Номер 18, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

18. Какое неравенство называется рациональным? Как применяют метод интервалов?

Какое неравенство называется рациональным?
Рациональным неравенством называется неравенство вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$, где $f(x)$ — рациональная функция, то есть отношение двух многочленов: $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены. Важно отметить, что многочлен $Q(x)$ в знаменателе не должен быть равен нулю.
Частным случаем рационального неравенства является целое рациональное неравенство (или полиномиальное неравенство), когда знаменатель $Q(x)$ является константой, отличной от нуля (обычно $Q(x) = 1$). В этом случае неравенство принимает вид $P(x) > 0$ (или $<, \ge, \le$).
Примеры рациональных неравенств:
1. $\frac{x^2 - 4}{x + 5} \le 0$
2. $\frac{(x-1)^2(x+3)}{x(x-2)} > 0$
3. $x^3 - 2x^2 - 3x < 0$ (это целое рациональное неравенство)
Ответ: Неравенство вида $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$ (или $<, \ge, \le$), где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены, называется рациональным.

Как применяют метод интервалов?
Метод интервалов — это стандартный способ решения рациональных неравенств. Он основан на свойстве непрерывности рациональной функции: функция может менять свой знак только в точках, где она равна нулю или не существует (терпит разрыв). Алгоритм применения метода интервалов следующий:
1. Приведение к стандартному виду. Все члены неравенства переносятся в левую часть, чтобы справа остался ноль. Все слагаемые в левой части приводятся к общему знаменателю, в результате чего неравенство принимает вид $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$ (или $<, \ge, \le$).
2. Нахождение нулей и точек разрыва. Находятся все корни числителя (решается уравнение $P(x) = 0$) и все корни знаменателя (решается уравнение $Q(x) = 0$). Эти значения называются критическими точками.
3. Нанесение точек на числовую ось. Все найденные критические точки наносятся на числовую ось в порядке возрастания.
• Если неравенство строгое ($>$ или $<$), все точки на оси изображаются «выколотыми» (пустыми кружками).
• Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), нули числителя изображаются «закрашенными» (сплошными точками), так как они входят в решение. Нули знаменателя всегда изображаются «выколотыми», так как знаменатель не может быть равен нулю.
4. Определение знаков на интервалах. Критические точки разбивают числовую ось на интервалы. В каждом из этих интервалов знак выражения $\frac{P(x)}{Q(x)}$ постоянен. Чтобы определить этот знак, можно:
• Взять любую «пробную» точку из каждого интервала и подставить ее в выражение, определив его знак.
• Определить знак на крайнем правом интервале (при $x \to +\infty$). Обычно, если старшие коэффициенты многочленов положительны, знак будет «+». Затем, двигаясь справа налево, знаки на интервалах чередуются при переходе через корень нечетной кратности и сохраняются при переходе через корень четной кратности. Корень имеет кратность $k$, если соответствующий множитель имеет вид $(x-a)^k$.
5. Выбор нужных интервалов и запись ответа. В зависимости от знака неравенства ($>, <, \ge, \le$) выбираются интервалы со знаком «+» или «-». Объединение этих интервалов и является решением неравенства. В ответ также включаются «закрашенные» точки.
Пример: Решить неравенство $\frac{x-1}{x+2} \ge 0$.
1. Неравенство уже в стандартном виде.
2. Нуль числителя: $x-1=0 \implies x=1$. Нуль знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$.
3. Наносим точки на ось. $x=1$ — закрашенная (неравенство нестрогое), $x=-2$ — выколотая (нуль знаменателя).
4. Получаем интервалы $(-\infty; -2)$, $(-2; 1]$, $[1; +\infty)$. Определяем знаки. Возьмем пробную точку $x=2$ из правого интервала: $\frac{2-1}{2+2} = \frac{1}{4} > 0$. Значит, на $[1; +\infty)$ знак «+». Корни $x=1$ и $x=-2$ имеют кратность 1 (нечетную), поэтому знаки чередуются.

5. Нам нужно, чтобы выражение было $\ge 0$, то есть выбираем интервалы со знаком «+». Это $(-\infty; -2) \cup [1; +\infty)$.
Ответ: Метод интервалов — это алгоритм для решения рациональных неравенств, который включает приведение неравенства к стандартному виду, нахождение нулей числителя и знаменателя, нанесение их на числовую ось, определение знаков функции на получившихся интервалах и выбор интервалов, удовлетворяющих неравенству.