = 35 $

$ x = 5 $

Найденный корень $ x=5 $ не входит в ОДЗ ($ x \neq 5 $), следовательно, это посторонний корень.

Ответ: посторонний корень 5.

4) Дано уравнение: $ \frac{8-x}{x-7} = 8 + \frac{1}{x-7} $.

Определим ОДЗ: знаменатель $ x - 7 \neq 0 $, откуда $ x \neq 7 $.

Умножим обе части уравнения на $ (x-7) $:

$ 8-x = 8(x-7) + 1 $

Решим полученное уравнение:

$ 8 - x = 8x - 56 + 1 $

$ 8 - x = 8x - 55 $

$ 8 + 55 = 8x + x $

$ 63 = 9x $

$ x = 7 $

Полученный корень $ x=7 $ противоречит ОДЗ ($ x \neq 7 $), значит, $ x=7 $ является посторонним корнем.

Ответ: посторонний корень 7.

В упражнениях 0.28–0.34 решите уравнения.

0.28. 1) $ \frac{2x - 1}{2x + 1} = \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{8}{1 - 4x^2} $

2) $ \frac{12}{1 - 9x^2} = \frac{1 - 3x}{1 + 3x} + \frac{1 + 3x}{1 - 3x} $

3) $ \frac{t^2 - 3}{1 - t^2} + \frac{t + 1}{t - 1} = \frac{4}{1 + t} $

4) $ \frac{y^2 + 17}{y^2 - 1} = \frac{y - 2}{y + 1} - \frac{5}{1 - y} $

1) $\frac{2x-1}{2x+1} = \frac{2x+1}{2x-1} + \frac{8}{1-4x^2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$2x+1 \neq 0 \implies x \neq -0.5$

$2x-1 \neq 0 \implies x \neq 0.5$

$1-4x^2 \neq 0 \implies (1-2x)(1+2x) \neq 0 \implies x \neq \pm 0.5$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 0.5$.

Преобразуем уравнение. Заметим, что $1-4x^2 = -(4x^2-1) = -(2x-1)(2x+1)$.

$\frac{2x-1}{2x+1} = \frac{2x+1}{2x-1} - \frac{8}{4x^2-1}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{2x-1}{2x+1} - \frac{2x+1}{2x-1} + \frac{8}{(2x-1)(2x+1)} = 0$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(2x-1)(2x+1)$:

$\frac{(2x-1)^2 - (2x+1)^2 + 8}{(2x-1)(2x+1)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим уравнение для числителя:

$(2x-1)^2 - (2x+1)^2 + 8 = 0$

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((2x-1) - (2x+1))((2x-1) + (2x+1)) + 8 = 0$

$(2x-1-2x-1)(2x-1+2x+1) + 8 = 0$

$(-2)(4x) + 8 = 0$

$-8x + 8 = 0$

$-8x = -8$

$x = 1$

Полученный корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1.

2) $\frac{12}{1-9x^2} = \frac{1-3x}{1+3x} + \frac{1+3x}{1-3x}$

ОДЗ: $1-9x^2 \neq 0 \implies (1-3x)(1+3x) \neq 0 \implies x \neq \pm \frac{1}{3}$.

Общий знаменатель для всех дробей - это $1-9x^2 = (1-3x)(1+3x)$. Приведем правую часть уравнения к этому знаменателю:

$\frac{12}{1-9x^2} = \frac{(1-3x)(1-3x)}{(1+3x)(1-3x)} + \frac{(1+3x)(1+3x)}{(1-3x)(1+3x)}$

$\frac{12}{1-9x^2} = \frac{(1-3x)^2 + (1+3x)^2}{1-9x^2}$

Так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ, мы можем приравнять числители:

$12 = (1-3x)^2 + (1+3x)^2$

Раскроем скобки:

$12 = (1 - 6x + 9x^2) + (1 + 6x + 9x^2)$

$12 = 1 - 6x + 9x^2 + 1 + 6x + 9x^2$

$12 = 2 + 18x^2$

$10 = 18x^2$

$x^2 = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

$x = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$

Оба корня, $x_1 = \frac{\sqrt{5}}{3}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{5}}{3}$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{5}}{3}$.

3) $\frac{t^2-3}{1-t^2} + \frac{t+1}{t-1} = \frac{4}{1+t}$

ОДЗ: $1-t^2 \neq 0 \implies t \neq \pm 1$; $t-1 \neq 0 \implies t \neq 1$; $1+t \neq 0 \implies t \neq -1$. Итого, $t \neq \pm 1$.

