Страница 8 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.9. Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенствам:

1) $6x-x^2>0;$

2) $3x+x^2>0;$

3) $x^2-4\le0;$

4) $5-x^2>0.$

1) Чтобы решить неравенство $6x - x^2 > 0$, сначала найдем корни соответствующего уравнения $6x - x^2 = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(6 - x) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.
Данное неравенство представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, значения функции будут больше нуля между корнями. Таким образом, решение неравенства — это интервал $(0, 6)$.
Целые числа, принадлежащие этому интервалу: 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

2) Решим неравенство $3x + x^2 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 3x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 3) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.
Это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положительный). Значения функции будут больше или равны нулю на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[0, +\infty)$.
Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это все целые числа, которые меньше или равны -3, а также все целые числа, которые больше или равны 0.
Ответ: все целые числа $x \le -3$ и $x \ge 0$ (например, ..., -5, -4, -3, 0, 1, 2, ...).

3) Решим неравенство $x^2 - 4 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4 = 0$. Это разность квадратов: $(x-2)(x+2) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции будут меньше или равны нулю между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение неравенства — это отрезок $[-2, 2]$.
Целые числа, принадлежащие этому отрезку: -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

4) Решим неравенство $5 - x^2 > 0$. Перепишем его в виде $x^2 < 5$.
Решением этого неравенства является интервал $(-\sqrt{5}, \sqrt{5})$.
Так как $2^2=4$ и $3^2=9$, то $\sqrt{5}$ находится между 2 и 3 (примерно $\sqrt{5} \approx 2.24$). Следовательно, мы ищем целые числа в интервале $(-2.24, 2.24)$.
Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

0.10. Найдите множество решений неравенств:

1) $3x^2+40x+10 < -x^2+11x+3;$

2) $9x^2-x+9 \ge 3x^2+18x-6;$

3) $2x^2+8x-111 < (3x-5)(2x+6);$

4) $(5x+1)(3x-1) > (4x-1)(x+2);$

5) $2x(3x-1) > 4x^2+5x+9;$

6) $(5x+7)(x-2) < 21x^2-11x-13.$

1) $3x^2+40x+10 < -x^2+11x+3$
Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$3x^2+x^2+40x-11x+10-3 < 0$
$4x^2+29x+7 < 0$
Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $4x^2+29x+7=0$, чтобы найти его корни.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 841 - 112 = 729$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 \pm \sqrt{729}}{2 \cdot 4} = \frac{-29 \pm 27}{8}$.
$x_1 = \frac{-29 - 27}{8} = \frac{-56}{8} = -7$.
$x_2 = \frac{-29 + 27}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Графиком функции $y=4x^2+29x+7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($4 > 0$). Неравенство $4x^2+29x+7 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, решением неравенства является интервал $(-7; -1/4)$.
Ответ: $x \in (-7; -1/4)$.

2) $9x^2-x+9 \ge 3x^2+18x-6$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$9x^2-3x^2-x-18x+9+6 \ge 0$
$6x^2-19x+15 \ge 0$
Найдем корни уравнения $6x^2-19x+15=0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 15 = 361 - 360 = 1$.
Корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{19 \pm 1}{12}$.
$x_1 = \frac{19 - 1}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.
$x_2 = \frac{19 + 1}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$.
Парабола $y=6x^2-19x+15$ имеет ветви, направленные вверх ($6 > 0$). Неравенство $6x^2-19x+15 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями, включая сами корни.
Поскольку $\frac{3}{2} < \frac{5}{3}$, решением является объединение двух промежутков.
Ответ: $x \in (-\infty; 3/2] \cup [5/3; +\infty)$.

