Страница 7 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.6. Найдите корни уравнений с помощью теоремы Виета:

1) $x^2 - 5x + 6 = 0;$

2) $4x^2 - 12x + 9 = 0;$

3) $x^2 + 2x - 24 = 0;$

4) $x^2 + 9x + 14 = 0;$

5) $x^2 - 7ax + 12a^2 = 0;$

6) $x^2 + 5bx + 6b^2 = 0;$

7) $x^2 - (\sqrt{2} + 1)x + \sqrt{2} = 0;$

8) $x^2 + (\sqrt{2} + \sqrt{6})x + 2\sqrt{3} = 0.$

1) Для уравнения $x^2-5x+6=0$, которое является приведенным квадратным уравнением ($x^2+px+q=0$), коэффициенты $p=-5$ и $q=6$. Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2 = -p = -(-5) = 5$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 6$. Методом подбора находим два числа, которые удовлетворяют этим условиям. Это числа 2 и 3. Проверим: $2+3=5$ и $2 \cdot 3=6$. Условия выполняются.
Ответ: 2; 3.

2) Уравнение $4x^2-12x+9=0$ не является приведенным. Чтобы применить теорему Виета для приведенного уравнения, разделим обе части уравнения на старший коэффициент 4: $x^2 - \frac{12}{4}x + \frac{9}{4} = 0$, что равносильно $x^2 - 3x + \frac{9}{4} = 0$. Теперь это приведенное уравнение с коэффициентами $p=-3$ и $q=\frac{9}{4}$. По теореме Виета: $x_1+x_2 = -p = 3$ и $x_1 \cdot x_2 = q = \frac{9}{4}$. Необходимо найти два числа, сумма которых равна 3, а произведение $\frac{9}{4}$. Эти условия выполняются, если корни равны: $x_1=x_2=\frac{3}{2}$. Проверим: $\frac{3}{2}+\frac{3}{2} = \frac{6}{2} = 3$ и $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$. Исходное уравнение также можно представить в виде полного квадрата $(2x-3)^2=0$, откуда $2x-3=0$ и $x=\frac{3}{2}$.
Ответ: 1,5.

3) Для приведенного квадратного уравнения $x^2+2x-24=0$ коэффициенты $p=2$ и $q=-24$. По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2 = -p = -2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q = -24$. Так как произведение отрицательно, корни имеют разные знаки. Подбираем два числа, произведение которых равно -24, а сумма -2. Этими числами являются -6 и 4. Проверяем: $-6+4=-2$ и $-6 \cdot 4 = -24$.
Ответ: -6; 4.

4) В уравнении $x^2+9x+14=0$ коэффициенты $p=9$ и $q=14$. Согласно теореме Виета: $x_1+x_2 = -p = -9$ и $x_1 \cdot x_2 = q = 14$. Поскольку произведение корней положительно ($14 > 0$), а сумма отрицательна ($-9 < 0$), оба корня должны быть отрицательными. Подбираем два отрицательных числа, произведение которых равно 14. Это могут быть пары (-1, -14) или (-2, -7). Проверяем их сумму: $-1+(-14)=-15$, $-2+(-7)=-9$. Подходит вторая пара.
Ответ: -7; -2.

5) Рассматриваем уравнение $x^2-7ax+12a^2=0$ как квадратное относительно переменной $x$. Коэффициенты $p=-7a$ и $q=12a^2$. По теореме Виета: $x_1+x_2 = -p = 7a$ и $x_1 \cdot x_2 = q = 12a^2$. Ищем два выражения, сумма которых равна $7a$, а произведение $12a^2$. Для этого найдем два числа, сумма которых 7, а произведение 12. Это числа 3 и 4. Значит, искомые корни будут $3a$ и $4a$. Проверяем: $3a+4a=7a$ и $3a \cdot 4a = 12a^2$.
Ответ: $3a$; $4a$.

