Номер 0.29, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.29.

1) $x + 2 - \frac{3x + 8}{x + 2} = \frac{x}{x + 2};$

2) $\frac{6}{4x^2 - 1} + \frac{3}{2x + 1} = \frac{2}{2x - 1} + 1;$

3) $\frac{4}{(x - 3)(x - 1)} + \frac{2}{3 - x} + \frac{5}{x - 1} = 7;$

4) $\frac{1}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} = \frac{4}{4 - x^2} + 1.$

1) $x + 2 - \frac{3x+8}{x+2} = \frac{x}{x+2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$.

Приведем все слагаемые в левой части к общему знаменателю $x+2$:

$\frac{(x+2)(x+2)}{x+2} - \frac{3x+8}{x+2} = \frac{x}{x+2}$

$\frac{x^2+4x+4 - (3x+8)}{x+2} = \frac{x}{x+2}$

Умножим обе части уравнения на $x+2$ (с учетом ОДЗ), чтобы избавиться от знаменателя:

$x^2+4x+4 - 3x - 8 = x$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + x - 4 = x$

$x^2 - 4 = 0$

Разложим на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x \neq -2$, поэтому он является посторонним.

Единственным решением является $x=2$.

Ответ: 2

2) $\frac{6}{4x^2-1} + \frac{3}{2x+1} = \frac{2}{2x-1} + 1$

Разложим знаменатель $4x^2-1$ на множители: $4x^2-1 = (2x-1)(2x+1)$.

ОДЗ: $(2x-1)(2x+1) \neq 0$, следовательно, $x \neq \frac{1}{2}$ и $x \neq -\frac{1}{2}$.

Перепишем уравнение с разложенным знаменателем:

$\frac{6}{(2x-1)(2x+1)} + \frac{3}{2x+1} = \frac{2}{2x-1} + 1$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(2x-1)(2x+1)$:

$6 + 3(2x-1) = 2(2x+1) + (2x-1)(2x+1)$

Раскроем скобки и упростим:

$6 + 6x - 3 = 4x + 2 + 4x^2 - 1$

$6x + 3 = 4x^2 + 4x + 1$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 + 4x - 6x + 1 - 3 = 0$

$4x^2 - 2x - 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$2x^2 - x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, он посторонний.

Единственным решением является $x=1$.

Ответ: 1

3) $\frac{4}{(x-3)(x-1)} + \frac{2}{3-x} + \frac{5}{x-1} = 7$

Заметим, что $3-x = -(x-3)$. Перепишем уравнение:

$\frac{4}{(x-3)(x-1)} - \frac{2}{x-3} + \frac{5}{x-1} = 7$

ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-3)(x-1)$:

$4 - 2(x-1) + 5(x-3) = 7(x-3)(x-1)$

Раскроем скобки:

$4 - 2x + 2 + 5x - 15 = 7(x^2 - x - 3x + 3)$

Упростим обе части:

$3x - 9 = 7(x^2 - 4x + 3)$

$3x - 9 = 7x^2 - 28x + 21$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$7x^2 - 28x - 3x + 21 + 9 = 0$

$7x^2 - 31x + 30 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4(7)(30) = 961 - 840 = 121$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 + 11}{2 \cdot 7} = \frac{42}{14} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 - 11}{2 \cdot 7} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, он посторонний.

Единственным решением является $x = \frac{10}{7}$.

Ответ: $\frac{10}{7}$

4) $\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} = \frac{4}{4-x^2} + 1$

Заметим, что $4-x^2 = -(x^2-4) = -(x-2)(x+2)$. Перепишем уравнение:

$\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} = -\frac{4}{(x-2)(x+2)} + 1$

ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$:

$1(x-2) - 3(x+2) = -4 + 1(x-2)(x+2)$

Раскроем скобки:

$x - 2 - 3x - 6 = -4 + x^2 - 4$

Упростим обе части:

$-2x - 8 = x^2 - 8$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$x^2 + 2x - 8 + 8 = 0$

$x^2 + 2x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, он посторонний.

Единственным решением является $x=0$.

Ответ: 0