3) $2x^2+8x-111 < (3x-5)(2x+6)$
Раскроем скобки в правой части неравенства:
$(3x-5)(2x+6) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 6 - 5 \cdot 2x - 5 \cdot 6 = 6x^2+18x-10x-30 = 6x^2+8x-30$.
Подставим это выражение в исходное неравенство:
$2x^2+8x-111 < 6x^2+8x-30$
Перенесем все слагаемые в правую часть:
$0 < 6x^2-2x^2+8x-8x-30+111$
$0 < 4x^2+81$
$4x^2+81 > 0$
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.
Следовательно, $4x^2 \ge 0$, и $4x^2+81 \ge 81$.
Так как $81 > 0$, неравенство $4x^2+81 > 0$ справедливо для любого действительного значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) $(5x+1)(3x-1) > (4x-1)(x+2)$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
Левая часть: $(5x+1)(3x-1) = 15x^2-5x+3x-1 = 15x^2-2x-1$.
Правая часть: $(4x-1)(x+2) = 4x^2+8x-x-2 = 4x^2+7x-2$.
Неравенство принимает вид:
$15x^2-2x-1 > 4x^2+7x-2$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$15x^2-4x^2-2x-7x-1+2 > 0$
$11x^2-9x+1 > 0$
Найдем корни уравнения $11x^2-9x+1=0$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 1 = 81 - 44 = 37$.
$x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{37}}{22}$.
$x_1 = \frac{9 - \sqrt{37}}{22}$, $x_2 = \frac{9 + \sqrt{37}}{22}$.
Ветви параболы $y=11x^2-9x+1$ направлены вверх ($11 > 0$), поэтому квадратный трехчлен положителен вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{9 - \sqrt{37}}{22}) \cup (\frac{9 + \sqrt{37}}{22}; +\infty)$.

5) $2x(3x-1) > 4x^2+5x+9$
Раскроем скобки в левой части:
$6x^2-2x > 4x^2+5x+9$
Перенесем все слагаемые влево:
$6x^2-4x^2-2x-5x-9 > 0$
$2x^2-7x-9 > 0$
Найдем корни уравнения $2x^2-7x-9=0$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
$x_{1,2} = \frac{7 \pm 11}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 11}{4}$.
$x_1 = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
$x_2 = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$.
Ветви параболы $y=2x^2-7x-9$ направлены вверх ($2 > 0$), поэтому неравенство $2x^2-7x-9 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (9/2; +\infty)$.

6) $(5x+7)(x-2) < 21x^2-11x-13$
Раскроем скобки слева:
$5x^2-10x+7x-14 < 21x^2-11x-13$
$5x^2-3x-14 < 21x^2-11x-13$
Перенесем все слагаемые в правую часть для удобства:
$0 < 21x^2-5x^2-11x+3x-13+14$
$0 < 16x^2-8x+1$
Запишем неравенство в виде $16x^2-8x+1 > 0$.
Заметим, что левая часть является полным квадратом: $16x^2-8x+1 = (4x-1)^2$.
Неравенство принимает вид $(4x-1)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, всегда положителен. Выражение $(4x-1)^2$ равно нулю только при $4x-1=0$, то есть при $x=1/4$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=1/4$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1/4) \cup (1/4; +\infty)$.

0.11. Постройте график функции. Определите вершину и ось параболы.

1) $y=3(x-5)^2-2;$

2) $y=2x^2-1;$

3) $y=-2(x+1)^2+3;$

4) $y=(x-5)^2.$

1) $y=3(x-5)^2-2$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Уравнение представлено в виде $y=a(x-h)^2+k$, где $(h; k)$ — координаты вершины параболы.

В данном случае, $a=3$, $h=5$, $k=-2$.

Поскольку $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(5; -2)$.

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, ее уравнение $x=h$, то есть $x=5$.

Для построения графика найдем несколько дополнительных точек, симметричных относительно оси $x=5$:

Если $x=4$, то $y = 3(4-5)^2-2 = 3(-1)^2-2 = 3-2=1$. Точка $(4; 1)$.

Если $x=6$, то $y = 3(6-5)^2-2 = 3(1)^2-2 = 3-2=1$. Точка $(6; 1)$.

Если $x=3$, то $y = 3(3-5)^2-2 = 3(-2)^2-2 = 12-2=10$. Точка $(3; 10)$.

