Страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.17. Разложите выражения на множители:

1) $x^2-3$;

2) $4a^2-5$;

3) $3y^2-2$;

4) $5b^2-6$;

5) $x-9, x>0$;

6) $y-5, y>0$;

7) $4-9b, b>0$;

8) $7c^2-3x^2$.

Для решения всех задач используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) Представим выражение $x^2-3$ в виде разности квадратов. Для этого запишем $3$ как $(\sqrt{3})^2$.
$x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2$
Теперь применим формулу разности квадратов, где $a=x$ и $b=\sqrt{3}$:
$x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$
Ответ: $(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$

2) Представим выражение $4a^2-5$ в виде разности квадратов. Запишем $4a^2$ как $(2a)^2$ и $5$ как $(\sqrt{5})^2$.
$4a^2 - 5 = (2a)^2 - (\sqrt{5})^2$
Применяем формулу, где $a=2a$ и $b=\sqrt{5}$:
$(2a)^2 - (\sqrt{5})^2 = (2a - \sqrt{5})(2a + \sqrt{5})$
Ответ: $(2a - \sqrt{5})(2a + \sqrt{5})$

3) Представим выражение $3y^2-2$ в виде разности квадратов. Запишем $3y^2$ как $(\sqrt{3}y)^2$ и $2$ как $(\sqrt{2})^2$.
$3y^2 - 2 = (\sqrt{3}y)^2 - (\sqrt{2})^2$
Применяем формулу, где $a=\sqrt{3}y$ и $b=\sqrt{2}$:
$(\sqrt{3}y)^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3}y - \sqrt{2})(\sqrt{3}y + \sqrt{2})$
Ответ: $(\sqrt{3}y - \sqrt{2})(\sqrt{3}y + \sqrt{2})$

4) Представим выражение $5b^2-6$ в виде разности квадратов. Запишем $5b^2$ как $(\sqrt{5}b)^2$ и $6$ как $(\sqrt{6})^2$.
$5b^2 - 6 = (\sqrt{5}b)^2 - (\sqrt{6})^2$
Применяем формулу, где $a=\sqrt{5}b$ и $b=\sqrt{6}$:
$(\sqrt{5}b)^2 - (\sqrt{6})^2 = (\sqrt{5}b - \sqrt{6})(\sqrt{5}b + \sqrt{6})$
Ответ: $(\sqrt{5}b - \sqrt{6})(\sqrt{5}b + \sqrt{6})$

5) В выражении $x-9$ дано условие $x>0$. Это позволяет нам представить $x$ как $(\sqrt{x})^2$. Число $9$ представим как $3^2$.
$x - 9 = (\sqrt{x})^2 - 3^2$
Применяем формулу разности квадратов, где $a=\sqrt{x}$ и $b=3$:
$(\sqrt{x})^2 - 3^2 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$
Ответ: $(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$

6) В выражении $y-5$ дано условие $y>0$. Это позволяет нам представить $y$ как $(\sqrt{y})^2$. Число $5$ представим как $(\sqrt{5})^2$.
$y - 5 = (\sqrt{y})^2 - (\sqrt{5})^2$
Применяем формулу, где $a=\sqrt{y}$ и $b=\sqrt{5}$:
$(\sqrt{y})^2 - (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{y} - \sqrt{5})(\sqrt{y} + \sqrt{5})$
Ответ: $(\sqrt{y} - \sqrt{5})(\sqrt{y} + \sqrt{5})$

7) В выражении $4-9b$ дано условие $b>0$. Представим $4$ как $2^2$. Учитывая, что $b>0$, $9b$ можно представить как $(3\sqrt{b})^2$.
$4 - 9b = 2^2 - (3\sqrt{b})^2$
Применяем формулу, где $a=2$ и $b=3\sqrt{b}$:
$2^2 - (3\sqrt{b})^2 = (2 - 3\sqrt{b})(2 + 3\sqrt{b})$
Ответ: $(2 - 3\sqrt{b})(2 + 3\sqrt{b})$