6) В уравнении $x^2+5bx+6b^2=0$ коэффициенты $p=5b$ и $q=6b^2$. По теореме Виета: $x_1+x_2 = -p = -5b$ и $x_1 \cdot x_2 = q = 6b^2$. Ищем два выражения, сумма которых равна $-5b$, а произведение $6b^2$. Для этого найдем два числа, сумма которых -5, а произведение 6. Это числа -2 и -3. Значит, искомые корни будут $-2b$ и $-3b$. Проверяем: $(-2b)+(-3b)=-5b$ и $(-2b) \cdot (-3b) = 6b^2$.
Ответ: $-2b$; $-3b$.

7) Для уравнения $x^2-(\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}=0$ коэффициенты $p=-(\sqrt{2}+1)$ и $q=\sqrt{2}$. По теореме Виета: $x_1+x_2 = -p = -(-(\sqrt{2}+1)) = \sqrt{2}+1$ и $x_1 \cdot x_2 = q = \sqrt{2}$. Из выражений для суммы и произведения очевидно, что искомыми корнями являются числа $\sqrt{2}$ и 1. Проверяем: $\sqrt{2}+1 = \sqrt{2}+1$ (сумма) и $\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$ (произведение).
Ответ: 1; $\sqrt{2}$.

8) В уравнении $x^2+(\sqrt{2}+\sqrt{6})x+2\sqrt{3}=0$ коэффициенты $p=\sqrt{2}+\sqrt{6}$ и $q=2\sqrt{3}$. По теореме Виета: $x_1+x_2 = -p = -(\sqrt{2}+\sqrt{6})$ и $x_1 \cdot x_2 = q = 2\sqrt{3}$. Заметим, что $2\sqrt{3}$ можно представить как произведение $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}$, так как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Поскольку сумма корней отрицательна, а произведение положительно, оба корня должны быть отрицательными. Таким образом, корнями являются числа $-\sqrt{2}$ и $-\sqrt{6}$. Проверяем: $(-\sqrt{2})+(-\sqrt{6}) = -(\sqrt{2}+\sqrt{6})$ (сумма) и $(-\sqrt{2}) \cdot (-\sqrt{6}) = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ (произведение).
Ответ: $-\sqrt{2}$; $-\sqrt{6}$.

0.7. Решите неравенства графическим способом:

1) $x^2-3x-4<0$;

2) $x^2-3x-4>0$;

3) $2x^2+3x-5\ge0$;

4) $-6x^2+6x+36\ge0$.

1) $x^2-3x-4<0$
Для решения неравенства графическим способом построим эскиз графика функции $y = x^2-3x-4$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (нули функции), для этого решим уравнение $x^2-3x-4=0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4$.
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x=-1$ и $x=4$.
Поскольку мы решаем неравенство $x^2-3x-4<0$, нас интересуют значения $x$, при которых парабола находится ниже оси $Ox$. Из графика видно, что это интервал между корнями. Так как неравенство строгое, сами корни в решение не входят.

Ответ: $x \in (-1; 4)$.

2) $x^2-3x-4>0$
Используем эскиз графика функции $y = x^2-3x-4$ из предыдущего задания. Ветви параболы направлены вверх, и она пересекает ось $Ox$ в точках $x=-1$ и $x=4$.
Нас интересуют значения $x$, при которых $y>0$, то есть где график функции находится выше оси $Ox$. Из графика видно, что это происходит на двух промежутках: левее корня $-1$ и правее корня $4$. Неравенство строгое, поэтому концы интервалов не включаются.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

3) $2x^2+3x-5 \ge 0$
Рассмотрим функцию $y = 2x^2+3x-5$. График — парабола. Коэффициент $a=2 > 0$, ветви направлены вверх. Найдем нули функции, решив уравнение $2x^2+3x-5=0$.
Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Корни: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3-7}{4} = -2.5$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x=-2.5$ и $x=1$.
Решаем неравенство $2x^2+3x-5 \ge 0$. Нас интересуют значения $x$, при которых график функции находится выше оси $Ox$ или на самой оси. Это происходит левее корня $-2.5$ и правее корня $1$. Так как неравенство нестрогое, сами корни включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [1; +\infty)$.

