Номер 0.26, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.26. Постройте графики функций:

1) $y=x^2+2x-3;$

2) $y=\frac{x^2}{2}-4x+6;$

3) $y=-2x^2-5x-2;$

4) $y=-x^2+6x-10;$

5) $y=x^2-4x;$

6) $y=-x^2+5.$

1) $y=x^2+2x-3$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1$), он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

$y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=-1$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

С осью OY: при $x=0$, $y = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.

С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=-3$. Точки пересечения $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

Для более точного построения графика найдем еще несколько точек. Используя ось симметрии $x=-1$, найдем точку, симметричную точке $(0, -3)$. Это будет точка $(-2, -3)$.

Построим график функции:

Ответ: График функции $y=x^2+2x-3$ — это парабола с вершиной в точке $(-1, -4)$, ветвями, направленными вверх, пересекающая ось OY в точке $(0, -3)$ и ось OX в точках $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

2) $y = \frac{x^2}{2} - 4x + 6$

Это квадратичная функция ($a=0.5, b=-4, c=6$), график — парабола. Так как $a=0.5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 0.5} = 4$

$y_0 = \frac{4^2}{2} - 4(4) + 6 = \frac{16}{2} - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$

Вершина находится в точке $(4, -2)$. Ось симметрии — $x=4$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: при $x=0$, $y = 6$. Точка $(0, 6)$.

С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $\frac{x^2}{2} - 4x + 6 = 0$. Умножим на 2: $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=6$. Точки пересечения $(2, 0)$ и $(6, 0)$.

Точка, симметричная точке $(0, 6)$ относительно оси $x=4$, имеет координаты $(8, 6)$.

Построим график функции:

Ответ: График функции $y = \frac{x^2}{2} - 4x + 6$ — парабола с вершиной в точке $(4, -2)$, ветвями вверх, пересекающая OY в $(0, 6)$ и OX в $(2, 0)$ и $(6, 0)$.

3) $y=-2x^2-5x-2$

Это квадратичная функция ($a=-2, b=-5, c=-2$), график — парабола. Так как $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot (-2)} = -\frac{5}{4} = -1.25$

$y_0 = -2(-1.25)^2 - 5(-1.25) - 2 = -2(1.5625) + 6.25 - 2 = -3.125 + 6.25 - 2 = 1.125$

Вершина находится в точке $(-1.25, 1.125)$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: при $x=0$, $y = -2$. Точка $(0, -2)$.

С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $-2x^2-5x-2=0$, или $2x^2+5x+2=0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4}$, т.е. $x_1 = \frac{-5-3}{4}=-2$ и $x_2 = \frac{-5+3}{4}=-0.5$. Точки пересечения $(-2, 0)$ и $(-0.5, 0)$.

Построим график функции:

Ответ: График функции $y=-2x^2-5x-2$ — парабола с вершиной в точке $(-1.25, 1.125)$, ветвями вниз, пересекающая OY в $(0, -2)$ и OX в $(-2, 0)$ и $(-0.5, 0)$.

4) $y=-x^2+6x-10$

Это квадратичная функция ($a=-1, b=6, c=-10$), график — парабола. Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$

$y_0 = -(3)^2 + 6(3) - 10 = -9 + 18 - 10 = -1$

Вершина находится в точке $(3, -1)$. Ось симметрии — $x=3$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: при $x=0$, $y = -10$. Точка $(0, -10)$.

С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $-x^2+6x-10=0$, или $x^2-6x+10=0$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX.

Дополнительные точки: при $x=2, y=-(2)^2+6(2)-10=-4+12-10=-2$. Точка $(2, -2)$. Симметричная ей точка $(4, -2)$.

Построим график функции:

Ответ: График функции $y=-x^2+6x-10$ — парабола с вершиной в точке $(3, -1)$, ветвями вниз, не пересекающая ось OX и пересекающая ось OY в точке $(0, -10)$.

5) $y=x^2-4x$

Это квадратичная функция ($a=1, b=-4, c=0$), график — парабола. Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_0 = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$

Вершина находится в точке $(2, -4)$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.

С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $x^2-4x=0 \Rightarrow x(x-4)=0$. Корни $x_1=0$ и $x_2=4$. Точки пересечения $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Дополнительные точки: при $x=-1, y=(-1)^2-4(-1)=1+4=5$. Точка $(-1, 5)$. Симметричная ей точка $(5, 5)$.

Построим график функции:

Ответ: График функции $y=x^2-4x$ — парабола с вершиной в точке $(2, -4)$, ветвями вверх, проходящая через начало координат и пересекающая ось OX также в точке $(4, 0)$.

6) $y=-x^2+5$

Это квадратичная функция ($a=-1, b=0, c=5$), график — парабола. Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это график функции $y=-x^2$, смещенный на 5 единиц вверх по оси OY.

Координаты вершины параболы: так как $b=0$, $x_0 = 0$. Тогда $y_0 = -0^2+5=5$. Вершина находится в точке $(0, 5)$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: точка $(0, 5)$ (вершина).

С осью OX: при $y=0$, решаем уравнение $-x^2+5=0 \Rightarrow x^2=5$. Корни $x = \pm\sqrt{5}$. Точки пересечения $(-\sqrt{5}, 0)$ и $(\sqrt{5}, 0)$. $(\sqrt{5} \approx 2.24)$.

Дополнительные точки: при $x=2, y=-(2)^2+5=1$. Точка $(2, 1)$. Симметричная ей точка $(-2, 1)$.

Построим график функции:

Ответ: График функции $y=-x^2+5$ — парабола с вершиной в точке $(0, 5)$, ветвями вниз, пересекающая ось OX в точках $(-\sqrt{5}, 0)$ и $(\sqrt{5}, 0)$.