Номер 0.6, страница 7 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.6. Найдите корни уравнений с помощью теоремы Виета:

1) $x^2 - 5x + 6 = 0;$

2) $4x^2 - 12x + 9 = 0;$

3) $x^2 + 2x - 24 = 0;$

4) $x^2 + 9x + 14 = 0;$

5) $x^2 - 7ax + 12a^2 = 0;$

6) $x^2 + 5bx + 6b^2 = 0;$

7) $x^2 - (\sqrt{2} + 1)x + \sqrt{2} = 0;$

8) $x^2 + (\sqrt{2} + \sqrt{6})x + 2\sqrt{3} = 0.$

1) Для уравнения $x^2-5x+6=0$, которое является приведенным квадратным уравнением ($x^2+px+q=0$), коэффициенты $p=-5$ и $q=6$. Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2 = -p = -(-5) = 5$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 6$. Методом подбора находим два числа, которые удовлетворяют этим условиям. Это числа 2 и 3. Проверим: $2+3=5$ и $2 \cdot 3=6$. Условия выполняются.
Ответ: 2; 3.

2) Уравнение $4x^2-12x+9=0$ не является приведенным. Чтобы применить теорему Виета для приведенного уравнения, разделим обе части уравнения на старший коэффициент 4: $x^2 - \frac{12}{4}x + \frac{9}{4} = 0$, что равносильно $x^2 - 3x + \frac{9}{4} = 0$. Теперь это приведенное уравнение с коэффициентами $p=-3$ и $q=\frac{9}{4}$. По теореме Виета: $x_1+x_2 = -p = 3$ и $x_1 \cdot x_2 = q = \frac{9}{4}$. Необходимо найти два числа, сумма которых равна 3, а произведение $\frac{9}{4}$. Эти условия выполняются, если корни равны: $x_1=x_2=\frac{3}{2}$. Проверим: $\frac{3}{2}+\frac{3}{2} = \frac{6}{2} = 3$ и $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$. Исходное уравнение также можно представить в виде полного квадрата $(2x-3)^2=0$, откуда $2x-3=0$ и $x=\frac{3}{2}$.
Ответ: 1,5.

3) Для приведенного квадратного уравнения $x^2+2x-24=0$ коэффициенты $p=2$ и $q=-24$. По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2 = -p = -2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q = -24$. Так как произведение отрицательно, корни имеют разные знаки. Подбираем два числа, произведение которых равно -24, а сумма -2. Этими числами являются -6 и 4. Проверяем: $-6+4=-2$ и $-6 \cdot 4 = -24$.
Ответ: -6; 4.

4) В уравнении $x^2+9x+14=0$ коэффициенты $p=9$ и $q=14$. Согласно теореме Виета: $x_1+x_2 = -p = -9$ и $x_1 \cdot x_2 = q = 14$. Поскольку произведение корней положительно ($14 > 0$), а сумма отрицательна ($-9 < 0$), оба корня должны быть отрицательными. Подбираем два отрицательных числа, произведение которых равно 14. Это могут быть пары (-1, -14) или (-2, -7). Проверяем их сумму: $-1+(-14)=-15$, $-2+(-7)=-9$. Подходит вторая пара.
Ответ: -7; -2.

5) Рассматриваем уравнение $x^2-7ax+12a^2=0$ как квадратное относительно переменной $x$. Коэффициенты $p=-7a$ и $q=12a^2$. По теореме Виета: $x_1+x_2 = -p = 7a$ и $x_1 \cdot x_2 = q = 12a^2$. Ищем два выражения, сумма которых равна $7a$, а произведение $12a^2$. Для этого найдем два числа, сумма которых 7, а произведение 12. Это числа 3 и 4. Значит, искомые корни будут $3a$ и $4a$. Проверяем: $3a+4a=7a$ и $3a \cdot 4a = 12a^2$.
Ответ: $3a$; $4a$.

6) В уравнении $x^2+5bx+6b^2=0$ коэффициенты $p=5b$ и $q=6b^2$. По теореме Виета: $x_1+x_2 = -p = -5b$ и $x_1 \cdot x_2 = q = 6b^2$. Ищем два выражения, сумма которых равна $-5b$, а произведение $6b^2$. Для этого найдем два числа, сумма которых -5, а произведение 6. Это числа -2 и -3. Значит, искомые корни будут $-2b$ и $-3b$. Проверяем: $(-2b)+(-3b)=-5b$ и $(-2b) \cdot (-3b) = 6b^2$.
Ответ: $-2b$; $-3b$.

7) Для уравнения $x^2-(\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}=0$ коэффициенты $p=-(\sqrt{2}+1)$ и $q=\sqrt{2}$. По теореме Виета: $x_1+x_2 = -p = -(-(\sqrt{2}+1)) = \sqrt{2}+1$ и $x_1 \cdot x_2 = q = \sqrt{2}$. Из выражений для суммы и произведения очевидно, что искомыми корнями являются числа $\sqrt{2}$ и 1. Проверяем: $\sqrt{2}+1 = \sqrt{2}+1$ (сумма) и $\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$ (произведение).
Ответ: 1; $\sqrt{2}$.

8) В уравнении $x^2+(\sqrt{2}+\sqrt{6})x+2\sqrt{3}=0$ коэффициенты $p=\sqrt{2}+\sqrt{6}$ и $q=2\sqrt{3}$. По теореме Виета: $x_1+x_2 = -p = -(\sqrt{2}+\sqrt{6})$ и $x_1 \cdot x_2 = q = 2\sqrt{3}$. Заметим, что $2\sqrt{3}$ можно представить как произведение $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}$, так как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Поскольку сумма корней отрицательна, а произведение положительно, оба корня должны быть отрицательными. Таким образом, корнями являются числа $-\sqrt{2}$ и $-\sqrt{6}$. Проверяем: $(-\sqrt{2})+(-\sqrt{6}) = -(\sqrt{2}+\sqrt{6})$ (сумма) и $(-\sqrt{2}) \cdot (-\sqrt{6}) = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ (произведение).
Ответ: $-\sqrt{2}$; $-\sqrt{6}$.