Номер 0.22, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.22. Разложите квадратные трехчлены на множители, если это возможно:

1) $4x^2-9x+5;$

2) $16a^2-24a+9;$

3) $3x^2-12x+12;$

4) $4b^2-9b+7;$

5) $x^2-x-2;$

6) $-48a^2-8a+1;$

7) $-3y^2+8y+11;$

8) $y^2-7y+11;$

9) $4x^2+x+0.04.$

1) Чтобы разложить квадратный трехчлен $4x^2-9x+5$ на множители, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2-9x+5=0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые мы находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
$x_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.
Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$4(x - \frac{5}{4})(x - 1) = (4(x - \frac{5}{4}))(x - 1) = (4x - 5)(x - 1)$.
Ответ: $(4x - 5)(x - 1)$.

2) Трехчлен $16a^2-24a+9$ можно разложить, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
Заметим, что $16a^2 = (4a)^2$ и $9 = 3^2$. Проверим средний член: $2 \cdot (4a) \cdot 3 = 24a$.
Следовательно, $16a^2-24a+9 = (4a-3)^2$.
Ответ: $(4a-3)^2$.

3) В трехчлене $3x^2-12x+12$ вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3(x^2-4x+4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом, так как $x^2-4x+4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.
Таким образом, исходный трехчлен равен $3(x-2)^2$.
Ответ: $3(x-2)^2$.

4) Чтобы определить, можно ли разложить на множители трехчлен $4b^2-9b+7$, найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $4b^2-9b+7=0$.
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 - 112 = -31$.
Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, данный квадратный трехчлен невозможно разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.
Ответ: Разложить на множители невозможно.

5) Для разложения трехчлена $x^2-x-2$ найдем корни уравнения $x^2-x-2=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Поскольку старший коэффициент $a=1$, разложение имеет вид $(x-x_1)(x-x_2)$:
$(x-2)(x-(-1)) = (x-2)(x+1)$.
Ответ: $(x-2)(x+1)$.

6) Для разложения трехчлена $-48a^2-8a+1$ найдем корни уравнения $-48a^2-8a+1=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot (-48) \cdot 1 = 64 + 192 = 256$.
Корни уравнения: $a_1 = \frac{8 + \sqrt{256}}{2 \cdot (-48)} = \frac{8+16}{-96} = \frac{24}{-96} = -\frac{1}{4}$ и $a_2 = \frac{8 - \sqrt{256}}{-96} = \frac{8-16}{-96} = \frac{-8}{-96} = \frac{1}{12}$.
Разложение: $-48(a-(-\frac{1}{4}))(a-\frac{1}{12}) = -48(a+\frac{1}{4})(a-\frac{1}{12})$.
Чтобы получить более простой вид, распределим множитель -48 как $-(4 \cdot 12)$:
$-(4(a+\frac{1}{4})) \cdot (12(a-\frac{1}{12})) = -(4a+1)(12a-1)$.
Ответ: $-(4a+1)(12a-1)$.

7) Для разложения трехчлена $-3y^2+8y+11$ найдем корни уравнения $-3y^2+8y+11=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 11 = 64 + 132 = 196$.
Корни уравнения: $y_1 = \frac{-8 + \sqrt{196}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-8+14}{-6} = -1$ и $y_2 = \frac{-8 - \sqrt{196}}{-6} = \frac{-22}{-6} = \frac{11}{3}$.
Разложение: $-3(y-(-1))(y-\frac{11}{3}) = -3(y+1)(y-\frac{11}{3})$.
Умножим множитель -3 на вторую скобку: $(y+1)(-3(y-\frac{11}{3})) = (y+1)(-3y+11) = (y+1)(11-3y)$.
Ответ: $(y+1)(11-3y)$.

8) Для разложения трехчлена $y^2-7y+11$ найдем корни уравнения $y^2-7y+11=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 49 - 44 = 5$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $y_1 = \frac{7+\sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{7-\sqrt{5}}{2}$.
Разложение на множители имеет вид $(y-y_1)(y-y_2)$:
$(y - \frac{7+\sqrt{5}}{2})(y - \frac{7-\sqrt{5}}{2})$.
Ответ: $(y - \frac{7+\sqrt{5}}{2})(y - \frac{7-\sqrt{5}}{2})$.

9) Для разложения трехчлена $4x^2+x+0,04$ найдем корни уравнения $4x^2+x+0,04=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 0,04 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{0,36}}{2 \cdot 4} = \frac{-1+0,6}{8} = \frac{-0,4}{8} = -0,05$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{0,36}}{8} = \frac{-1-0,6}{8} = \frac{-1,6}{8} = -0,2$.
Разложение: $4(x-(-0,05))(x-(-0,2)) = 4(x+0,05)(x+0,2)$.
Распределим множитель 4 как $2 \cdot 2$ между скобками:
$(2(x+0,05))(2(x+0,2)) = (2x+0,1)(2x+0,4)$.
Ответ: $(2x+0,1)(2x+0,4)$.