8) Представим выражение $7c^2-3x^2$ в виде разности квадратов. Запишем $7c^2$ как $(\sqrt{7}c)^2$ и $3x^2$ как $(\sqrt{3}x)^2$.
$7c^2 - 3x^2 = (\sqrt{7}c)^2 - (\sqrt{3}x)^2$
Применяем формулу, где $a=\sqrt{7}c$ и $b=\sqrt{3}x$:
$(\sqrt{7}c)^2 - (\sqrt{3}x)^2 = (\sqrt{7}c - \sqrt{3}x)(\sqrt{7}c + \sqrt{3}x)$
Ответ: $(\sqrt{7}c - \sqrt{3}x)(\sqrt{7}c + \sqrt{3}x)$

0.18. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$;2) $\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}$;3) $\frac{1}{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}}$;4) $\frac{\sqrt{2a}+\sqrt{3b}}{\sqrt{2a}-\sqrt{3b}}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{x}-2} $, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением для $ \sqrt{x}-2 $ является $ \sqrt{x}+2 $.

$ \frac{1}{\sqrt{x}-2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2) \cdot (\sqrt{x}+2)} $

В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $:

$ \frac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{x}+2}{x-4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{x}+2}{x-4} $

2) Для дроби $ \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{2}} $ сопряженным выражением к знаменателю $ \sqrt{x}-\sqrt{2} $ является $ \sqrt{x}+\sqrt{2} $. Умножим числитель и знаменатель дроби на это выражение.

$ \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(\sqrt{x}-\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{x}+\sqrt{2})} $

Применяя формулу разности квадратов в знаменателе, получаем:

$ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{x-2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{x-2} $

3) Для дроби $ \frac{1}{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}} $ сопряженным выражением к знаменателю $ 2\sqrt{a}+3\sqrt{b} $ является $ 2\sqrt{a}-3\sqrt{b} $. Умножим числитель и знаменатель на него.

$ \frac{1}{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{a}-3\sqrt{b})}{(2\sqrt{a}+3\sqrt{b}) \cdot (2\sqrt{a}-3\sqrt{b})} $

Используем формулу разности квадратов для знаменателя:

$ \frac{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}{(2\sqrt{a})^2 - (3\sqrt{b})^2} = \frac{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}{4a-9b} $

Ответ: $ \frac{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}{4a-9b} $

4) В дроби $ \frac{\sqrt{2a}+\sqrt{3b}}{\sqrt{2a}-\sqrt{3b}} $ знаменатель равен $ \sqrt{2a}-\sqrt{3b} $. Сопряженное ему выражение — $ \sqrt{2a}+\sqrt{3b} $. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$ \frac{\sqrt{2a}+\sqrt{3b}}{\sqrt{2a}-\sqrt{3b}} = \frac{(\sqrt{2a}+\sqrt{3b}) \cdot (\sqrt{2a}+\sqrt{3b})}{(\sqrt{2a}-\sqrt{3b}) \cdot (\sqrt{2a}+\sqrt{3b})} = \frac{(\sqrt{2a}+\sqrt{3b})^2}{(\sqrt{2a})^2 - (\sqrt{3b})^2} $

В числителе применяем формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $, а в знаменателе — формулу разности квадратов.

Числитель: $ (\sqrt{2a}+\sqrt{3b})^2 = (\sqrt{2a})^2 + 2\sqrt{2a}\sqrt{3b} + (\sqrt{3b})^2 = 2a + 2\sqrt{6ab} + 3b $.

Знаменатель: $ (\sqrt{2a})^2 - (\sqrt{3b})^2 = 2a - 3b $.

Таким образом, итоговая дробь:

$ \frac{2a+3b+2\sqrt{6ab}}{2a-3b} $

Ответ: $ \frac{2a+3b+2\sqrt{6ab}}{2a-3b} $

0.19. Докажите, что корни уравнения $ax^2+2kx+p=0$ можно найти по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ap}}{a}$.

Для доказательства данной формулы воспользуемся стандартной формулой для нахождения корней квадратного уравнения общего вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, которая выглядит следующим образом:

$x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$

Рассмотрим уравнение, данное в условии задачи: $ax^2+2kx+p=0$.

