Номер 0.30, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.30.

1) $x^4-29x^2+100=0;$

2) $x^4+7x^2+10=0;$

3) $5y^4+2y^2-3=0;$

4) $2y^4-5y^2-7=0;$

5) $x^4-(a^2+9)x^2+9a^2=0;$

6) $x^4-(9a^2+4)x^2+36a^2=0.$

1) Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$t^2 - 29t + 100 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней равна 29, а произведение равно 100. Легко подобрать корни: $t_1 = 25$ и $t_2 = 4$.
Оба корня положительны, поэтому удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1. $x^2 = t_1 = 25 \implies x = \pm\sqrt{25} \implies x = \pm 5$.
2. $x^2 = t_2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x = \pm 2$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $x \in \{-5, -2, 2, 5\}$.

2) Сделаем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:
$t^2 + 7t + 10 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
Корни уравнения:
$t = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 \pm 3}{2}$
$t_1 = \frac{-7-3}{2} = -5$
$t_2 = \frac{-7+3}{2} = -2$
Оба корня отрицательны. Однако по условию замены $t = x^2$, значение $t$ не может быть отрицательным для действительных $x$.
Следовательно, уравнения $x^2 = -5$ и $x^2 = -2$ не имеют действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.

3) Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = y^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:
$5t^2 + 2t - 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.
Корни уравнения:
$t = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 \pm 8}{10}$
$t_1 = \frac{-2+8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$t_2 = \frac{-2-8}{10} = -1$
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому отбрасываем его.
Остается $t_1 = \frac{3}{5}$.
Вернемся к замене:
$y^2 = \frac{3}{5} \implies y = \pm\sqrt{\frac{3}{5}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{5}$.
Ответ: $y = \pm\frac{\sqrt{15}}{5}$.

4) Сделаем замену $t = y^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:
$2t^2 - 5t - 7 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.
Корни уравнения:
$t = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 9}{4}$
$t_1 = \frac{5+9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$
$t_2 = \frac{5-9}{4} = -1$
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Остается $t_1 = \frac{7}{2}$.
Вернемся к замене:
$y^2 = \frac{7}{2} \implies y = \pm\sqrt{\frac{7}{2}} = \pm\frac{\sqrt{14}}{2}$.
Ответ: $y = \pm\frac{\sqrt{14}}{2}$.

5) Это биквадратное уравнение с параметром $a$. Сделаем замену $t = x^2$, $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:
$t^2 - (a^2+9)t + 9a^2 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $a^2+9$, а их произведение равно $9a^2$.
Легко видеть, что корнями являются $t_1 = a^2$ и $t_2 = 9$.
Проверим оба корня на условие $t \ge 0$:
1. $t_1 = a^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $a^2 \ge 0$ при любом $a$. Этот корень подходит.
2. $t_2 = 9$. Это число положительное, корень подходит.
Вернемся к замене:
1. $x^2 = t_1 = a^2 \implies x = \pm\sqrt{a^2} \implies x = \pm a$.
2. $x^2 = t_2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} \implies x = \pm 3$.
Ответ: $x = \pm 3, x = \pm a$.

6) Сделаем замену $t = x^2$, $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:
$t^2 - (9a^2+4)t + 36a^2 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $9a^2+4$, а их произведение равно $36a^2$.
Корнями являются $t_1 = 9a^2$ и $t_2 = 4$.
Проверим оба корня на условие $t \ge 0$:
1. $t_1 = 9a^2$. Так как $a^2 \ge 0$, то и $9a^2 \ge 0$. Корень подходит.
2. $t_2 = 4 > 0$. Корень подходит.
Вернемся к замене:
1. $x^2 = t_1 = 9a^2 \implies x = \pm\sqrt{9a^2} \implies x = \pm 3a$.
2. $x^2 = t_2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x = \pm 2$.
Ответ: $x = \pm 2, x = \pm 3a$.