Преобразуем знаменатели: $1-t^2 = (1-t)(1+t)$ и $t-1 = -(1-t)$.

$\frac{t^2-3}{(1-t)(1+t)} + \frac{t+1}{-(1-t)} = \frac{4}{1+t}$

$\frac{t^2-3}{(1-t)(1+t)} - \frac{t+1}{1-t} = \frac{4}{1+t}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(1-t)(1+t)$:

$\frac{t^2-3}{(1-t)(1+t)} - \frac{(t+1)(1+t)}{1-t} = \frac{4(1-t)}{1+t}$

Умножим обе части на общий знаменатель $(1-t)(1+t)$, который не равен нулю в ОДЗ:

$t^2-3 - (t+1)(1+t) = 4(1-t)$

$t^2-3 - (t+1)^2 = 4-4t$

$t^2-3 - (t^2+2t+1) = 4-4t$

$t^2-3-t^2-2t-1 = 4-4t$

$-2t - 4 = 4 - 4t$

$4t - 2t = 4 + 4$

$2t = 8$

$t = 4$

Корень $t=4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

4) $\frac{y^2+17}{y^2-1} = \frac{y-2}{y+1} - \frac{5}{1-y}$

ОДЗ: $y^2-1 \neq 0 \implies y \neq \pm 1$; $y+1 \neq 0 \implies y \neq -1$; $1-y \neq 0 \implies y \neq 1$. Итого, $y \neq \pm 1$.

Преобразуем знаменатели: $y^2-1 = (y-1)(y+1)$ и $1-y = -(y-1)$.

$\frac{y^2+17}{(y-1)(y+1)} = \frac{y-2}{y+1} - \frac{5}{-(y-1)}$

$\frac{y^2+17}{(y-1)(y+1)} = \frac{y-2}{y+1} + \frac{5}{y-1}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $(y-1)(y+1)$:

$\frac{y^2+17}{(y-1)(y+1)} = \frac{(y-2)(y-1)}{(y+1)(y-1)} + \frac{5(y+1)}{(y-1)(y+1)}$

$\frac{y^2+17}{(y-1)(y+1)} = \frac{(y-2)(y-1) + 5(y+1)}{(y-1)(y+1)}$

Приравниваем числители:

$y^2+17 = (y-2)(y-1) + 5(y+1)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$y^2+17 = (y^2 - y - 2y + 2) + (5y+5)$

$y^2+17 = y^2 - 3y + 2 + 5y + 5$

$y^2+17 = y^2 + 2y + 7$

Вычтем $y^2$ из обеих частей:

$17 = 2y + 7$

$10 = 2y$

$y = 5$

Корень $y=5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5.

0.29.

1) $x + 2 - \frac{3x + 8}{x + 2} = \frac{x}{x + 2};$

2) $\frac{6}{4x^2 - 1} + \frac{3}{2x + 1} = \frac{2}{2x - 1} + 1;$

3) $\frac{4}{(x - 3)(x - 1)} + \frac{2}{3 - x} + \frac{5}{x - 1} = 7;$

4) $\frac{1}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} = \frac{4}{4 - x^2} + 1.$

1) $x + 2 - \frac{3x+8}{x+2} = \frac{x}{x+2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$.

Приведем все слагаемые в левой части к общему знаменателю $x+2$:

$\frac{(x+2)(x+2)}{x+2} - \frac{3x+8}{x+2} = \frac{x}{x+2}$

$\frac{x^2+4x+4 - (3x+8)}{x+2} = \frac{x}{x+2}$

Умножим обе части уравнения на $x+2$ (с учетом ОДЗ), чтобы избавиться от знаменателя:

$x^2+4x+4 - 3x - 8 = x$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + x - 4 = x$

$x^2 - 4 = 0$

Разложим на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x \neq -2$, поэтому он является посторонним.

Единственным решением является $x=2$.

Ответ: 2

2) $\frac{6}{4x^2-1} + \frac{3}{2x+1} = \frac{2}{2x-1} + 1$

Разложим знаменатель $4x^2-1$ на множители: $4x^2-1 = (2x-1)(2x+1)$.

ОДЗ: $(2x-1)(2x+1) \neq 0$, следовательно, $x \neq \frac{1}{2}$ и $x \neq -\frac{1}{2}$.