4) $-6x^2+6x+36 \ge 0$
Рассмотрим функцию $y = -6x^2+6x+36$. График — парабола. Коэффициент $a=-6 < 0$, ветви направлены вниз. Найдем нули функции, решив уравнение $-6x^2+6x+36=0$.
Для удобства разделим все уравнение на $-6$: $x^2 - x - 6 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3$.
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x=-2$ и $x=3$.
Решаем неравенство $-6x^2+6x+36 \ge 0$. Нам нужны значения $x$, при которых график находится выше оси $Ox$ или на ней. Поскольку ветви параболы направлены вниз, это интервал между корнями. Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в решение.

Ответ: $x \in [-2; 3]$.

0.8. Решите неравенства двумя способами:

1) $x^2-x-9<0;$

2) $6x^2-7x+2>0;$

3) $-x^2-2x+48<0;$

4) $8x^2+10x-3\geq0;$

5) $25x^2-10x+1\geq0;$

6) $49x^2-28x+4<0;$

7) $-x^2-12x-100<0;$

8) $4x^2-4x+15\leq0;$

9) $5x^2+3x-8>0.$

1) $x^2 - x - 9 < 0$

Способ 1: Графический метод
Рассмотрим параболу $y = x^2 - x - 9$. Коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $x^2 - x - 9 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 1 + 36 = 37$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{2}$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{37}}{2}$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $x_1$ и $x_2$. Поскольку ветви направлены вверх, значения функции $y$ отрицательны между корнями.
Таким образом, решение неравенства $x^2 - x - 9 < 0$ — это интервал $(x_1, x_2)$.

Способ 2: Метод интервалов
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 9 = 0$: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{37}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$.
Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; \frac{1 - \sqrt{37}}{2})$, $(\frac{1 - \sqrt{37}}{2}; \frac{1 + \sqrt{37}}{2})$ и $(\frac{1 + \sqrt{37}}{2}; +\infty)$.
Определим знак выражения $x^2 - x - 9$ в каждом интервале.
- При $x < \frac{1 - \sqrt{37}}{2}$ (например, $x = -3$): $(-3)^2 - (-3) - 9 = 9 + 3 - 9 = 3 > 0$. - При $\frac{1 - \sqrt{37}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$ (например, $x = 0$): $0^2 - 0 - 9 = -9 < 0$. - При $x > \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$ (например, $x = 4$): $4^2 - 4 - 9 = 16 - 13 = 3 > 0$.
Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше 0, поэтому выбираем средний интервал.

Ответ: $x \in (\frac{1 - \sqrt{37}}{2}, \frac{1 + \sqrt{37}}{2})$.

2) $6x^2 - 7x + 2 > 0$

Способ 1: Графический метод
Рассмотрим параболу $y = 6x^2 - 7x + 2$. Коэффициент при $x^2$ равен $6 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдем нули функции: $6x^2 - 7x + 2 = 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1$.
$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{12}$, откуда $x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $1/2$ и $2/3$. Так как ветви направлены вверх, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Способ 2: Метод интервалов
Корни уравнения $6x^2 - 7x + 2 = 0$ равны $x_1 = 1/2$ и $x_2 = 2/3$.
Разложим трехчлен на множители: $6(x - 1/2)(x - 2/3) > 0$.
Отметим точки $1/2$ и $2/3$ на числовой прямой. Они разбивают ее на интервалы $(-\infty; 1/2)$, $(1/2; 2/3)$ и $(2/3; +\infty)$.
- При $x < 1/2$ (например, $x=0$): $6(0)^2 - 7(0) + 2 = 2 > 0$. - При $1/2 < x < 2/3$ (например, $x=0.6$): $6(0.36) - 7(0.6) + 2 = 2.16 - 4.2 + 2 = -0.04 < 0$. - При $x > 2/3$ (например, $x=1$): $6(1)^2 - 7(1) + 2 = 1 > 0$.
Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше 0.

