Страница 5 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10. Напишите формулу нахождения корней квадратного уравнения. Что называется дискриминантом? Приведите пример.

Формула нахождения корней квадратного уравнения

Квадратное уравнение в общем виде записывается как $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a, b, c$ — числовые коэффициенты, причём $a \neq 0$. Корни этого уравнения (его решения) можно найти с помощью специальной формулы.

Ответ: Формула для нахождения корней квадратного уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Что называется дискриминантом

Дискриминантом квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ называется выражение, которое находится под знаком квадратного корня в формуле корней. Он обозначается буквой $D$. Дискриминант (от лат. discriminans — «различающий») используется для определения количества действительных корней уравнения:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней (его корни являются комплексными числами).

Ответ: Дискриминант — это выражение, вычисляемое по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Пример

Рассмотрим решение квадратного уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
В данном уравнении коэффициенты равны: $a=2$, $b=-7$, $c=3$.
1. Сначала вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
2. Поскольку $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
3. Теперь найдем сами корни, используя значение дискриминанта и формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

Ответ: Корни уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$ равны $3$ и $0.5$.

11. Сформулируйте теорему Виета и обратную ей теорему.

Приведите пример.

Теорема Виета

Эта теорема устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Она особенно удобна для приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений, где старший коэффициент (при $x^2$) равен единице.

Формулировка для приведенного квадратного уравнения:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ равна его второму коэффициенту $p$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$.

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения (при условии, что они существуют), то:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Формулировка для полного квадратного уравнения:

Для полного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$), если $x_1$ и $x_2$ являются его корнями, то справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Ответ: Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ утверждает, что если $x_1$ и $x_2$ являются его корнями, то их сумма $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

Обратная теорема Виета

Эта теорема позволяет, зная два числа, составить квадратное уравнение, для которого они будут являться корнями, или проверить, являются ли два числа корнями заданного уравнения.

Формулировка:

Если числа $m$ и $n$ таковы, что их сумма равна $-p$ ($m + n = -p$), а их произведение равно $q$ ($m \cdot n = q$), то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Ответ: Обратная теорема Виета утверждает, что если для чисел $m$ и $n$ выполняются равенства $m + n = -p$ и $m \cdot n = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Пример

Применение теоремы Виета для нахождения корней:

Рассмотрим уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Здесь $p = -5$ и $q = 6$. По теореме Виета для его корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться условия:

$x_1 + x_2 = -(-5) = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Подбором находим, что этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $3$. Проверяем: $2 + 3 = 5$ и $2 \cdot 3 = 6$. Значит, $x_1=2$ и $x_2=3$ — корни данного уравнения.

Применение обратной теоремы Виета для составления уравнения:

Составим приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа $-4$ и $1$.

Пусть $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Найдем коэффициенты $p$ и $q$ для уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Согласно обратной теореме Виета:

$p = -(x_1 + x_2) = -(-4 + 1) = -(-3) = 3$

$q = x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot 1 = -4$

Следовательно, искомое уравнение имеет вид: $x^2 + 3x - 4 = 0$.

Ответ: Пример применения теоремы Виета: для уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ сумма корней равна $5$, произведение равно $6$, откуда корни — $2$ и $3$. Пример применения обратной теоремы: для составления уравнения с корнями $-4$ и $1$ находим $p = -(-4+1)=3$ и $q=(-4)\cdot1=-4$, что дает уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$.

12. Как можно устно найти корни квадратного уравнения в случаях, когда $a \pm b + c = 0$? Приведите пример.

Для устного нахождения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ в случаях, когда коэффициенты связаны определенными соотношениями, можно использовать следующие правила. Эти правила позволяют найти один корень мгновенно, а второй — через простую формулу, вытекающую из теоремы Виета.

Случай 1: $a + b + c = 0$
Если сумма всех коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то один из его корней всегда равен $1$, а второй корень равен $\frac{c}{a}$.

Обоснование:
Подставим значение $x = 1$ в левую часть уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c$.
Поскольку по условию $a + b + c = 0$, то $x_1 = 1$ является корнем данного уравнения. Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно $\frac{c}{a}$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
$1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
$x_2 = \frac{c}{a}$

Пример:
Решим уравнение $5x^2 - 8x + 3 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a = 5$, $b = -8$, $c = 3$.
Проверим сумму коэффициентов: $a + b + c = 5 + (-8) + 3 = 0$.
Так как сумма равна нулю, первый корень $x_1 = 1$.
Второй корень $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{3}{5}$.