Перепишем уравнение с разложенным знаменателем:

$\frac{6}{(2x-1)(2x+1)} + \frac{3}{2x+1} = \frac{2}{2x-1} + 1$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(2x-1)(2x+1)$:

$6 + 3(2x-1) = 2(2x+1) + (2x-1)(2x+1)$

Раскроем скобки и упростим:

$6 + 6x - 3 = 4x + 2 + 4x^2 - 1$

$6x + 3 = 4x^2 + 4x + 1$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 + 4x - 6x + 1 - 3 = 0$

$4x^2 - 2x - 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$2x^2 - x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, он посторонний.

Единственным решением является $x=1$.

Ответ: 1

3) $\frac{4}{(x-3)(x-1)} + \frac{2}{3-x} + \frac{5}{x-1} = 7$

Заметим, что $3-x = -(x-3)$. Перепишем уравнение:

$\frac{4}{(x-3)(x-1)} - \frac{2}{x-3} + \frac{5}{x-1} = 7$

ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-3)(x-1)$:

$4 - 2(x-1) + 5(x-3) = 7(x-3)(x-1)$

Раскроем скобки:

$4 - 2x + 2 + 5x - 15 = 7(x^2 - x - 3x + 3)$

Упростим обе части:

$3x - 9 = 7(x^2 - 4x + 3)$

$3x - 9 = 7x^2 - 28x + 21$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$7x^2 - 28x - 3x + 21 + 9 = 0$

$7x^2 - 31x + 30 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4(7)(30) = 961 - 840 = 121$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 + 11}{2 \cdot 7} = \frac{42}{14} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 - 11}{2 \cdot 7} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, он посторонний.

Единственным решением является $x = \frac{10}{7}$.

Ответ: $\frac{10}{7}$

4) $\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} = \frac{4}{4-x^2} + 1$

Заметим, что $4-x^2 = -(x^2-4) = -(x-2)(x+2)$. Перепишем уравнение:

$\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} = -\frac{4}{(x-2)(x+2)} + 1$

ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$:

$1(x-2) - 3(x+2) = -4 + 1(x-2)(x+2)$

Раскроем скобки:

$x - 2 - 3x - 6 = -4 + x^2 - 4$

Упростим обе части:

$-2x - 8 = x^2 - 8$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$x^2 + 2x - 8 + 8 = 0$

$x^2 + 2x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, он посторонний.

Единственным решением является $x=0$.

Ответ: 0

0.30.

1) $x^4-29x^2+100=0;$

2) $x^4+7x^2+10=0;$

3) $5y^4+2y^2-3=0;$

4) $2y^4-5y^2-7=0;$

5) $x^4-(a^2+9)x^2+9a^2=0;$

6) $x^4-(9a^2+4)x^2+36a^2=0.$

1) Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$t^2 - 29t + 100 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней равна 29, а произведение равно 100. Легко подобрать корни: $t_1 = 25$ и $t_2 = 4$.
Оба корня положительны, поэтому удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1. $x^2 = t_1 = 25 \implies x = \pm\sqrt{25} \implies x = \pm 5$.
2. $x^2 = t_2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x = \pm 2$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $x \in \{-5, -2, 2, 5\}$.

2) Сделаем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:
$t^2 + 7t + 10 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
Корни уравнения:
$t = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 \pm 3}{2}$
$t_1 = \frac{-7-3}{2} = -5$
$t_2 = \frac{-7+3}{2} = -2$
Оба корня отрицательны. Однако по условию замены $t = x^2$, значение $t$ не может быть отрицательным для действительных $x$.
Следовательно, уравнения $x^2 = -5$ и $x^2 = -2$ не имеют действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.

3) Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = y^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:
$5t^2 + 2t - 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.
Корни уравнения:
$t = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 \pm 8}{10}$
$t_1 = \frac{-2+8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$t_2 = \frac{-2-8}{10} = -1$
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому отбрасываем его.
Остается $t_1 = \frac{3}{5}$.
Вернемся к замене:
$y^2 = \frac{3}{5} \implies y = \pm\sqrt{\frac{3}{5}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{5}$.
Ответ: $y = \pm\frac{\sqrt{15}}{5}$.

4) Сделаем замену $t = y^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:
$2t^2 - 5t - 7 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.
Корни уравнения:
$t = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 9}{4}$
$t_1 = \frac{5+9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$
$t_2 = \frac{5-9}{4} = -1$
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Остается $t_1 = \frac{7}{2}$.
Вернемся к замене:
$y^2 = \frac{7}{2} \implies y = \pm\sqrt{\frac{7}{2}} = \pm\frac{\sqrt{14}}{2}$.
Ответ: $y = \pm\frac{\sqrt{14}}{2}$.