Сопоставим его с уравнением общего вида и определим его коэффициенты:

$A = a$

$B = 2k$

$C = p$

Теперь подставим эти коэффициенты в стандартную формулу корней квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(2k) \pm \sqrt{(2k)^2 - 4 \cdot a \cdot p}}{2 \cdot a}$

Далее, упростим полученное выражение. Начнем с выражения под корнем:

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ap}}{2a}$

Вынесем общий множитель 4 из-под знака корня:

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4(k^2 - ap)}}{2a}$

Извлечем квадратный корень из 4, который равен 2:

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ap}}{2a}$

Теперь вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$x_{1,2} = \frac{2(-k \pm \sqrt{k^2 - ap})}{2a}$

Сократим дробь на 2:

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ap}}{a}$

Таким образом, мы получили в точности ту формулу, которую требовалось доказать. Эта формула часто используется для решения квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является четным числом, так как она позволяет упростить вычисления.

Ответ: Утверждение доказано. Путем подстановки коэффициентов уравнения $ax^2+2kx+p=0$ в стандартную формулу корней квадратного уравнения и последующих алгебраических преобразований было показано, что формула $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ap}}{a}$ является верной.

0.20. Найдите корни уравнений по формуле, данной в задании 0.19:

1) $3x^2-10x+3=0;$

2) $x^2+14x+33=0;$

3) $y^2-8y-84=0;$

4) $5y^2+26y+24=0;$

5) $16x^2+8x+1=0;$

6) $x^2-34x+289=0.$

1) Решим уравнение $3x^2-10x+3=0$.
В задании указано использовать формулу из задачи 0.19. Поскольку во всех уравнениях коэффициент при первой степени переменной (коэффициент $b$) является четным числом, будем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ через "четверть дискриминанта" ($D_1$ или $D/4$). Эта формула имеет вид: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2-ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.
Для данного уравнения: $a=3, b=-10, c=3$.
Находим $k$: $k = \frac{-10}{2} = -5$.
Вычисляем четверть дискриминанта $D_1$:
$D_1 = k^2 - ac = (-5)^2 - 3 \cdot 3 = 25 - 9 = 16$.
Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-k + \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-5) + \sqrt{16}}{3} = \frac{5 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
$x_2 = \frac{-k - \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-5) - \sqrt{16}}{3} = \frac{5 - 4}{3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $3; \frac{1}{3}$.

2) Решим уравнение $x^2+14x+33=0$.
Коэффициенты: $a=1, b=14, c=33$.
Находим $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
Вычисляем четверть дискриминанта $D_1$:
$D_1 = k^2 - ac = 7^2 - 1 \cdot 33 = 49 - 33 = 16$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-k + \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-7 + \sqrt{16}}{1} = -7 + 4 = -3$.
$x_2 = \frac{-k - \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-7 - \sqrt{16}}{1} = -7 - 4 = -11$.
Ответ: $-11; -3$.

3) Решим уравнение $y^2-8y-84=0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-8, c=-84$.
Находим $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Вычисляем четверть дискриминанта $D_1$:
$D_1 = k^2 - ac = (-4)^2 - 1 \cdot (-84) = 16 + 84 = 100$.
Находим корни:
$y_1 = \frac{-k + \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{1} = 4 + 10 = 14$.
$y_2 = \frac{-k - \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{1} = 4 - 10 = -6$.
Ответ: $14; -6$.

4) Решим уравнение $5y^2+26y+24=0$.
Коэффициенты: $a=5, b=26, c=24$.
Находим $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
Вычисляем четверть дискриминанта $D_1$:
$D_1 = k^2 - ac = 13^2 - 5 \cdot 24 = 169 - 120 = 49$.
Находим корни:
$y_1 = \frac{-k + \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-13 + \sqrt{49}}{5} = \frac{-13 + 7}{5} = \frac{-6}{5} = -1,2$.
$y_2 = \frac{-k - \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-13 - \sqrt{49}}{5} = \frac{-13 - 7}{5} = \frac{-20}{5} = -4$.
Ответ: $-4; -1,2$.