Если $x=7$, то $y = 3(7-5)^2-2 = 3(2)^2-2 = 12-2=10$. Точка $(7; 10)$.

Построим график по найденным точкам.

Ответ: Вершина параболы в точке $(5; -2)$, ось симметрии — прямая $x=5$.

2) $y=2x^2-1$

Это также уравнение параболы. Его можно представить в виде $y=a(x-h)^2+k$ как $y=2(x-0)^2-1$.

Здесь $a=2$, $h=0$, $k=-1$.

Поскольку $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(0; -1)$.

Ось симметрии параболы — это прямая $x=h$, то есть $x=0$. Это совпадает с осью ординат (осью OY).

Для построения графика найдем несколько дополнительных точек:

Если $x=1$, то $y = 2(1)^2-1 = 2-1=1$. Точка $(1; 1)$.

В силу симметрии относительно оси $x=0$, при $x=-1$ также будет $y=1$. Точка $(-1; 1)$.

Если $x=2$, то $y = 2(2)^2-1 = 8-1=7$. Точка $(2; 7)$.

Соответственно, при $x=-2$ также будет $y=7$. Точка $(-2; 7)$.

Построим график по найденным точкам.

Ответ: Вершина параболы в точке $(0; -1)$, ось симметрии — прямая $x=0$ (ось OY).

3) $y=-2(x+1)^2+3$

Уравнение параболы можно переписать в стандартном виде $y=a(x-h)^2+k$ как $y=-2(x-(-1))^2+3$.

Здесь $a=-2$, $h=-1$, $k=3$.

Поскольку $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(-1; 3)$.

Ось симметрии параболы — это прямая $x=h$, то есть $x=-1$.

Для построения графика найдем несколько дополнительных точек:

Если $x=0$, то $y = -2(0+1)^2+3 = -2(1)+3=1$. Точка $(0; 1)$.

В силу симметрии относительно оси $x=-1$, при $x=-2$ также будет $y=1$. Точка $(-2; 1)$.

Если $x=1$, то $y = -2(1+1)^2+3 = -2(4)+3=-5$. Точка $(1; -5)$.

Соответственно, при $x=-3$ также будет $y=-5$. Точка $(-3; -5)$.

Построим график по найденным точкам.

Ответ: Вершина параболы в точке $(-1; 3)$, ось симметрии — прямая $x=-1$.

4) $y=(x-5)^2$

Уравнение параболы можно представить в виде $y=a(x-h)^2+k$ как $y=1(x-5)^2+0$.

Здесь $a=1$, $h=5$, $k=0$.

Поскольку $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(5; 0)$.

Ось симметрии параболы — это прямая $x=h$, то есть $x=5$.

Для построения графика найдем несколько дополнительных точек:

Если $x=4$, то $y = (4-5)^2 = (-1)^2=1$. Точка $(4; 1)$.

В силу симметрии относительно оси $x=5$, при $x=6$ также будет $y=1$. Точка $(6; 1)$.

Если $x=3$, то $y = (3-5)^2 = (-2)^2=4$. Точка $(3; 4)$.

Соответственно, при $x=7$ также будет $y=4$. Точка $(7; 4)$.

Построим график по найденным точкам.

Ответ: Вершина параболы в точке $(5; 0)$, ось симметрии — прямая $x=5$.

0.12. Разложите квадратные трехчлены на множители:

1) $x^2-16x+48$;

2) $x^2-x-12;

3) $x^2+5x-14;

4) $x^2+6x-16;

5) $x^2+12x+27;

6) $2x^2-5x+2.

1) Чтобы разложить квадратный трехчлен $x^2 - 16x + 48$ на множители, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 16x + 48 = 0$. Разложение будет иметь вид $(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

Воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае $p = -16$ и $q = 48$. Значит, $x_1 + x_2 = 16$ и $x_1 \cdot x_2 = 48$.

Подбором находим, что корнями являются числа 4 и 12, так как $4 + 12 = 16$ и $4 \cdot 12 = 48$.