Случай 2: $a - b + c = 0$
Если в квадратном уравнении второй коэффициент равен сумме первого и третьего коэффициентов ($b = a + c$), что равносильно условию $a - b + c = 0$, то один из его корней всегда равен $-1$, а второй корень равен $-\frac{c}{a}$.

Обоснование:
Подставим значение $x = -1$ в левую часть уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = a - b + c$.
Поскольку по условию $a - b + c = 0$, то $x_1 = -1$ является корнем данного уравнения. Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно $\frac{c}{a}$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
$(-1) \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
$x_2 = -\frac{c}{a}$

Пример:
Решим уравнение $2x^2 + 9x + 7 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a = 2$, $b = 9$, $c = 7$.
Проверим условие: $a - b + c = 2 - 9 + 7 = 0$. (Или $a+c = 2+7 = 9 = b$).
Так как условие выполняется, первый корень $x_1 = -1$.
Второй корень $x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{7}{2}$.
Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{7}{2}$.

13. Укажите общие элементы и различия понятий квадратного уравнения, квадратного трехчлена и квадратичной функции. Приведите пример.

Квадратный трехчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a \neq 0$. Это просто алгебраическое выражение.

Квадратное уравнение — это равенство вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — неизвестное, которое нужно найти, а $a, b, c$ — коэффициенты, причем $a \neq 0$. Задача состоит в нахождении корней уравнения.

Квадратичная функция — это функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), $y$ — зависимая переменная (значение функции), а $a, b, c$ — коэффициенты, причем $a \neq 0$. Она описывает зависимость между двумя переменными, ее график — парабола.

Общие элементы

Все три понятия основаны на одном и том же математическом объекте — выражении $ax^2 + bx + c$ с обязательным условием $a \neq 0$. Коэффициенты $a, b$ и $c$ имеют схожее значение для каждого из понятий. Например, дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является ключевой характеристикой для всех трех:
• Для квадратного трехчлена он определяет, можно ли разложить его на линейные множители с действительными коэффициентами.
• Для квадратного уравнения он определяет количество действительных корней (два при $D > 0$, один при $D = 0$, ноль при $D < 0$).
• Для квадратичной функции он определяет количество точек пересечения ее графика (параболы) с осью абсцисс (Ox). Эти точки называются нулями функции.

Различия

Ключевые различия заключаются в их математической сущности и целях их использования.
Сущность: Трехчлен — это выражение, уравнение — это равенство, а функция — это зависимость (правило).
Задача:
• С трехчленом мы выполняем алгебраические преобразования (например, раскладываем на множители).
• Уравнение мы решаем, то есть ищем конкретные значения переменной $x$ (корни), которые обращают равенство в верное числовое тождество.
• Функцию мы исследуем: находим ее область определения и значений, строим ее график, ищем экстремумы (вершину параболы) и т.д.
Результат:
• Результатом работы с трехчленом является другое выражение (например, его разложение на множители).
• Результатом решения уравнения является набор чисел — его корни.
• Результатом исследования функции является ее график и описание ее свойств. Корни соответствующего квадратного уравнения являются нулями функции (абсциссами точек пересечения графика с осью Ox).

Пример

Рассмотрим структуру на основе коэффициентов $a=1, b=-5, c=6$.
• Квадратный трехчлен: $x^2 - 5x + 6$. Мы можем его разложить на множители: $(x-2)(x-3)$.
• Квадратное уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Решая его, находим корни: $x_1 = 2, x_2 = 3$.
• Квадратичная функция: $y = x^2 - 5x + 6$. Это функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Вершина параболы находится в точке $(2.5, -0.25)$. Нули функции (точки пересечения с осью Ox) — это $x=2$ и $x=3$, что совпадает с корнями соответствующего уравнения.

Ответ: Общим для квадратного уравнения, трехчлена и функции является алгебраическая структура $ax^2 + bx + c$ при $a \neq 0$. Различия заключаются в их природе и назначении: трехчлен — это выражение для преобразований; уравнение — это равенство для нахождения корней; функция — это зависимость для исследования и построения графика. Например, для выражения $x^2 - 5x + 6$: это квадратный трехчлен; $x^2 - 5x + 6 = 0$ — это квадратное уравнение с корнями 2 и 3; $y = x^2 - 5x + 6$ — это квадратичная функция, график которой (парабола) пересекает ось Ox в точках $x=2$ и $x=3$.