5) Решим уравнение $16x^2+8x+1=0$.
Коэффициенты: $a=16, b=8, c=1$.
Находим $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Вычисляем четверть дискриминанта $D_1$:
$D_1 = k^2 - ac = 4^2 - 16 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$.
Так как $D_1=0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
$x = \frac{-k}{a} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $16x^2+8x+1 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot 1 + 1^2 = (4x+1)^2$.
Тогда уравнение принимает вид $(4x+1)^2=0$, откуда $4x+1=0$, $x = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

6) Решим уравнение $x^2-34x+289=0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-34, c=289$.
Находим $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{-34}{2} = -17$.
Вычисляем четверть дискриминанта $D_1$:
$D_1 = k^2 - ac = (-17)^2 - 1 \cdot 289 = 289 - 289 = 0$.
Так как $D_1=0$, уравнение имеет один корень.
$x = \frac{-k}{a} = \frac{-(-17)}{1} = 17$.
Также можно заметить, что $289=17^2$, а $-34x = -2 \cdot x \cdot 17$. Таким образом, левая часть является полным квадратом: $x^2-34x+289 = (x-17)^2$.
Уравнение принимает вид $(x-17)^2=0$, откуда $x-17=0$, $x = 17$.
Ответ: $17$.

0.21. Определите корни квадратных трехчленов и разложите их на множители:

1) $2x^2-5x+3$;

2) $2x^2-5x-7$;

3) $-y^2+6y-5$;

4) $5y^2+2y-3$;

5) $x^2-11x+30$;

6) $-x^2-5x+6$.

1) Для того чтобы разложить квадратный трехчлен $2x^2-5x+3$ на множители, сначала найдем его корни. Для этого решим квадратное уравнение $2x^2-5x+3=0$.
Коэффициенты уравнения: $a=2, b=-5, c=3$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2-4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Корни трехчлена: $1$ и $\frac{3}{2}$.
Теперь выполним разложение на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$2x^2-5x+3 = 2(x - 1)(x - \frac{3}{2}) = (x - 1)(2x - 3)$.
Ответ: Корни: $1, \frac{3}{2}$; разложение на множители: $(x - 1)(2x - 3)$.

2) Для трехчлена $2x^2-5x-7$ найдем корни уравнения $2x^2-5x-7=0$.
Коэффициенты: $a=2, b=-5, c=-7$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.
Корни:
$x_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.
$x_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
Корни трехчлена: $-1$ и $\frac{7}{2}$.
Разложение на множители:
$2x^2-5x-7 = 2(x - (-1))(x - \frac{7}{2}) = 2(x+1)(x - \frac{7}{2}) = (x+1)(2x-7)$.
Ответ: Корни: $-1, \frac{7}{2}$; разложение на множители: $(x+1)(2x-7)$.

3) Для трехчлена $-y^2+6y-5$ найдем корни уравнения $-y^2+6y-5=0$.
Коэффициенты: $a=-1, b=6, c=-5$.
Дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 36 - 20 = 16$.
Корни:
$y_1 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6 + 4}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$.
$y_2 = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6 - 4}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5$.
Корни трехчлена: $1$ и $5$.
Разложение на множители:
$-y^2+6y-5 = -1(y - 1)(y - 5) = -(y-1)(y-5)$.
Ответ: Корни: $1, 5$; разложение на множители: $-(y-1)(y-5)$.

4) Для трехчлена $5y^2+2y-3$ найдем корни уравнения $5y^2+2y-3=0$.
Коэффициенты: $a=5, b=2, c=-3$.
Дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.
Корни:
$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 - 8}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
Корни трехчлена: $-1$ и $\frac{3}{5}$.
Разложение на множители:
$5y^2+2y-3 = 5(y - (-1))(y - \frac{3}{5}) = 5(y+1)(y - \frac{3}{5}) = (y+1)(5y-3)$.
Ответ: Корни: $-1, \frac{3}{5}$; разложение на множители: $(y+1)(5y-3)$.

5) Для трехчлена $x^2-11x+30$ найдем корни уравнения $x^2-11x+30=0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-11, c=30$.
По теореме Виета, сумма корней равна $11$, а их произведение равно $30$. Подбором находим корни $5$ и $6$.
Также можно найти корни через дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.
Корни:
$x_1 = \frac{11 + \sqrt{1}}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
$x_2 = \frac{11 - \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Корни трехчлена: $5$ и $6$.
Разложение на множители:
$x^2-11x+30 = 1(x - 5)(x - 6) = (x-5)(x-6)$.
Ответ: Корни: $5, 6$; разложение на множители: $(x-5)(x-6)$.

