Номер 0.28, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 0.28–0.34 решите уравнения.

0.28. 1) $ \frac{2x - 1}{2x + 1} = \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{8}{1 - 4x^2} $

2) $ \frac{12}{1 - 9x^2} = \frac{1 - 3x}{1 + 3x} + \frac{1 + 3x}{1 - 3x} $

3) $ \frac{t^2 - 3}{1 - t^2} + \frac{t + 1}{t - 1} = \frac{4}{1 + t} $

4) $ \frac{y^2 + 17}{y^2 - 1} = \frac{y - 2}{y + 1} - \frac{5}{1 - y} $

1) $\frac{2x-1}{2x+1} = \frac{2x+1}{2x-1} + \frac{8}{1-4x^2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$2x+1 \neq 0 \implies x \neq -0.5$

$2x-1 \neq 0 \implies x \neq 0.5$

$1-4x^2 \neq 0 \implies (1-2x)(1+2x) \neq 0 \implies x \neq \pm 0.5$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 0.5$.

Преобразуем уравнение. Заметим, что $1-4x^2 = -(4x^2-1) = -(2x-1)(2x+1)$.

$\frac{2x-1}{2x+1} = \frac{2x+1}{2x-1} - \frac{8}{4x^2-1}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{2x-1}{2x+1} - \frac{2x+1}{2x-1} + \frac{8}{(2x-1)(2x+1)} = 0$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(2x-1)(2x+1)$:

$\frac{(2x-1)^2 - (2x+1)^2 + 8}{(2x-1)(2x+1)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим уравнение для числителя:

$(2x-1)^2 - (2x+1)^2 + 8 = 0$

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((2x-1) - (2x+1))((2x-1) + (2x+1)) + 8 = 0$

$(2x-1-2x-1)(2x-1+2x+1) + 8 = 0$

$(-2)(4x) + 8 = 0$

$-8x + 8 = 0$

$-8x = -8$

$x = 1$

Полученный корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1.

2) $\frac{12}{1-9x^2} = \frac{1-3x}{1+3x} + \frac{1+3x}{1-3x}$

ОДЗ: $1-9x^2 \neq 0 \implies (1-3x)(1+3x) \neq 0 \implies x \neq \pm \frac{1}{3}$.

Общий знаменатель для всех дробей - это $1-9x^2 = (1-3x)(1+3x)$. Приведем правую часть уравнения к этому знаменателю:

$\frac{12}{1-9x^2} = \frac{(1-3x)(1-3x)}{(1+3x)(1-3x)} + \frac{(1+3x)(1+3x)}{(1-3x)(1+3x)}$

$\frac{12}{1-9x^2} = \frac{(1-3x)^2 + (1+3x)^2}{1-9x^2}$

Так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ, мы можем приравнять числители:

$12 = (1-3x)^2 + (1+3x)^2$

Раскроем скобки:

$12 = (1 - 6x + 9x^2) + (1 + 6x + 9x^2)$

$12 = 1 - 6x + 9x^2 + 1 + 6x + 9x^2$

$12 = 2 + 18x^2$

$10 = 18x^2$

$x^2 = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

$x = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$

Оба корня, $x_1 = \frac{\sqrt{5}}{3}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{5}}{3}$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{5}}{3}$.

3) $\frac{t^2-3}{1-t^2} + \frac{t+1}{t-1} = \frac{4}{1+t}$

ОДЗ: $1-t^2 \neq 0 \implies t \neq \pm 1$; $t-1 \neq 0 \implies t \neq 1$; $1+t \neq 0 \implies t \neq -1$. Итого, $t \neq \pm 1$.

Преобразуем знаменатели: $1-t^2 = (1-t)(1+t)$ и $t-1 = -(1-t)$.

$\frac{t^2-3}{(1-t)(1+t)} + \frac{t+1}{-(1-t)} = \frac{4}{1+t}$

$\frac{t^2-3}{(1-t)(1+t)} - \frac{t+1}{1-t} = \frac{4}{1+t}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(1-t)(1+t)$:

$\frac{t^2-3}{(1-t)(1+t)} - \frac{(t+1)(1+t)}{1-t} = \frac{4(1-t)}{1+t}$

Умножим обе части на общий знаменатель $(1-t)(1+t)$, который не равен нулю в ОДЗ:

$t^2-3 - (t+1)(1+t) = 4(1-t)$

$t^2-3 - (t+1)^2 = 4-4t$

$t^2-3 - (t^2+2t+1) = 4-4t$

$t^2-3-t^2-2t-1 = 4-4t$

$-2t - 4 = 4 - 4t$

$4t - 2t = 4 + 4$

$2t = 8$

$t = 4$

Корень $t=4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

4) $\frac{y^2+17}{y^2-1} = \frac{y-2}{y+1} - \frac{5}{1-y}$

ОДЗ: $y^2-1 \neq 0 \implies y \neq \pm 1$; $y+1 \neq 0 \implies y \neq -1$; $1-y \neq 0 \implies y \neq 1$. Итого, $y \neq \pm 1$.

Преобразуем знаменатели: $y^2-1 = (y-1)(y+1)$ и $1-y = -(y-1)$.

$\frac{y^2+17}{(y-1)(y+1)} = \frac{y-2}{y+1} - \frac{5}{-(y-1)}$

$\frac{y^2+17}{(y-1)(y+1)} = \frac{y-2}{y+1} + \frac{5}{y-1}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $(y-1)(y+1)$:

$\frac{y^2+17}{(y-1)(y+1)} = \frac{(y-2)(y-1)}{(y+1)(y-1)} + \frac{5(y+1)}{(y-1)(y+1)}$

$\frac{y^2+17}{(y-1)(y+1)} = \frac{(y-2)(y-1) + 5(y+1)}{(y-1)(y+1)}$

Приравниваем числители:

$y^2+17 = (y-2)(y-1) + 5(y+1)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$y^2+17 = (y^2 - y - 2y + 2) + (5y+5)$

$y^2+17 = y^2 - 3y + 2 + 5y + 5$

$y^2+17 = y^2 + 2y + 7$

Вычтем $y^2$ из обеих частей:

$17 = 2y + 7$

$10 = 2y$

$y = 5$

Корень $y=5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5.