14. Как разложить квадратный трехчлен на множители?

Квадратный трехчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, причем обязательным условием является $a \neq 0$. Разложить квадратный трехчлен на множители означает представить его в виде произведения, как правило, двух линейных множителей и старшего коэффициента.

Основное правило для разложения квадратного трехчлена на множители основано на его корнях. Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то для трехчлена справедлива следующая формула разложения:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Таким образом, алгоритм разложения состоит из следующих шагов:

1. Приравнять данный квадратный трехчлен к нулю, чтобы получить соответствующее ему квадратное уравнение: $ax^2 + bx + c = 0$.

2. Найти корни этого уравнения. Стандартный способ — через дискриминант. Сначала вычисляется дискриминант ($D$) по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

3. В зависимости от значения дискриминанта возможны три случая:

• Если $D > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня. Они находятся по формулам: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$. В этом случае трехчлен раскладывается на множители.

• Если $D = 0$, то уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня), который вычисляется по формуле: $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$. В этом случае трехчлен является полным квадратом и его разложение выглядит так: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$.

• Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что данный квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

4. Подставить найденные значения корней $x_1$, $x_2$ и коэффициент $a$ в общую формулу разложения.

Рассмотрим применение этого алгоритма на примерах.

Пример 1 ($D > 0$): Разложить на множители трехчлен $2x^2 + 7x - 4$.

1. Составляем уравнение: $2x^2 + 7x - 4 = 0$. Здесь $a=2, b=7, c=-4$.

2. Вычисляем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

3. Так как $D=81 > 0$, уравнение имеет два корня. Находим их:

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

4. Подставляем корни в формулу разложения: $a(x-x_1)(x-x_2)$.

$2x^2 + 7x - 4 = 2(x - \frac{1}{2})(x - (-4)) = 2(x - \frac{1}{2})(x + 4)$.

Можно внести множитель 2 в первую скобку, чтобы избавиться от дроби: $(2x - 1)(x + 4)$.

Пример 2 ($D = 0$): Разложить на множители трехчлен $4x^2 - 20x + 25$.

1. Составляем уравнение: $4x^2 - 20x + 25 = 0$. Здесь $a=4, b=-20, c=25$.

2. Вычисляем дискриминант: $D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 400 - 400 = 0$.

3. Так как $D=0$, уравнение имеет один корень:

$x_1 = x_2 = -\frac{-20}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$

4. Подставляем корень в формулу: $4x^2 - 20x + 25 = 4(x - \frac{5}{2})^2$.

Это выражение является полным квадратом: $4(x - \frac{5}{2})^2 = (2(x - \frac{5}{2}))^2 = (2x - 5)^2$.

Пример 3 ($D < 0$): Разложить на множители трехчлен $x^2 + 2x + 3$.

1. Составляем уравнение: $x^2 + 2x + 3 = 0$. Здесь $a=1, b=2, c=3$.

2. Вычисляем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

3. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, этот трехчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Частный случай: Теорема Виета

Для приведенных квадратных трехчленов (у которых старший коэффициент $a=1$), имеющих вид $x^2 + px + q$, корни можно находить по теореме Виета. Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$, то выполняются равенства: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$. Разложение в этом случае будет иметь вид: $(x-x_1)(x-x_2)$.

Пример 4 (Теорема Виета): Разложить на множители $x^2 - 5x + 6$.

1. Для уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ ищем два числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 6. Методом подбора находим, что это числа 2 и 3.

2. Значит, корни $x_1=2$ и $x_2=3$.

3. Разложение: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Ответ: Чтобы разложить квадратный трехчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, нужно найти корни $x_1$ и $x_2$ соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если корни существуют (то есть дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$), то разложение осуществляется по формуле: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Если действительных корней нет ($D < 0$), разложить трехчлен на линейные множители с действительными коэффициентами невозможно.

15. Как решить квадратные неравенства? Приведите пример.

Квадратное неравенство — это неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$ или $ax^2 + bx + c \le 0$, где $a \ne 0$.

Для решения квадратных неравенств удобно использовать графический метод (метод параболы), который основан на свойствах квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

Алгоритм решения:

1. Перенести все члены неравенства в левую часть, чтобы справа остался ноль.