Следовательно, разложение на множители: $(x - 4)(x - 12)$.

Ответ: $(x - 4)(x - 12)$.

2) Для разложения трехчлена $x^2 - x - 12$ найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -(-1) = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -12$.

Найдем два числа, произведение которых равно -12, а сумма равна 1. Это числа 4 и -3, так как $4 \cdot (-3) = -12$ и $4 + (-3) = 1$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Разложение на множители: $(x - 4)(x - (-3)) = (x - 4)(x + 3)$.

Ответ: $(x - 4)(x + 3)$.

3) Разложим на множители $x^2 + 5x - 14$. Для этого решим уравнение $x^2 + 5x - 14 = 0$.

Найдем корни с помощью дискриминанта. Формула корней: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

В данном уравнении $a = 1$, $b = 5$, $c = -14$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Разложение на множители: $(x - 2)(x - (-7)) = (x - 2)(x + 7)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 7)$.

4) Для разложения $x^2 + 6x - 16$ найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 16 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -6$ и $x_1 \cdot x_2 = -16$.

Корнями являются числа 2 и -8, так как $2 \cdot (-8) = -16$ и $2 + (-8) = -6$.

Разложение на множители: $(x - 2)(x - (-8)) = (x - 2)(x + 8)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 8)$.

5) Разложим на множители $x^2 + 12x + 27$. Решим уравнение $x^2 + 12x + 27 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -12$ и $x_1 \cdot x_2 = 27$.

Так как сумма корней отрицательна, а произведение положительно, оба корня отрицательны. Корнями являются числа -3 и -9, поскольку $(-3) \cdot (-9) = 27$ и $(-3) + (-9) = -12$.

Разложение на множители: $(x - (-3))(x - (-9)) = (x + 3)(x + 9)$.

Ответ: $(x + 3)(x + 9)$.

6) Чтобы разложить трехчлен $2x^2 - 5x + 2$, найдем корни уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Так как старший коэффициент $a \neq 1$, формула разложения имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставляем корни и коэффициент $a=2$ в формулу разложения:

$2(x - 2)(x - \frac{1}{2})$.

Умножим второй множитель на 2, чтобы избавиться от дроби: $(x - 2) \cdot 2(x - \frac{1}{2}) = (x - 2)(2x - 1)$.

Ответ: $(x - 2)(2x - 1)$.

0.13. По заданным корням составьте квадратные уравнения:

1) 2 и 5;

2) -3 и 4;

3) -2 и -7;

4) 0,5 и 4;

5) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{2} $;

6) $ -\frac{1}{3} $ и $ -\frac{1}{9} $.

1) Чтобы составить квадратное уравнение по его известным корням $x_1$ и $x_2$, можно использовать теорему, обратную теореме Виета. Согласно этой теореме, приведенное квадратное уравнение ($a=1$) можно записать в виде $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Здесь коэффициент при $x$ равен сумме корней, взятой с противоположным знаком, а свободный член равен произведению корней.
Даны корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.
Найдем их сумму: $S = x_1 + x_2 = 2 + 5 = 7$.
Найдем их произведение: $P = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 5 = 10$.
Подставим найденные значения в формулу:
$x^2 - (7)x + 10 = 0$
$x^2 - 7x + 10 = 0$.
Ответ: $x^2 - 7x + 10 = 0$

2) Даны корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$.
Воспользуемся формулой $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
Найдем сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -3 + 4 = 1$.
Найдем произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = -3 \cdot 4 = -12$.
Подставим значения в формулу:
$x^2 - (1)x + (-12) = 0$
$x^2 - x - 12 = 0$.
Ответ: $x^2 - x - 12 = 0$

3) Даны корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -7$.
Воспользуемся формулой $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
Найдем сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -2 + (-7) = -9$.
Найдем произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot (-7) = 14$.
Подставим значения в формулу:
$x^2 - (-9)x + 14 = 0$
$x^2 + 9x + 14 = 0$.
Ответ: $x^2 + 9x + 14 = 0$