6) Для трехчлена $-x^2-5x+6$ найдем корни уравнения $-x^2-5x+6=0$.
Коэффициенты: $a=-1, b=-5, c=6$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 6 = 25 + 24 = 49$.
Корни:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot (-1)} = \frac{5 + 7}{-2} = \frac{12}{-2} = -6$.
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot (-1)} = \frac{5 - 7}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$.
Корни трехчлена: $-6$ и $1$.
Разложение на множители:
$-x^2-5x+6 = -1(x - (-6))(x - 1) = -(x+6)(x-1)$.
Ответ: Корни: $-6, 1$; разложение на множители: $-(x+6)(x-1)$.

0.22. Разложите квадратные трехчлены на множители, если это возможно:

1) $4x^2-9x+5;$

2) $16a^2-24a+9;$

3) $3x^2-12x+12;$

4) $4b^2-9b+7;$

5) $x^2-x-2;$

6) $-48a^2-8a+1;$

7) $-3y^2+8y+11;$

8) $y^2-7y+11;$

9) $4x^2+x+0.04.$

1) Чтобы разложить квадратный трехчлен $4x^2-9x+5$ на множители, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2-9x+5=0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые мы находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
$x_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.
Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$4(x - \frac{5}{4})(x - 1) = (4(x - \frac{5}{4}))(x - 1) = (4x - 5)(x - 1)$.
Ответ: $(4x - 5)(x - 1)$.

2) Трехчлен $16a^2-24a+9$ можно разложить, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
Заметим, что $16a^2 = (4a)^2$ и $9 = 3^2$. Проверим средний член: $2 \cdot (4a) \cdot 3 = 24a$.
Следовательно, $16a^2-24a+9 = (4a-3)^2$.
Ответ: $(4a-3)^2$.

3) В трехчлене $3x^2-12x+12$ вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3(x^2-4x+4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом, так как $x^2-4x+4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.
Таким образом, исходный трехчлен равен $3(x-2)^2$.
Ответ: $3(x-2)^2$.

4) Чтобы определить, можно ли разложить на множители трехчлен $4b^2-9b+7$, найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $4b^2-9b+7=0$.
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 - 112 = -31$.
Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, данный квадратный трехчлен невозможно разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.
Ответ: Разложить на множители невозможно.

5) Для разложения трехчлена $x^2-x-2$ найдем корни уравнения $x^2-x-2=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Поскольку старший коэффициент $a=1$, разложение имеет вид $(x-x_1)(x-x_2)$:
$(x-2)(x-(-1)) = (x-2)(x+1)$.
Ответ: $(x-2)(x+1)$.

6) Для разложения трехчлена $-48a^2-8a+1$ найдем корни уравнения $-48a^2-8a+1=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot (-48) \cdot 1 = 64 + 192 = 256$.
Корни уравнения: $a_1 = \frac{8 + \sqrt{256}}{2 \cdot (-48)} = \frac{8+16}{-96} = \frac{24}{-96} = -\frac{1}{4}$ и $a_2 = \frac{8 - \sqrt{256}}{-96} = \frac{8-16}{-96} = \frac{-8}{-96} = \frac{1}{12}$.
Разложение: $-48(a-(-\frac{1}{4}))(a-\frac{1}{12}) = -48(a+\frac{1}{4})(a-\frac{1}{12})$.
Чтобы получить более простой вид, распределим множитель -48 как $-(4 \cdot 12)$:
$-(4(a+\frac{1}{4})) \cdot (12(a-\frac{1}{12})) = -(4a+1)(12a-1)$.
Ответ: $-(4a+1)(12a-1)$.

7) Для разложения трехчлена $-3y^2+8y+11$ найдем корни уравнения $-3y^2+8y+11=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 11 = 64 + 132 = 196$.
Корни уравнения: $y_1 = \frac{-8 + \sqrt{196}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-8+14}{-6} = -1$ и $y_2 = \frac{-8 - \sqrt{196}}{-6} = \frac{-22}{-6} = \frac{11}{3}$.
Разложение: $-3(y-(-1))(y-\frac{11}{3}) = -3(y+1)(y-\frac{11}{3})$.
Умножим множитель -3 на вторую скобку: $(y+1)(-3(y-\frac{11}{3})) = (y+1)(-3y+11) = (y+1)(11-3y)$.
Ответ: $(y+1)(11-3y)$.