2. Рассмотреть квадратичную функцию $y = ax^2 + bx + c$ и найти ее нули, то есть корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Эти точки являются точками пересечения параболы с осью абсцисс (Ox).

3. Определить направление ветвей параболы. Если старший коэффициент $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.

4. Схематически изобразить параболу, учитывая направление ветвей и точки пересечения с осью Ox. В зависимости от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ возможны три случая:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$. Парабола пересекает ось Ox в двух точках.

• Если $D = 0$, уравнение имеет один корень $x_0$. Парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине).

• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox и целиком расположена либо выше оси (при $a > 0$), либо ниже оси (при $a < 0$).

5. Выбрать на оси Ox промежутки, на которых график функции $y = ax^2 + bx + c$ удовлетворяет заданному неравенству. Если неравенство имеет вид $> 0$, выбираются промежутки, где парабола находится выше оси Ox. Если неравенство $< 0$, выбираются промежутки, где парабола ниже оси Ox. Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), то найденные корни включаются в ответ.

Пример.

Решим неравенство $x^2 - 5x + 4 < 0$.

1. Неравенство уже находится в стандартном виде.

2. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Коэффициенты: $a=1, b=-5, c=4$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

3. Ветви параболы $y = x^2 - 5x + 4$ направлены вверх, так как $a = 1 > 0$.

4. Схематически изобразим параболу. Она пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=4$, ветви направлены вверх.

5. Ищем значения $x$, при которых $x^2 - 5x + 4 < 0$. Это соответствует промежутку, где парабола находится ниже оси Ox (область, отмеченная знаком "−"). Из схемы видно, что это интервал между корнями.

Поскольку неравенство строгое ($<$), сами точки $x=1$ и $x=4$ в решение не включаются (на схеме они отмечены выколотыми точками). Таким образом, решением является интервал $(1; 4)$.

Ответ: $x \in (1; 4)$.

16. Назовите основные свойства неравенств. Объясните их на примерах.

Неравенства обладают рядом основных свойств, которые используются при их решении. Вот ключевые из них:

1. Свойство транзитивности.Если одно число больше второго, а второе число больше третьего, то первое число больше третьего. То же самое справедливо для знака "меньше".
Формульная запись: если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.
Пример: Даны числа 20, 11 и 5. Мы знаем, что $20 > 11$ и $11 > 5$. Из этого, согласно свойству транзитивности, следует, что $20 > 5$, что является верным.
Ответ:

2. Прибавление к неравенству или вычитание из него числа.Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число или из обеих частей вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом не изменяется.
Формульная запись: если $a > b$, то для любого числа $c$ будут верны неравенства $a + c > b + c$ и $a - c > b - c$.
Пример: Возьмем верное неравенство $8 > 3$. Прибавим к обеим его частям число 5: $8 + 5 > 3 + 5$, что дает $13 > 8$ (верно). Теперь вычтем из обеих частей исходного неравенства число 2: $8 - 2 > 3 - 2$, что дает $6 > 1$ (также верно).
Ответ:

3. Умножение или деление неравенства на положительное число.Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом не изменяется.
Формульная запись: если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$ и $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.
Пример: Возьмем верное неравенство $15 > 10$. Умножим обе его части на положительное число 2: $15 \cdot 2 > 10 \cdot 2$, что дает $30 > 20$ (верно). Разделим обе части исходного неравенства на положительное число 5: $\frac{15}{5} > \frac{10}{5}$, что дает $3 > 2$ (также верно).
Ответ:

4. Умножение или деление неравенства на отрицательное число.Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства необходимо изменить на противоположный ($>$ на $<$, $<$ на $>$, $\leq$ на $\geq$, $\geq$ на $\leq$).
Формульная запись: если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$ и $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.
Пример: Возьмем верное неравенство $12 > 6$. Умножим обе его части на отрицательное число -3 и сменим знак $>$ на $<$: $12 \cdot (-3) < 6 \cdot (-3)$, что дает $-36 < -18$ (верно). Разделим обе части исходного неравенства на -2 и сменим знак: $\frac{12}{-2} < \frac{6}{-2}$, что дает $-6 < -3$ (также верно).
Ответ:

5. Почленное сложение неравенств.Верные неравенства одного знака можно почленно складывать. В результате получится верное неравенство того же знака.
Формульная запись: если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.
Пример: Возьмем два верных неравенства $9 > 2$ и $7 > 5$. Сложим их почленно (левую часть с левой, правую с правой): $9 + 7 > 2 + 5$, что дает $16 > 7$ (верно).
Ответ:

6. Почленное умножение неравенств.Верные неравенства одного знака, у которых все части положительны, можно почленно перемножать. В результате получится верное неравенство того же знака.
Формульная запись: если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.
Пример: Возьмем два верных неравенства с положительными членами: $5 > 3$ и $4 > 2$. Перемножим их почленно: $5 \cdot 4 > 3 \cdot 2$, что дает $20 > 6$ (верно). Важно помнить, что это свойство применяется только для неравенств с положительными частями.
Ответ:

17. Какие способы доказательств неравенств вы знаете?

Покажите на примерах.

Существует множество способов доказательства неравенств. Рассмотрим некоторые из наиболее распространенных на примерах.

1. Использование определения

Этот метод основан на определении знаков "больше" и "меньше". Чтобы доказать, что $A > B$, достаточно показать, что их разность $A - B$ является положительным числом. Аналогично, для доказательства $A \ge B$ нужно показать, что $A - B \ge 0$.

Пример: Доказать, что для любых действительных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство $a^2 + b^2 \ge 2ab$.

Решение: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства:

$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(a-b)^2 \ge 0$. Следовательно, разность $a^2 + b^2 - 2ab$ неотрицательна, а это означает, что $a^2 + b^2 \ge 2ab$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2. Метод выделения полного квадрата

Частный случай предыдущего метода, который очень эффективен при работе с квадратичными выражениями. Идея состоит в том, чтобы преобразовать выражение к виду, содержащему полный квадрат, неотрицательность которого очевидна.

Пример: Доказать, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^2 - 6x + 10 > 0$.

Решение: Выделим полный квадрат в левой части неравенства:

$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (x-3)^2 - 9 + 10 = (x-3)^2 + 1$.

Поскольку $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $(x-3)^2 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, то и $(x-3)^2 + 1 > 0$, следовательно, $x^2 - 6x + 10 > 0$.

Ответ: Неравенство доказано.

3. Использование известных (опорных) неравенств

Многие сложные неравенства можно доказать, сведя их к уже известным классическим неравенствам, таким как неравенство о средних (Коши), неравенство Коши-Буняковского, неравенство Йенсена и другие.

Пример: Доказать, что для любых неотрицательных чисел $a, b, c$ выполняется неравенство $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$.

Решение: Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши), которое для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ имеет вид $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$.

Применим это неравенство для пар чисел $(a,b)$, $(b,c)$ и $(c,a)$:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \implies a+b \ge 2\sqrt{ab}$

$\frac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc} \implies b+c \ge 2\sqrt{bc}$

$\frac{c+a}{2} \ge \sqrt{ca} \implies c+a \ge 2\sqrt{ca}$

Поскольку все части этих неравенств неотрицательны, мы можем их перемножить:

$(a+b)(b+c)(c+a) \ge (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca}) = 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8|abc|$.

Так как по условию $a, b, c$ неотрицательны, то $|abc|=abc$. Таким образом, $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$.

Ответ: Неравенство доказано.

4. Метод доказательства от противного

Суть метода заключается в том, что мы предполагаем, что доказываемое неравенство неверно (т.е. верно противоположное неравенство), и путем логических рассуждений приходим к противоречию с известными фактами или условиями задачи. Это означает, что наше первоначальное предположение было ложным, а значит, исходное неравенство верно.

Пример: Доказать, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$.

Решение: Предположим противное, то есть что существует пара положительных чисел $a$ и $b$, для которых $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} < 2$.

Поскольку $a>0$ и $b>0$, то и их произведение $ab > 0$. Умножим обе части нашего предположения на $ab$:

$(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) \cdot ab < 2 \cdot ab$

$a^2 + b^2 < 2ab$

Перенесем все члены в левую часть:

$a^2 - 2ab + b^2 < 0$

$(a - b)^2 < 0$

Полученное неравенство ложно, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, а исходное неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ верно.

Ответ: Неравенство доказано.