Ответ: $x \in (-\infty; 1/2) \cup (2/3; +\infty)$.

3) $-x^2 - 2x + 48 < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак на противоположный: $x^2 + 2x - 48 > 0$.
Способ 1: Графический метод
Рассмотрим параболу $y = x^2 + 2x - 48$. Ветви направлены вверх ($a=1>0$).
Найдем нули функции: $x^2 + 2x - 48 = 0$.
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -48$. Корни: $x_1 = -8$ и $x_2 = 6$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $-8$ и $6$. Функция положительна вне интервала между корнями.

Способ 2: Метод интервалов
Решаем неравенство $x^2 + 2x - 48 > 0$. Корни уравнения $x_1 = -8$ и $x_2 = 6$.
Разложим на множители: $(x+8)(x-6) > 0$.
Интервалы: $(-\infty; -8)$, $(-8; 6)$, $(6; +\infty)$.
- При $x < -8$ (например, $x=-10$): $(-10+8)(-10-6) = (-2)(-16) = 32 > 0$. - При $-8 < x < 6$ (например, $x=0$): $(0+8)(0-6) = -48 < 0$. - При $x > 6$ (например, $x=7$): $(7+8)(7-6) = 15 > 0$.
Выбираем интервалы, где выражение больше 0.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (6; +\infty)$.

4) $8x^2 + 10x - 3 \ge 0$

Способ 1: Графический метод
Рассмотрим параболу $y = 8x^2 + 10x - 3$. Ветви направлены вверх ($a=8>0$).
Найдем нули функции: $8x^2 + 10x - 3 = 0$.
$D = 10^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.
$x_{1,2} = \frac{-10 \pm 14}{16}$, откуда $x_1 = \frac{-24}{16} = -3/2$ и $x_2 = \frac{4}{16} = 1/4$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $-3/2$ и $1/4$. Функция неотрицательна на корнях и вне интервала между ними.

Способ 2: Метод интервалов
Корни уравнения: $x_1 = -3/2$ и $x_2 = 1/4$.
Разложим на множители: $8(x+3/2)(x-1/4) \ge 0$.
Интервалы: $(-\infty; -3/2]$, $[-3/2; 1/4]$, $[1/4; +\infty)$.
- При $x \le -3/2$ (например, $x=-2$): $8(-2)^2 + 10(-2) - 3 = 32 - 20 - 3 = 9 > 0$. - При $-3/2 \le x \le 1/4$ (например, $x=0$): $8(0)^2 + 10(0) - 3 = -3 < 0$. - При $x \ge 1/4$ (например, $x=1$): $8(1)^2 + 10(1) - 3 = 15 > 0$.
Выбираем промежутки, где выражение не меньше 0.

Ответ: $x \in (-\infty; -3/2] \cup [1/4; +\infty)$.

5) $25x^2 - 10x + 1 \ge 0$

Способ 1: Графический метод
Заметим, что левая часть является полным квадратом: $25x^2 - 10x + 1 = (5x-1)^2$.
Рассмотрим параболу $y = (5x-1)^2$. Ветви направлены вверх. Уравнение $(5x-1)^2 = 0$ имеет один корень $x=1/5$. Это означает, что вершина параболы находится на оси Ox в точке $x=1/5$.
Вся парабола лежит выше оси Ox, касаясь ее в одной точке. Следовательно, выражение $(5x-1)^2$ всегда неотрицательно.

