Номер 0.25, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Повторение материала, пройденного в 8 классе

0.25. Найдите вершину и ось параболы и постройте ее график:

1)

$y=x^2-4$;

2)

$y=(x-4)^2$;

3)

$y=x^2-4x+4$;

4)

$y=2x^2+x-3$.

1) $y=x^2-4$

Это уравнение параболы вида $y=ax^2+bx+c$, где $a=1, b=0, c=-4$. График этой параболы получается из графика параболы $y=x^2$ сдвигом на 4 единицы вниз вдоль оси Oy. Ветви параболы направлены вверх, так как $a=1 > 0$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
$y_v = y(x_v) = 0^2 - 4 = -4$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -4)$.

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = x_v$, то есть $x=0$ (ось Oy).

Для построения графика найдем точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y = -4$. Точка $(0, -4)$, что совпадает с вершиной.
С осью Ox (при $y=0$): $x^2-4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$. Точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Ответ: Вершина $(0, -4)$, ось параболы $x=0$.

2) $y=(x-4)^2$

Это уравнение параболы вида $y=a(x-h)^2+k$, где $a=1, h=4, k=0$. Координаты вершины такой параболы равны $(h, k)$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(4, 0)$. Ветви направлены вверх ($a=1 > 0$).

Ось симметрии параболы имеет уравнение $x = h$, то есть $x=4$.

Для построения графика найдем точки пересечения с осями:
С осью Ox (при $y=0$): $(x-4)^2 = 0 \implies x=4$. Точка $(4, 0)$, вершина.
С осью Oy (при $x=0$): $y = (0-4)^2 = 16$. Точка $(0, 16)$.

Ответ: Вершина $(4, 0)$, ось параболы $x=4$.

3) $y=x^2-4x+4$

Заметим, что выражение в правой части является полным квадратом разности: $x^2-2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.
Таким образом, уравнение параболы можно переписать в виде $y=(x-2)^2$.

Это уравнение вида $y=a(x-h)^2+k$ с $a=1, h=2, k=0$.
Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть $(2, 0)$. Ветви направлены вверх ($a=1 > 0$).

Ось симметрии параболы: $x = h$, то есть $x=2$.

Найдем точки пересечения с осями:
С осью Ox: $(x-2)^2=0 \implies x=2$. Точка $(2,0)$, вершина.
С осью Oy (при $x=0$): $y=(0-2)^2=4$. Точка $(0, 4)$.

Ответ: Вершина $(2, 0)$, ось параболы $x=2$.

4) $y=2x^2+x-3$

Это уравнение параболы вида $y=ax^2+bx+c$, где $a=2, b=1, c=-3$. Ветви параболы направлены вверх ($a=2 > 0$) и являются более "крутыми", чем у $y=x^2$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}$.
$y_v = y(x_v) = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) - 3 = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - 3 = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{25}{8} = -3.125$.
Вершина параболы находится в точке $(-\frac{1}{4}, -\frac{25}{8})$.

Ось симметрии параболы: $x = x_v$, то есть $x = -\frac{1}{4}$.

Найдем точки пересечения с осями:
С осью Oy (при $x=0$): $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
С осью Ox (при $y=0$): $2x^2+x-3=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$.
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Точки пересечения $(-1.5, 0)$ и $(1, 0)$.

Ответ: Вершина $(-\frac{1}{4}, -\frac{25}{8})$, ось параболы $x = -\frac{1}{4}$.