5. Метод математической индукции

Этот метод применяется для доказательства неравенств, зависящих от натурального параметра $n$. Доказательство состоит из двух шагов: 1) проверка справедливости утверждения для начального значения $n$ (база индукции); 2) доказательство того, что если утверждение верно для некоторого натурального $k$, то оно верно и для $k+1$ (шаг индукции).

Пример: Доказать неравенство Бернулли: для любого действительного $x > -1$ и любого натурального $n \ge 1$ выполняется $(1+x)^n \ge 1 + nx$.

Решение:

1. База индукции: Проверим для $n=1$.

$(1+x)^1 \ge 1 + 1 \cdot x \iff 1+x \ge 1+x$. Неравенство верно.

2. Шаг индукции: Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального $n=k \ge 1$, то есть $(1+x)^k \ge 1 + kx$. Это наше индукционное предположение.

Докажем, что неравенство верно и для $n=k+1$, то есть $(1+x)^{k+1} \ge 1 + (k+1)x$.

Преобразуем левую часть: $(1+x)^{k+1} = (1+x)^k(1+x)$.

По условию $x > -1$, значит $1+x > 0$. Умножим обе части индукционного предположения на $(1+x)$:

$(1+x)^k (1+x) \ge (1+kx)(1+x)$

$(1+x)^{k+1} \ge 1 + x + kx + kx^2$

$(1+x)^{k+1} \ge 1 + (k+1)x + kx^2$

Поскольку $k \ge 1$ и $x^2 \ge 0$, то $kx^2 \ge 0$. Отсюда следует, что $1 + (k+1)x + kx^2 \ge 1 + (k+1)x$.

Объединяя два последних неравенства, получаем: $(1+x)^{k+1} \ge 1 + (k+1)x$.

Шаг индукции доказан. Согласно принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n \ge 1$.

Ответ: Неравенство доказано.

6. Использование свойств функций (метод производной)

Если неравенство можно представить в виде $f(x) \ge g(x)$, то можно рассмотреть вспомогательную функцию $h(x) = f(x) - g(x)$ и исследовать ее на монотонность и экстремумы с помощью производной. Если удастся показать, что наименьшее значение функции $h(x)$ на заданной области неотрицательно, то неравенство будет доказано.

Пример: Доказать, что для любого $x \ge 0$ выполняется неравенство $e^x \ge 1+x$.

Решение: Рассмотрим функцию $f(x) = e^x - (1+x)$. Нам нужно доказать, что $f(x) \ge 0$ при $x \ge 0$.

Найдем производную этой функции: $f'(x) = (e^x - 1 - x)' = e^x - 1$.

При $x > 0$ имеем $e^x > e^0 = 1$, следовательно, $f'(x) = e^x - 1 > 0$.

Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на промежутке $(0, +\infty)$.

Найдем значение функции в точке $x=0$: $f(0) = e^0 - (1+0) = 1-1=0$.

Поскольку в точке $x=0$ функция равна нулю, а при $x > 0$ она возрастает, то для всех $x > 0$ будет выполняться $f(x) > f(0)$, то есть $f(x) > 0$.

Объединяя случай $x=0$ ($f(0)=0$) и $x > 0$ ($f(x)>0$), получаем, что $f(x) \ge 0$ для всех $x \ge 0$. Таким образом, $e^x - (1+x) \ge 0$, или $e^x \ge 1+x$.

Ответ: Неравенство доказано.

7. Геометрический метод

Данный метод предполагает интерпретацию алгебраического неравенства в виде некоторого геометрического факта (например, неравенства треугольника, сравнения длин, площадей, объемов).

Пример: Доказать неравенство треугольника для векторов на плоскости: $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$.

Решение: Представим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в виде направленных отрезков. Отложим вектор $\vec{b}$ от конца вектора $\vec{a}$. Тогда по правилу сложения векторов, вектор-сумма $\vec{a} + \vec{b}$ будет являться вектором, соединяющим начало вектора $\vec{a}$ и конец вектора $\vec{b}$.

В результате мы получаем треугольник, сторонами которого являются векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$. Длины этих сторон равны, соответственно, $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ и $|\vec{a} + \vec{b}|$.

Из геометрии известно, что длина любой стороны треугольника не может превышать сумму длин двух других его сторон. Применительно к нашему случаю это означает:

$|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Равенство достигается в том случае, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и сонаправлены (то есть "треугольник" вырождается в отрезок).

Ответ: Неравенство доказано.

18. Какое неравенство называется рациональным? Как применяют метод интервалов?

