Номер 0.31, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.31.

1) $(x+3)^4 - 13(x+3)^2 + 36 = 0;$

2) $(2x-1)^4 - (2x-1)^2 - 12 = 0;$

3) $(x-1)^4 - x^2 + 2x - 73 = 0;$

4) $(x+2)^4 + 2x^2 + 8x - 16 = 0.$

1) $(x+3)^4-13(x+3)^2+36=0$

Это биквадратное уравнение относительно выражения $(x+3)$. Введем замену переменной. Пусть $t = (x+3)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней $t_1 + t_2 = 13$

Произведение корней $t_1 \cdot t_2 = 36$

Подбором находим корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

Случай 1: $t_1 = 4$

$(x+3)^2 = 4$

$x+3 = 2$ или $x+3 = -2$

$x_1 = 2 - 3 = -1$

$x_2 = -2 - 3 = -5$

Случай 2: $t_2 = 9$

$(x+3)^2 = 9$

$x+3 = 3$ или $x+3 = -3$

$x_3 = 3 - 3 = 0$

$x_4 = -3 - 3 = -6$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-6; -5; -1; 0$.

2) $(2x-1)^4-(2x-1)^2-12=0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену: пусть $t = (2x-1)^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - t - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 1$

$t_1 \cdot t_2 = -12$

Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим единственный подходящий корень $t_1 = 4$.

Выполним обратную замену:

$(2x-1)^2 = 4$

$2x-1 = 2$ или $2x-1 = -2$

$2x = 3$ или $2x = -1$

$x_1 = \frac{3}{2} = 1.5$

$x_2 = -\frac{1}{2} = -0.5$

Ответ: $-0.5; 1.5$.

3) $(x-1)^4-x^2+2x-73=0$

Преобразуем среднюю часть уравнения, чтобы выделить выражение $(x-1)^2$.

$-x^2+2x-73 = -(x^2-2x) - 73$

Заметим, что $(x-1)^2 = x^2-2x+1$, откуда $x^2-2x = (x-1)^2-1$.

Подставим это в преобразованную часть:

$-( (x-1)^2 - 1 ) - 73 = -(x-1)^2 + 1 - 73 = -(x-1)^2 - 72$

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

$(x-1)^4 - (x-1)^2 - 72 = 0$

Введем замену $t = (x-1)^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 - t - 72 = 0$

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 1$, $t_1 \cdot t_2 = -72$. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -8$.

Корень $t_2 = -8$ не подходит, так как $t \ge 0$.

Берем $t_1 = 9$ и делаем обратную замену:

$(x-1)^2 = 9$

$x-1 = 3$ или $x-1 = -3$

$x_1 = 3 + 1 = 4$

$x_2 = -3 + 1 = -2$

Ответ: $-2; 4$.

4) $(x+2)^4+2x^2+8x-16=0$

Преобразуем часть уравнения $2x^2+8x-16$, чтобы выделить выражение $(x+2)^2$.

$2x^2+8x-16 = 2(x^2+4x) - 16$

Заметим, что $(x+2)^2 = x^2+4x+4$, откуда $x^2+4x = (x+2)^2-4$.

Подставим это в преобразованную часть:

$2( (x+2)^2 - 4 ) - 16 = 2(x+2)^2 - 8 - 16 = 2(x+2)^2 - 24$

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

$(x+2)^4 + 2(x+2)^2 - 24 = 0$

Сделаем замену $t = (x+2)^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 + 2t - 24 = 0$

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -2$, $t_1 \cdot t_2 = -24$. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -6$.

Корень $t_2 = -6$ не подходит, так как $t \ge 0$.

Берем $t_1 = 4$ и делаем обратную замену:

$(x+2)^2 = 4$

$x+2 = 2$ или $x+2 = -2$

$x_1 = 2 - 2 = 0$

$x_2 = -2 - 2 = -4$

Ответ: $-4; 0$.