5) Это биквадратное уравнение с параметром $a$. Сделаем замену $t = x^2$, $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:
$t^2 - (a^2+9)t + 9a^2 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $a^2+9$, а их произведение равно $9a^2$.
Легко видеть, что корнями являются $t_1 = a^2$ и $t_2 = 9$.
Проверим оба корня на условие $t \ge 0$:
1. $t_1 = a^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $a^2 \ge 0$ при любом $a$. Этот корень подходит.
2. $t_2 = 9$. Это число положительное, корень подходит.
Вернемся к замене:
1. $x^2 = t_1 = a^2 \implies x = \pm\sqrt{a^2} \implies x = \pm a$.
2. $x^2 = t_2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} \implies x = \pm 3$.
Ответ: $x = \pm 3, x = \pm a$.

6) Сделаем замену $t = x^2$, $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:
$t^2 - (9a^2+4)t + 36a^2 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $9a^2+4$, а их произведение равно $36a^2$.
Корнями являются $t_1 = 9a^2$ и $t_2 = 4$.
Проверим оба корня на условие $t \ge 0$:
1. $t_1 = 9a^2$. Так как $a^2 \ge 0$, то и $9a^2 \ge 0$. Корень подходит.
2. $t_2 = 4 > 0$. Корень подходит.
Вернемся к замене:
1. $x^2 = t_1 = 9a^2 \implies x = \pm\sqrt{9a^2} \implies x = \pm 3a$.
2. $x^2 = t_2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x = \pm 2$.
Ответ: $x = \pm 2, x = \pm 3a$.

0.31.

1) $(x+3)^4 - 13(x+3)^2 + 36 = 0;$

2) $(2x-1)^4 - (2x-1)^2 - 12 = 0;$

3) $(x-1)^4 - x^2 + 2x - 73 = 0;$

4) $(x+2)^4 + 2x^2 + 8x - 16 = 0.$

1) $(x+3)^4-13(x+3)^2+36=0$

Это биквадратное уравнение относительно выражения $(x+3)$. Введем замену переменной. Пусть $t = (x+3)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней $t_1 + t_2 = 13$

Произведение корней $t_1 \cdot t_2 = 36$

Подбором находим корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

Случай 1: $t_1 = 4$

$(x+3)^2 = 4$

$x+3 = 2$ или $x+3 = -2$

$x_1 = 2 - 3 = -1$

$x_2 = -2 - 3 = -5$

Случай 2: $t_2 = 9$

$(x+3)^2 = 9$

$x+3 = 3$ или $x+3 = -3$

$x_3 = 3 - 3 = 0$

$x_4 = -3 - 3 = -6$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-6; -5; -1; 0$.

2) $(2x-1)^4-(2x-1)^2-12=0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену: пусть $t = (2x-1)^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - t - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 1$

$t_1 \cdot t_2 = -12$

Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим единственный подходящий корень $t_1 = 4$.

Выполним обратную замену:

$(2x-1)^2 = 4$

$2x-1 = 2$ или $2x-1 = -2$

$2x = 3$ или $2x = -1$

$x_1 = \frac{3}{2} = 1.5$

$x_2 = -\frac{1}{2} = -0.5$

Ответ: $-0.5; 1.5$.

3) $(x-1)^4-x^2+2x-73=0$

Преобразуем среднюю часть уравнения, чтобы выделить выражение $(x-1)^2$.

$-x^2+2x-73 = -(x^2-2x) - 73$

Заметим, что $(x-1)^2 = x^2-2x+1$, откуда $x^2-2x = (x-1)^2-1$.

Подставим это в преобразованную часть:

$-( (x-1)^2 - 1 ) - 73 = -(x-1)^2 + 1 - 73 = -(x-1)^2 - 72$

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

$(x-1)^4 - (x-1)^2 - 72 = 0$

Введем замену $t = (x-1)^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 - t - 72 = 0$

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 1$, $t_1 \cdot t_2 = -72$. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -8$.

Корень $t_2 = -8$ не подходит, так как $t \ge 0$.

Берем $t_1 = 9$ и делаем обратную замену:

$(x-1)^2 = 9$

$x-1 = 3$ или $x-1 = -3$

$x_1 = 3 + 1 = 4$

$x_2 = -3 + 1 = -2$

Ответ: $-2; 4$.