Какое неравенство называется рациональным?
Рациональным неравенством называется неравенство вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$, где $f(x)$ — рациональная функция, то есть отношение двух многочленов: $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены. Важно отметить, что многочлен $Q(x)$ в знаменателе не должен быть равен нулю.
Частным случаем рационального неравенства является целое рациональное неравенство (или полиномиальное неравенство), когда знаменатель $Q(x)$ является константой, отличной от нуля (обычно $Q(x) = 1$). В этом случае неравенство принимает вид $P(x) > 0$ (или $<, \ge, \le$).
Примеры рациональных неравенств:
1. $\frac{x^2 - 4}{x + 5} \le 0$
2. $\frac{(x-1)^2(x+3)}{x(x-2)} > 0$
3. $x^3 - 2x^2 - 3x < 0$ (это целое рациональное неравенство)
Ответ: Неравенство вида $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$ (или $<, \ge, \le$), где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены, называется рациональным.

Как применяют метод интервалов?
Метод интервалов — это стандартный способ решения рациональных неравенств. Он основан на свойстве непрерывности рациональной функции: функция может менять свой знак только в точках, где она равна нулю или не существует (терпит разрыв). Алгоритм применения метода интервалов следующий:
1. Приведение к стандартному виду. Все члены неравенства переносятся в левую часть, чтобы справа остался ноль. Все слагаемые в левой части приводятся к общему знаменателю, в результате чего неравенство принимает вид $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$ (или $<, \ge, \le$).
2. Нахождение нулей и точек разрыва. Находятся все корни числителя (решается уравнение $P(x) = 0$) и все корни знаменателя (решается уравнение $Q(x) = 0$). Эти значения называются критическими точками.
3. Нанесение точек на числовую ось. Все найденные критические точки наносятся на числовую ось в порядке возрастания.
• Если неравенство строгое ($>$ или $<$), все точки на оси изображаются «выколотыми» (пустыми кружками).
• Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), нули числителя изображаются «закрашенными» (сплошными точками), так как они входят в решение. Нули знаменателя всегда изображаются «выколотыми», так как знаменатель не может быть равен нулю.
4. Определение знаков на интервалах. Критические точки разбивают числовую ось на интервалы. В каждом из этих интервалов знак выражения $\frac{P(x)}{Q(x)}$ постоянен. Чтобы определить этот знак, можно:
• Взять любую «пробную» точку из каждого интервала и подставить ее в выражение, определив его знак.
• Определить знак на крайнем правом интервале (при $x \to +\infty$). Обычно, если старшие коэффициенты многочленов положительны, знак будет «+». Затем, двигаясь справа налево, знаки на интервалах чередуются при переходе через корень нечетной кратности и сохраняются при переходе через корень четной кратности. Корень имеет кратность $k$, если соответствующий множитель имеет вид $(x-a)^k$.
5. Выбор нужных интервалов и запись ответа. В зависимости от знака неравенства ($>, <, \ge, \le$) выбираются интервалы со знаком «+» или «-». Объединение этих интервалов и является решением неравенства. В ответ также включаются «закрашенные» точки.
Пример: Решить неравенство $\frac{x-1}{x+2} \ge 0$.
1. Неравенство уже в стандартном виде.
2. Нуль числителя: $x-1=0 \implies x=1$. Нуль знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$.
3. Наносим точки на ось. $x=1$ — закрашенная (неравенство нестрогое), $x=-2$ — выколотая (нуль знаменателя).
4. Получаем интервалы $(-\infty; -2)$, $(-2; 1]$, $[1; +\infty)$. Определяем знаки. Возьмем пробную точку $x=2$ из правого интервала: $\frac{2-1}{2+2} = \frac{1}{4} > 0$. Значит, на $[1; +\infty)$ знак «+». Корни $x=1$ и $x=-2$ имеют кратность 1 (нечетную), поэтому знаки чередуются.

5. Нам нужно, чтобы выражение было $\ge 0$, то есть выбираем интервалы со знаком «+». Это $(-\infty; -2) \cup [1; +\infty)$.
Ответ: Метод интервалов — это алгоритм для решения рациональных неравенств, который включает приведение неравенства к стандартному виду, нахождение нулей числителя и знаменателя, нанесение их на числовую ось, определение знаков функции на получившихся интервалах и выбор интервалов, удовлетворяющих неравенству.