Номер 0.21, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.21. Определите корни квадратных трехчленов и разложите их на множители:

1) $2x^2-5x+3$;

2) $2x^2-5x-7$;

3) $-y^2+6y-5$;

4) $5y^2+2y-3$;

5) $x^2-11x+30$;

6) $-x^2-5x+6$.

1) Для того чтобы разложить квадратный трехчлен $2x^2-5x+3$ на множители, сначала найдем его корни. Для этого решим квадратное уравнение $2x^2-5x+3=0$.
Коэффициенты уравнения: $a=2, b=-5, c=3$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2-4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Корни трехчлена: $1$ и $\frac{3}{2}$.
Теперь выполним разложение на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$2x^2-5x+3 = 2(x - 1)(x - \frac{3}{2}) = (x - 1)(2x - 3)$.
Ответ: Корни: $1, \frac{3}{2}$; разложение на множители: $(x - 1)(2x - 3)$.

2) Для трехчлена $2x^2-5x-7$ найдем корни уравнения $2x^2-5x-7=0$.
Коэффициенты: $a=2, b=-5, c=-7$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.
Корни:
$x_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.
$x_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
Корни трехчлена: $-1$ и $\frac{7}{2}$.
Разложение на множители:
$2x^2-5x-7 = 2(x - (-1))(x - \frac{7}{2}) = 2(x+1)(x - \frac{7}{2}) = (x+1)(2x-7)$.
Ответ: Корни: $-1, \frac{7}{2}$; разложение на множители: $(x+1)(2x-7)$.

3) Для трехчлена $-y^2+6y-5$ найдем корни уравнения $-y^2+6y-5=0$.
Коэффициенты: $a=-1, b=6, c=-5$.
Дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 36 - 20 = 16$.
Корни:
$y_1 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6 + 4}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$.
$y_2 = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6 - 4}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5$.
Корни трехчлена: $1$ и $5$.
Разложение на множители:
$-y^2+6y-5 = -1(y - 1)(y - 5) = -(y-1)(y-5)$.
Ответ: Корни: $1, 5$; разложение на множители: $-(y-1)(y-5)$.

4) Для трехчлена $5y^2+2y-3$ найдем корни уравнения $5y^2+2y-3=0$.
Коэффициенты: $a=5, b=2, c=-3$.
Дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.
Корни:
$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 - 8}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
Корни трехчлена: $-1$ и $\frac{3}{5}$.
Разложение на множители:
$5y^2+2y-3 = 5(y - (-1))(y - \frac{3}{5}) = 5(y+1)(y - \frac{3}{5}) = (y+1)(5y-3)$.
Ответ: Корни: $-1, \frac{3}{5}$; разложение на множители: $(y+1)(5y-3)$.

5) Для трехчлена $x^2-11x+30$ найдем корни уравнения $x^2-11x+30=0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-11, c=30$.
По теореме Виета, сумма корней равна $11$, а их произведение равно $30$. Подбором находим корни $5$ и $6$.
Также можно найти корни через дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.
Корни:
$x_1 = \frac{11 + \sqrt{1}}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
$x_2 = \frac{11 - \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Корни трехчлена: $5$ и $6$.
Разложение на множители:
$x^2-11x+30 = 1(x - 5)(x - 6) = (x-5)(x-6)$.
Ответ: Корни: $5, 6$; разложение на множители: $(x-5)(x-6)$.

6) Для трехчлена $-x^2-5x+6$ найдем корни уравнения $-x^2-5x+6=0$.
Коэффициенты: $a=-1, b=-5, c=6$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 6 = 25 + 24 = 49$.
Корни:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot (-1)} = \frac{5 + 7}{-2} = \frac{12}{-2} = -6$.
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot (-1)} = \frac{5 - 7}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$.
Корни трехчлена: $-6$ и $1$.
Разложение на множители:
$-x^2-5x+6 = -1(x - (-6))(x - 1) = -(x+6)(x-1)$.
Ответ: Корни: $-6, 1$; разложение на множители: $-(x+6)(x-1)$.