4) $(x+2)^4+2x^2+8x-16=0$

Преобразуем часть уравнения $2x^2+8x-16$, чтобы выделить выражение $(x+2)^2$.

$2x^2+8x-16 = 2(x^2+4x) - 16$

Заметим, что $(x+2)^2 = x^2+4x+4$, откуда $x^2+4x = (x+2)^2-4$.

Подставим это в преобразованную часть:

$2( (x+2)^2 - 4 ) - 16 = 2(x+2)^2 - 8 - 16 = 2(x+2)^2 - 24$

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

$(x+2)^4 + 2(x+2)^2 - 24 = 0$

Сделаем замену $t = (x+2)^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 + 2t - 24 = 0$

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -2$, $t_1 \cdot t_2 = -24$. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -6$.

Корень $t_2 = -6$ не подходит, так как $t \ge 0$.

Берем $t_1 = 4$ и делаем обратную замену:

$(x+2)^2 = 4$

$x+2 = 2$ или $x+2 = -2$

$x_1 = 2 - 2 = 0$

$x_2 = -2 - 2 = -4$

Ответ: $-4; 0$.

0.32.

1) $x^4+x^3-4x^2+x+1=0;$

2) $6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0;$

3) $x^3-3x^2-3x+1=0;$

4) $3x^3-7x^2-7x+3=0;$

5) $5x^4-12x^3+11x^2-12x+5=0;$

6) $x^4+5x^3+4x^2-5x+1=0.$

1) Дано уравнение $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$.
Это симметричное (возвратное) уравнение четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны. Поскольку $x=0$ не является корнем уравнения, мы можем разделить обе его части на $x^2$:
$x^2+x-4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^2+\frac{1}{x^2})+(x+\frac{1}{x})-4=0$
Введем новую переменную $y = x+\frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x+\frac{1}{x})^2 = x^2+2+\frac{1}{x^2}$, откуда следует, что $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2$.
Подставим это в сгруппированное уравнение:
$(y^2-2)+y-4=0$
$y^2+y-6=0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни. По теореме Виета, корни $y_1=2$ и $y_2=-3$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая:
1. $y=2$:
$x+\frac{1}{x}=2$
Умножим на $x$ (мы знаем, что $x \neq 0$):
$x^2+1=2x$
$x^2-2x+1=0$
$(x-1)^2=0$
Отсюда получаем корень $x_1=1$ кратности 2.
2. $y=-3$:
$x+\frac{1}{x}=-3$
$x^2+1=-3x$
$x^2+3x+1=0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9-4=5$
$x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$
Таким образом, все корни исходного уравнения найдены.
Ответ: $1, \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

2) Дано уравнение $6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0$.
Это также симметричное уравнение четвертой степени. Делим на $x^2$ ($x=0$ не является корнем):
$6x^2+5x-38+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}=0$
$6(x^2+\frac{1}{x^2})+5(x+\frac{1}{x})-38=0$
Сделаем замену $y = x+\frac{1}{x}$, тогда $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2$.
$6(y^2-2)+5y-38=0$
$6y^2-12+5y-38=0$
$6y^2+5y-50=0$
Решим квадратное уравнение для $y$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-50) = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$
$y = \frac{-5 \pm 35}{12}$
$y_1 = \frac{-5+35}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$
$y_2 = \frac{-5-35}{12} = \frac{-40}{12} = -\frac{10}{3}$
Возвращаемся к переменной $x$:
1. $x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2} \implies 2x^2-5x+2=0$. Корни этого уравнения $x_1=2, x_2=\frac{1}{2}$.
2. $x+\frac{1}{x}=-\frac{10}{3} \implies 3x^2+10x+3=0$. Корни этого уравнения $x_3=-3, x_4=-\frac{1}{3}$.
Ответ: $2, \frac{1}{2}, -3, -\frac{1}{3}$.

3) Дано уравнение $x^3-3x^2-3x+1=0$.
Это симметричное уравнение третьей степени. У таких уравнений всегда есть корень $x=-1$. Сделаем проверку:
$(-1)^3 - 3(-1)^2 - 3(-1) + 1 = -1 - 3 + 3 + 1 = 0$. Верно.
Следовательно, многочлен $x^3-3x^2-3x+1$ делится на $(x+1)$ без остатка. Выполним деление (например, столбиком):
$(x^3-3x^2-3x+1) \div (x+1) = x^2-4x+1$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(x+1)(x^2-4x+1)=0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
1. $x+1=0 \implies x_1=-1$.
2. $x^2-4x+1=0$. Решим это квадратное уравнение:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16-4=12$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
$x_2 = 2+\sqrt{3}, x_3 = 2-\sqrt{3}$.
Ответ: $-1, 2 \pm \sqrt{3}$.

4) Дано уравнение $3x^3-7x^2-7x+3=0$.
Это симметричное уравнение третьей степени, у которого $x=-1$ является корнем. Проверка:
$3(-1)^3 - 7(-1)^2 - 7(-1) + 3 = -3 - 7 + 7 + 3 = 0$.
Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(3x^3-7x^2-7x+3) \div (x+1) = 3x^2-10x+3$.
Получаем уравнение:
$(x+1)(3x^2-10x+3)=0$
Отсюда либо $x_1=-1$, либо $3x^2-10x+3=0$.
Решим квадратное уравнение $3x^2-10x+3=0$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100-36=64=8^2$
$x = \frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.
$x_2 = \frac{18}{6}=3$, $x_3 = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
Ответ: $-1, 3, \frac{1}{3}$.

5) Дано уравнение $5x^4-12x^3+11x^2-12x+5=0$.
Это симметричное уравнение четвертой степени. Разделим на $x^2$:
$5x^2-12x+11-\frac{12}{x}+\frac{5}{x^2}=0$
$5(x^2+\frac{1}{x^2})-12(x+\frac{1}{x})+11=0$
Применим замену $y = x+\frac{1}{x}$, из которой $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2$.
$5(y^2-2)-12y+11=0$
$5y^2-10-12y+11=0$
$5y^2-12y+1=0$
Решим это уравнение относительно $y$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 144-20=124$
$y = \frac{12 \pm \sqrt{124}}{10} = \frac{12 \pm 2\sqrt{31}}{10} = \frac{6 \pm \sqrt{31}}{5}$.
Вернемся к $x$:
1. $y = \frac{6 + \sqrt{31}}{5}$. Решаем уравнение $x+\frac{1}{x}=\frac{6 + \sqrt{31}}{5}$, или $5x^2 - (6+\sqrt{31})x + 5 = 0$.
Дискриминант $D_x = (6+\sqrt{31})^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 36+12\sqrt{31}+31-100 = 12\sqrt{31}-33$. Так как $(12\sqrt{31})^2 > 33^2$, дискриминант положителен.
Корни: $x_{1,2} = \frac{6+\sqrt{31} \pm \sqrt{12\sqrt{31}-33}}{10}$.
2. $y = \frac{6 - \sqrt{31}}{5}$. Решаем уравнение $x+\frac{1}{x}=\frac{6 - \sqrt{31}}{5}$, или $5x^2 - (6-\sqrt{31})x + 5 = 0$.
Дискриминант $D_x = (6-\sqrt{31})^2 - 100 = 36-12\sqrt{31}+31-100 = -33-12\sqrt{31} < 0$.
В этом случае действительных корней нет. Комплексные корни: $x_{3,4} = \frac{6-\sqrt{31} \pm i\sqrt{33+12\sqrt{31}}}{10}$.
Ответ: $\frac{6+\sqrt{31} \pm \sqrt{12\sqrt{31}-33}}{10}, \frac{6-\sqrt{31} \pm i\sqrt{33+12\sqrt{31}}}{10}$.

6) Дано уравнение $x^4+5x^3+4x^2-5x+1=0$.
Это уравнение является кососимметричным, так как коэффициенты при $x^k$ и $x^{n-k}$ равны по модулю, но противоположны по знаку (кроме крайних и центрального). Метод решения похож на решение симметричных уравнений. Разделим на $x^2$ ($x=0$ не корень):
$x^2+5x+4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^2+\frac{1}{x^2})+5(x-\frac{1}{x})+4=0$
Введем замену $y = x-\frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x-\frac{1}{x})^2 = x^2-2+\frac{1}{x^2}$, откуда $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2+2$.
Подставим в уравнение:
$(y^2+2)+5y+4=0$
$y^2+5y+6=0$
Корни этого квадратного уравнения: $y_1=-2$ и $y_2=-3$.
Вернемся к переменной $x$:
1. $y=-2$:
$x-\frac{1}{x}=-2 \implies x^2+2x-1=0$.
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 8$. Корни $x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
2. $y=-3$:
$x-\frac{1}{x}=-3 \implies x^2+3x-1=0$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 13$. Корни $x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Ответ: $-1 \pm \sqrt{2}, \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

0.33.

1) $\sqrt{y+2} - \sqrt{y-6} = 2;$

2) $\sqrt{22-x} - \sqrt{10-x} = 2;$

3) $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x-1} = 2;$

4) $\sqrt{x+3} + \sqrt{3x-2} = 7;$

5) $\sqrt{x+1} + \sqrt{2x+3} = 1;$

6) $\sqrt{3x-2} = 2\sqrt{x+2} - 2.$

1) $\sqrt{y+2} - \sqrt{y-6} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными.

$y+2 \ge 0 \Rightarrow y \ge -2$

$y-6 \ge 0 \Rightarrow y \ge 6$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $y \ge 6$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения:

$\sqrt{y+2} = 2 + \sqrt{y-6}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{y+2})^2 = (2 + \sqrt{y-6})^2$

$y+2 = 4 + 4\sqrt{y-6} + (y-6)$

Упростим полученное выражение:

$y+2 = y - 2 + 4\sqrt{y-6}$

Изолируем оставшийся корень:

$4 = 4\sqrt{y-6}$

$1 = \sqrt{y-6}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{y-6})^2$

$1 = y-6$

$y = 7$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение ОДЗ. $7 \ge 6$, условие выполняется.

Проверим решение, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt{7+2} - \sqrt{7-6} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$.

$2=2$. Равенство верно.

Ответ: $7$.

2) $\sqrt{22-x} - \sqrt{10-x} = 2$

Найдем ОДЗ:

$22-x \ge 0 \Rightarrow x \le 22$

$10-x \ge 0 \Rightarrow x \le 10$

Общая ОДЗ: $x \le 10$.

Перенесем корень в правую часть:

$\sqrt{22-x} = 2 + \sqrt{10-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{22-x})^2 = (2 + \sqrt{10-x})^2$

$22-x = 4 + 4\sqrt{10-x} + (10-x)$

$22-x = 14-x + 4\sqrt{10-x}$

Упростим и изолируем корень:

$22-14 = 4\sqrt{10-x}$

$8 = 4\sqrt{10-x}$

$2 = \sqrt{10-x}$

Снова возведем в квадрат:

$2^2 = (\sqrt{10-x})^2$

$4 = 10-x$

$x = 6$

Проверим ОДЗ. $6 \le 10$, условие выполняется.

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{22-6} - \sqrt{10-6} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.

$2=2$. Равенство верно.

Ответ: $6$.

3) $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x-1} = 2$

Найдем ОДЗ:

$3x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1/3$

$x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

Общая ОДЗ: $x \ge 1$.

Перенесем корень в правую часть:

$\sqrt{3x+1} = 2 + \sqrt{x-1}$

Возведем обе части в квадрат:

$3x+1 = 4 + 4\sqrt{x-1} + (x-1)$

$3x+1 = x+3 + 4\sqrt{x-1}$

Изолируем корень:

$2x-2 = 4\sqrt{x-1}$

$x-1 = 2\sqrt{x-1}$

Возведем обе части в квадрат:

$(x-1)^2 = (2\sqrt{x-1})^2$

$(x-1)^2 = 4(x-1)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель:

$(x-1)^2 - 4(x-1) = 0$

$(x-1)(x-1-4) = 0$

$(x-1)(x-5) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1=1$, $x_2=5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($1 \ge 1$ и $5 \ge 1$).

Проверим оба корня:

Для $x=1$: $\sqrt{3(1)+1} - \sqrt{1-1} = \sqrt{4} - \sqrt{0} = 2 - 0 = 2$. Верно.

Для $x=5$: $\sqrt{3(5)+1} - \sqrt{5-1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$. Верно.

Ответ: $1; 5$.

4) $\sqrt{x+3} + \sqrt{3x-2} = 7$

Найдем ОДЗ:

$x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$

$3x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2/3$

Общая ОДЗ: $x \ge 2/3$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{x+3} = 7 - \sqrt{3x-2}$

Возведем обе части в квадрат:

$x+3 = (7 - \sqrt{3x-2})^2$

$x+3 = 49 - 14\sqrt{3x-2} + (3x-2)$

$x+3 = 3x+47 - 14\sqrt{3x-2}$

Изолируем оставшийся корень:

$14\sqrt{3x-2} = 2x+44$

$7\sqrt{3x-2} = x+22$

Снова возведем в квадрат:

$(7\sqrt{3x-2})^2 = (x+22)^2$

$49(3x-2) = x^2+44x+484$

$147x-98 = x^2+44x+484$

$x^2 - 103x + 582 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-103)^2 - 4(1)(582) = 10609 - 2328 = 8281 = 91^2$

$x = \frac{103 \pm 91}{2}$

$x_1 = \frac{103+91}{2} = \frac{194}{2} = 97$

$x_2 = \frac{103-91}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Проверим корни. При возведении в квадрат $\sqrt{x+3} = 7 - \sqrt{3x-2}$ правая часть должна быть неотрицательной: $7 - \sqrt{3x-2} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{3x-2} \le 7 \Rightarrow 3x-2 \le 49 \Rightarrow 3x \le 51 \Rightarrow x \le 17$.