8) Для разложения трехчлена $y^2-7y+11$ найдем корни уравнения $y^2-7y+11=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 49 - 44 = 5$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $y_1 = \frac{7+\sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{7-\sqrt{5}}{2}$.
Разложение на множители имеет вид $(y-y_1)(y-y_2)$:
$(y - \frac{7+\sqrt{5}}{2})(y - \frac{7-\sqrt{5}}{2})$.
Ответ: $(y - \frac{7+\sqrt{5}}{2})(y - \frac{7-\sqrt{5}}{2})$.

9) Для разложения трехчлена $4x^2+x+0,04$ найдем корни уравнения $4x^2+x+0,04=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 0,04 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{0,36}}{2 \cdot 4} = \frac{-1+0,6}{8} = \frac{-0,4}{8} = -0,05$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{0,36}}{8} = \frac{-1-0,6}{8} = \frac{-1,6}{8} = -0,2$.
Разложение: $4(x-(-0,05))(x-(-0,2)) = 4(x+0,05)(x+0,2)$.
Распределим множитель 4 как $2 \cdot 2$ между скобками:
$(2(x+0,05))(2(x+0,2)) = (2x+0,1)(2x+0,4)$.
Ответ: $(2x+0,1)(2x+0,4)$.

0.23. Изготовьте шаблон параболы $y=0,5x^2$ из жесткой бумаги и с его помощью постройте графики функций:

1) $y=0,5(x-1)^2+2;$

2) $y=0,5x^2+4;$

3) $y=-0,5(x+2,5)^2-3;$

4) $y=0,5(x+4)^2.$

Для решения задачи сначала необходимо изготовить шаблон параболы $y=0,5x^2$ из жесткой бумаги. Для этого нужно построить график этой функции на координатной плоскости. Вершина этой параболы находится в точке $(0, 0)$. Ветви направлены вверх. Ось симметрии — ось Oy ($x=0$).

Вычислим координаты нескольких точек для построения:
• При $x=0$, $y=0,5 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x=1$, $y=0,5 \cdot 1^2 = 0,5$. Точка $(1; 0,5)$.
• При $x=-1$, $y=0,5 \cdot (-1)^2 = 0,5$. Точка $(-1; 0,5)$.
• При $x=2$, $y=0,5 \cdot 2^2 = 2$. Точка $(2; 2)$.
• При $x=-2$, $y=0,5 \cdot (-2)^2 = 2$. Точка $(-2; 2)$.
• При $x=3$, $y=0,5 \cdot 3^2 = 4,5$. Точка $(3; 4,5)$.
• При $x=-3$, $y=0,5 \cdot (-3)^2 = 4,5$. Точка $(-3; 4,5)$.
Отметив эти точки на бумаге с координатной сеткой и соединив их плавной линией, получим график параболы. Вырезав его, мы получим шаблон.

График этой функции можно получить из графика $y=0,5x^2$ с помощью двух последовательных преобразований: сдвига вправо на 1 единицу и сдвига вверх на 2 единицы. Эти два сдвига можно объединить в один параллельный перенос на вектор $(1, 2)$. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 2)$.

Для построения с помощью шаблона необходимо:
1. Найти новую вершину параболы: $(1, 2)$.
2. Приложить шаблон к координатной плоскости так, чтобы его вершина совпала с точкой $(1, 2)$, а ось симметрии шаблона была параллельна оси Oy и проходила через эту точку (по прямой $x=1$).
3. Обвести шаблон. Ветви параболы будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y=0,5(x-1)^2+2$ получается путем сдвига шаблона параболы $y=0,5x^2$ на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх. Вершина новой параболы находится в точке $(1, 2)$.

График этой функции получается из графика $y=0,5x^2$ сдвигом вверх на 4 единицы. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 4)$.

Для построения с помощью шаблона необходимо:
1. Найти новую вершину параболы: $(0, 4)$.
2. Приложить шаблон к координатной плоскости так, чтобы его вершина совпала с точкой $(0, 4)$, а ось симметрии шаблона совпала с осью Oy (по прямой $x=0$).
3. Обвести шаблон. Ветви параболы будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y=0,5x^2+4$ получается путем сдвига шаблона параболы $y=0,5x^2$ на 4 единицы вверх. Вершина новой параболы находится в точке $(0, 4)$.

