Номер 15, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

15. Как решить квадратные неравенства? Приведите пример.

Квадратное неравенство — это неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$ или $ax^2 + bx + c \le 0$, где $a \ne 0$.

Для решения квадратных неравенств удобно использовать графический метод (метод параболы), который основан на свойствах квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

Алгоритм решения:

1. Перенести все члены неравенства в левую часть, чтобы справа остался ноль.

2. Рассмотреть квадратичную функцию $y = ax^2 + bx + c$ и найти ее нули, то есть корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Эти точки являются точками пересечения параболы с осью абсцисс (Ox).

3. Определить направление ветвей параболы. Если старший коэффициент $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.

4. Схематически изобразить параболу, учитывая направление ветвей и точки пересечения с осью Ox. В зависимости от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ возможны три случая:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$. Парабола пересекает ось Ox в двух точках.

• Если $D = 0$, уравнение имеет один корень $x_0$. Парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине).

• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox и целиком расположена либо выше оси (при $a > 0$), либо ниже оси (при $a < 0$).

5. Выбрать на оси Ox промежутки, на которых график функции $y = ax^2 + bx + c$ удовлетворяет заданному неравенству. Если неравенство имеет вид $> 0$, выбираются промежутки, где парабола находится выше оси Ox. Если неравенство $< 0$, выбираются промежутки, где парабола ниже оси Ox. Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), то найденные корни включаются в ответ.

Пример.

Решим неравенство $x^2 - 5x + 4 < 0$.

1. Неравенство уже находится в стандартном виде.

2. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Коэффициенты: $a=1, b=-5, c=4$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

3. Ветви параболы $y = x^2 - 5x + 4$ направлены вверх, так как $a = 1 > 0$.

4. Схематически изобразим параболу. Она пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=4$, ветви направлены вверх.

5. Ищем значения $x$, при которых $x^2 - 5x + 4 < 0$. Это соответствует промежутку, где парабола находится ниже оси Ox (область, отмеченная знаком "−"). Из схемы видно, что это интервал между корнями.

Поскольку неравенство строгое ($<$), сами точки $x=1$ и $x=4$ в решение не включаются (на схеме они отмечены выколотыми точками). Таким образом, решением является интервал $(1; 4)$.

Ответ: $x \in (1; 4)$.