Корень $x_1=97$ не удовлетворяет условию $x \le 17$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2=6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 2/3$) и условию $6 \le 17$.

Проверим $x=6$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{6+3} + \sqrt{3(6)-2} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4=7$.

$7=7$. Верно.

Ответ: $6$.

5) $\sqrt{x+1} + \sqrt{2x+3} = 1$

Найдем ОДЗ:

$x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$

$2x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3/2$

Общая ОДЗ: $x \ge -1$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{2x+3} = 1 - \sqrt{x+1}$

Поскольку левая часть неотрицательна, правая тоже должна быть неотрицательной: $1 - \sqrt{x+1} \ge 0 \Rightarrow 1 \ge \sqrt{x+1} \Rightarrow 1 \ge x+1 \Rightarrow x \le 0$.

С учетом ОДЗ, получаем, что возможное решение должно лежать в интервале $x \in [-1, 0]$.

Возведем в квадрат обе части уравнения $\sqrt{2x+3} = 1 - \sqrt{x+1}$:

$2x+3 = (1 - \sqrt{x+1})^2$

$2x+3 = 1 - 2\sqrt{x+1} + (x+1)$

$2x+3 = x+2 - 2\sqrt{x+1}$

Изолируем корень:

$x+1 = -2\sqrt{x+1}$

Снова, левая часть $x+1$ и правая $-2\sqrt{x+1}$ должны иметь одинаковый знак. Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, правая часть $\le 0$. Значит, и левая часть $x+1 \le 0 \Rightarrow x \le -1$.

Из условий $x \in [-1, 0]$ и $x \le -1$ следует, что единственным возможным решением является $x=-1$.

Проверим $x=-1$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{-1+1} + \sqrt{2(-1)+3} = \sqrt{0} + \sqrt{1} = 0+1=1$.

$1=1$. Верно.

Ответ: $-1$.

6) $\sqrt{3x-2} = 2\sqrt{x+2} - 2$

Найдем ОДЗ:

$3x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2/3$

$x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$

Общая ОДЗ: $x \ge 2/3$.

Левая часть уравнения неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной:

$2\sqrt{x+2} - 2 \ge 0 \Rightarrow 2\sqrt{x+2} \ge 2 \Rightarrow \sqrt{x+2} \ge 1 \Rightarrow x+2 \ge 1 \Rightarrow x \ge -1$.

Это условие не сужает нашу ОДЗ $x \ge 2/3$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x-2})^2 = (2\sqrt{x+2} - 2)^2$

$3x-2 = 4(x+2) - 8\sqrt{x+2} + 4$

$3x-2 = 4x+8 - 8\sqrt{x+2} + 4$

$3x-2 = 4x+12 - 8\sqrt{x+2}$

Изолируем корень:

$8\sqrt{x+2} = x+14$

Снова возведем в квадрат:

$(8\sqrt{x+2})^2 = (x+14)^2$

$64(x+2) = x^2+28x+196$

$64x+128 = x^2+28x+196$

$x^2 - 36x + 68 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-36)^2 - 4(1)(68) = 1296 - 272 = 1024 = 32^2$

$x = \frac{36 \pm 32}{2}$

$x_1 = \frac{36+32}{2} = \frac{68}{2} = 34$

$x_2 = \frac{36-32}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($34 \ge 2/3$ и $2 \ge 2/3$).

Проверим оба корня подстановкой в исходное уравнение.

Для $x=34$: $\sqrt{3(34)-2} = \sqrt{100}=10$. $2\sqrt{34+2}-2 = 2\sqrt{36}-2 = 2(6)-2 = 10$. Верно.

Для $x=2$: $\sqrt{3(2)-2} = \sqrt{4}=2$. $2\sqrt{2+2}-2 = 2\sqrt{4}-2 = 2(2)-2 = 2$. Верно.

Ответ: $2; 34$.