График этой функции получается из графика $y=0,5x^2$ с помощью трех преобразований: симметричного отражения относительно оси Ox (ветви будут направлены вниз), сдвига влево на 2,5 единицы и сдвига вниз на 3 единицы. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-2,5; -3)$.

Для построения с помощью шаблона необходимо:
1. Найти новую вершину параболы: $(-2,5; -3)$.
2. Перевернуть шаблон "вверх ногами" (отразить относительно горизонтальной оси), так как коэффициент перед скобкой отрицательный.
3. Приложить перевернутый шаблон к координатной плоскости так, чтобы его вершина совпала с точкой $(-2,5; -3)$, а ось симметрии была параллельна оси Oy и проходила через эту точку (по прямой $x=-2,5$).
4. Обвести шаблон. Ветви параболы будут направлены вниз.

Ответ: График функции $y=-0,5(x+2,5)^2-3$ получается путем отражения шаблона параболы $y=0,5x^2$ относительно оси Ox с последующим сдвигом на 2,5 единицы влево и на 3 единицы вниз. Вершина новой параболы находится в точке $(-2,5; -3)$, ветви направлены вниз.

График этой функции получается из графика $y=0,5x^2$ сдвигом влево на 4 единицы. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-4, 0)$.

Для построения с помощью шаблона необходимо:
1. Найти новую вершину параболы: $(-4, 0)$.
2. Приложить шаблон к координатной плоскости так, чтобы его вершина совпала с точкой $(-4, 0)$, а ось симметрии была параллельна оси Oy и проходила через эту точку (по прямой $x=-4$).
3. Обвести шаблон. Ветви параболы будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y=0,5(x+4)^2$ получается путем сдвига шаблона параболы $y=0,5x^2$ на 4 единицы влево. Вершина новой параболы находится в точке $(-4, 0)$.

Ниже представлен общий график, на котором показаны все построенные параболы и исходный шаблон:

На графике:
• Серая пунктирная линия: шаблон $y=0,5x^2$
• Красная линия: $y=0,5(x-1)^2+2$
• Синяя линия: $y=0,5x^2+4$
• Зеленая линия: $y=-0,5(x+2,5)^2-3$
• Оранжевая линия: $y=0,5(x+4)^2$

0.24. С помощью шаблона параболы $y=2x^2$ постройте графики функций:

1) $y=-2x^2$;

2) $y=2x^2-1$;

3) $y=-2(x-4)^2-4$;

4) $y=-2(x+3)^2$.

Для построения графиков заданных функций будем использовать преобразования графика базовой параболы $y=2x^2$. Эта парабола имеет вершину в точке $(0,0)$ и ее ветви направлены вверх.

1) $y=-2x^2;$

График функции $y=-2x^2$ получается из графика функции $y=2x^2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Вершина параболы остается в точке $(0,0)$, но ветви параболы теперь направлены вниз.

Ответ:

2) $y=2x^2-1;$

График функции $y=2x^2-1$ получается из графика функции $y=2x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси Oy) на 1 единицу вниз. Вершина параболы смещается из точки $(0,0)$ в точку $(0,-1)$. Ветви параболы направлены вверх.

Ответ:

3) $y=-2(x-4)^2-4;$

График функции $y=-2(x-4)^2-4$ получается из графика функции $y=2x^2$ в несколько шагов:
1. Отражение графика $y=2x^2$ относительно оси Ox, чтобы получить график $y=-2x^2$.
2. Сдвиг полученного графика $y=-2x^2$ вправо на 4 единицы вдоль оси Ox, чтобы получить $y=-2(x-4)^2$.
3. Сдвиг последнего графика вниз на 4 единицы вдоль оси Oy.
Вершина параболы смещается из точки $(0,0)$ в точку $(4,-4)$. Ветви параболы направлены вниз.

Ответ:

4) $y=-2(x+3)^2.$

График функции $y=-2(x+3)^2$ получается из графика функции $y=2x^2$ в два шага:
1. Отражение графика $y=2x^2$ относительно оси Ox, чтобы получить график $y=-2x^2$.
2. Сдвиг полученного графика $y=-2x^2$ влево на 3 единицы вдоль оси Ox, так как $x+3 = x - (-3)$.
Вершина параболы смещается из точки $(0,0)$ в точку $(-3,0)$. Ветви параболы направлены вниз.

Ответ: