Номер 0.23, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.23. Изготовьте шаблон параболы $y=0,5x^2$ из жесткой бумаги и с его помощью постройте графики функций:

1) $y=0,5(x-1)^2+2;$

2) $y=0,5x^2+4;$

3) $y=-0,5(x+2,5)^2-3;$

4) $y=0,5(x+4)^2.$

Для решения задачи сначала необходимо изготовить шаблон параболы $y=0,5x^2$ из жесткой бумаги. Для этого нужно построить график этой функции на координатной плоскости. Вершина этой параболы находится в точке $(0, 0)$. Ветви направлены вверх. Ось симметрии — ось Oy ($x=0$).

Вычислим координаты нескольких точек для построения:
• При $x=0$, $y=0,5 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x=1$, $y=0,5 \cdot 1^2 = 0,5$. Точка $(1; 0,5)$.
• При $x=-1$, $y=0,5 \cdot (-1)^2 = 0,5$. Точка $(-1; 0,5)$.
• При $x=2$, $y=0,5 \cdot 2^2 = 2$. Точка $(2; 2)$.
• При $x=-2$, $y=0,5 \cdot (-2)^2 = 2$. Точка $(-2; 2)$.
• При $x=3$, $y=0,5 \cdot 3^2 = 4,5$. Точка $(3; 4,5)$.
• При $x=-3$, $y=0,5 \cdot (-3)^2 = 4,5$. Точка $(-3; 4,5)$.
Отметив эти точки на бумаге с координатной сеткой и соединив их плавной линией, получим график параболы. Вырезав его, мы получим шаблон.

График этой функции можно получить из графика $y=0,5x^2$ с помощью двух последовательных преобразований: сдвига вправо на 1 единицу и сдвига вверх на 2 единицы. Эти два сдвига можно объединить в один параллельный перенос на вектор $(1, 2)$. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 2)$.

Для построения с помощью шаблона необходимо:
1. Найти новую вершину параболы: $(1, 2)$.
2. Приложить шаблон к координатной плоскости так, чтобы его вершина совпала с точкой $(1, 2)$, а ось симметрии шаблона была параллельна оси Oy и проходила через эту точку (по прямой $x=1$).
3. Обвести шаблон. Ветви параболы будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y=0,5(x-1)^2+2$ получается путем сдвига шаблона параболы $y=0,5x^2$ на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх. Вершина новой параболы находится в точке $(1, 2)$.

График этой функции получается из графика $y=0,5x^2$ сдвигом вверх на 4 единицы. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 4)$.

Для построения с помощью шаблона необходимо:
1. Найти новую вершину параболы: $(0, 4)$.
2. Приложить шаблон к координатной плоскости так, чтобы его вершина совпала с точкой $(0, 4)$, а ось симметрии шаблона совпала с осью Oy (по прямой $x=0$).
3. Обвести шаблон. Ветви параболы будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y=0,5x^2+4$ получается путем сдвига шаблона параболы $y=0,5x^2$ на 4 единицы вверх. Вершина новой параболы находится в точке $(0, 4)$.

График этой функции получается из графика $y=0,5x^2$ с помощью трех преобразований: симметричного отражения относительно оси Ox (ветви будут направлены вниз), сдвига влево на 2,5 единицы и сдвига вниз на 3 единицы. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-2,5; -3)$.

Для построения с помощью шаблона необходимо:
1. Найти новую вершину параболы: $(-2,5; -3)$.
2. Перевернуть шаблон "вверх ногами" (отразить относительно горизонтальной оси), так как коэффициент перед скобкой отрицательный.
3. Приложить перевернутый шаблон к координатной плоскости так, чтобы его вершина совпала с точкой $(-2,5; -3)$, а ось симметрии была параллельна оси Oy и проходила через эту точку (по прямой $x=-2,5$).
4. Обвести шаблон. Ветви параболы будут направлены вниз.

Ответ: График функции $y=-0,5(x+2,5)^2-3$ получается путем отражения шаблона параболы $y=0,5x^2$ относительно оси Ox с последующим сдвигом на 2,5 единицы влево и на 3 единицы вниз. Вершина новой параболы находится в точке $(-2,5; -3)$, ветви направлены вниз.

График этой функции получается из графика $y=0,5x^2$ сдвигом влево на 4 единицы. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-4, 0)$.

Для построения с помощью шаблона необходимо:
1. Найти новую вершину параболы: $(-4, 0)$.
2. Приложить шаблон к координатной плоскости так, чтобы его вершина совпала с точкой $(-4, 0)$, а ось симметрии была параллельна оси Oy и проходила через эту точку (по прямой $x=-4$).
3. Обвести шаблон. Ветви параболы будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y=0,5(x+4)^2$ получается путем сдвига шаблона параболы $y=0,5x^2$ на 4 единицы влево. Вершина новой параболы находится в точке $(-4, 0)$.

Ниже представлен общий график, на котором показаны все построенные параболы и исходный шаблон:

На графике:
• Серая пунктирная линия: шаблон $y=0,5x^2$
• Красная линия: $y=0,5(x-1)^2+2$
• Синяя линия: $y=0,5x^2+4$
• Зеленая линия: $y=-0,5(x+2,5)^2-3$
• Оранжевая линия: $y=0,5(x+4)^2$