Способ 2: Алгебраический метод
Неравенство можно переписать в виде $(5x - 1)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Поэтому данное неравенство выполняется для любых значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) $49x^2 - 28x + 4 < 0$

Способ 1: Графический метод
Левая часть является полным квадратом: $49x^2 - 28x + 4 = (7x-2)^2$.
Рассмотрим параболу $y = (7x-2)^2$. Ветви направлены вверх, вершина касается оси Ox в точке $x=2/7$.
Вся парабола расположена не ниже оси Ox, то есть $y \ge 0$ для всех $x$. Нет значений $x$, при которых $y < 0$.

Способ 2: Алгебраический метод
Неравенство можно переписать в виде $(7x - 2)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

7) $-x^2 - 12x - 100 < 0$

Умножим обе части на $-1$, сменив знак: $x^2 + 12x + 100 > 0$.
Способ 1: Графический метод
Рассмотрим параболу $y = x^2 + 12x + 100$. Ветви направлены вверх ($a=1>0$).
Найдем дискриминант уравнения $x^2 + 12x + 100 = 0$:
$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 144 - 400 = -256$.
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox. Таким образом, $y > 0$ для всех $x$.

Способ 2: Метод выделения полного квадрата
Преобразуем выражение в левой части: $x^2 + 12x + 100 = (x^2 + 12x + 36) - 36 + 100 = (x+6)^2 + 64$.
Неравенство принимает вид $(x+6)^2 + 64 > 0$.
Поскольку $(x+6)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $(x+6)^2 + 64 \ge 64$. Так как $64 > 0$, неравенство верно для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

8) $4x^2 - 4x + 15 \le 0$

Способ 1: Графический метод
Рассмотрим параболу $y = 4x^2 - 4x + 15$. Ветви направлены вверх ($a=4>0$).
Найдем дискриминант уравнения $4x^2 - 4x + 15 = 0$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 16 - 240 = -224$.
Так как $D < 0$, у параболы нет точек пересечения с осью Ox. Ветви направлены вверх, значит, вся парабола лежит выше оси Ox. Таким образом, $y > 0$ для всех $x$. Нет значений $x$, при которых $y \le 0$.

Способ 2: Метод выделения полного квадрата
$4x^2 - 4x + 15 = 4(x^2 - x) + 15 = 4(x^2 - x + 1/4 - 1/4) + 15 = 4(x - 1/2)^2 - 1 + 15 = 4(x - 1/2)^2 + 14$.
Неравенство принимает вид $4(x - 1/2)^2 + 14 \le 0$.
Так как $4(x-1/2)^2 \ge 0$, то $4(x-1/2)^2 + 14 \ge 14$. Выражение никогда не может быть меньше или равно 0.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

9) $5x^2 + 3x - 8 > 0$

Способ 1: Графический метод
Рассмотрим параболу $y = 5x^2 + 3x - 8$. Ветви направлены вверх ($a=5>0$).
Найдем нули функции: $5x^2 + 3x - 8 = 0$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm 13}{10}$, откуда $x_1 = \frac{-16}{10} = -8/5$ и $x_2 = \frac{10}{10} = 1$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $-8/5$ и $1$. Функция положительна вне интервала между корнями.

Способ 2: Метод интервалов
Корни уравнения: $x_1 = -8/5$ и $x_2 = 1$.
Разложим на множители: $5(x+8/5)(x-1) > 0$.
Интервалы: $(-\infty; -8/5)$, $(-8/5; 1)$, $(1; +\infty)$.
- При $x < -8/5$ (например, $x=-2$): $5(-2)^2 + 3(-2) - 8 = 20 - 6 - 8 = 6 > 0$. - При $-8/5 < x < 1$ (например, $x=0$): $5(0)^2 + 3(0) - 8 = -8 < 0$. - При $x > 1$ (например, $x=2$): $5(2)^2 + 3(2) - 8 = 20 + 6 - 8 = 18 > 0$.
Выбираем интервалы, где выражение больше 0.

Ответ: $x \in (-\infty; -8/5) \cup (1; +\infty)$.