4) Даны корни: $x_1 = 0,5$ и $x_2 = 4$.
Воспользуемся формулой $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
Найдем сумму корней: $S = x_1 + x_2 = 0,5 + 4 = 4,5$.
Найдем произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = 0,5 \cdot 4 = 2$.
Подставим значения в формулу, получив приведенное уравнение:
$x^2 - 4,5x + 2 = 0$.
Для удобства, можно избавиться от дробного коэффициента, умножив обе части уравнения на 2:
$2 \cdot (x^2 - 4,5x + 2) = 2 \cdot 0$
$2x^2 - 9x + 4 = 0$.
Ответ: $2x^2 - 9x + 4 = 0$

5) Даны корни: $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{3}{2}$.
Воспользуемся формулой $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
Найдем сумму корней: $S = x_1 + x_2 = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6}$.
Найдем произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$.
Подставим значения в формулу:
$x^2 - \frac{13}{6}x + 1 = 0$.
Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части на 6:
$6 \cdot (x^2 - \frac{13}{6}x + 1) = 6 \cdot 0$
$6x^2 - 13x + 6 = 0$.
Ответ: $6x^2 - 13x + 6 = 0$

6) Даны корни: $x_1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{9}$.
Воспользуемся формулой $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
Найдем сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -\frac{1}{3} + (-\frac{1}{9}) = -\frac{3}{9} - \frac{1}{9} = -\frac{4}{9}$.
Найдем произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{9}) = \frac{1}{27}$.
Подставим значения в формулу:
$x^2 - (-\frac{4}{9})x + \frac{1}{27} = 0$
$x^2 + \frac{4}{9}x + \frac{1}{27} = 0$.
Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (9 и 27), то есть на 27:
$27 \cdot (x^2 + \frac{4}{9}x + \frac{1}{27}) = 27 \cdot 0$
$27x^2 + 27 \cdot \frac{4}{9}x + 27 \cdot \frac{1}{27} = 0$
$27x^2 + 12x + 1 = 0$.
Ответ: $27x^2 + 12x + 1 = 0$

0.14. Вычислите:

1) $6 - \left(3\sqrt{\frac{4}{9}} + \sqrt{0,25}\right);$

2) $11 : \left(0,15\sqrt{1600} - 0,29\sqrt{400}\right);$

3) $\frac{\sqrt{225} + 3\sqrt{121}}{\frac{2}{3}\sqrt{0,09} + 0,78\sqrt{100}};$

4) $\left(\frac{\sqrt{324}}{2} \cdot \frac{\sqrt{0,16}}{0,2} - 6\sqrt{\frac{1}{4}}\right) : \sqrt{25}.$

1) $6 - (3\sqrt{\frac{4}{9}} + \sqrt{0,25})$
Решим выражение по действиям. Сначала вычислим значение в скобках.
1. Найдем значения квадратных корней: $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$ и $\sqrt{0,25} = 0,5$.
2. Подставим значения в выражение в скобках и вычислим его: $3 \cdot \frac{2}{3} + 0,5 = 2 + 0,5 = 2,5$.
3. Выполним вычитание: $6 - 2,5 = 3,5$.
Ответ: $3,5$.

2) $11 : (0,15\sqrt{1600} - 0,29\sqrt{400})$
Решим выражение по действиям. Сначала вычислим значение в скобках.
1. Найдем значения квадратных корней: $\sqrt{1600} = \sqrt{16 \cdot 100} = 4 \cdot 10 = 40$ и $\sqrt{400} = \sqrt{4 \cdot 100} = 2 \cdot 10 = 20$.
2. Подставим значения в скобки: $0,15 \cdot 40 - 0,29 \cdot 20 = 6 - 5,8 = 0,2$.
3. Выполним деление: $11 : 0,2 = 110 : 2 = 55$.
Ответ: $55$.

3) $\frac{\sqrt{225} + 3\sqrt{121}}{\frac{2}{3}\sqrt{0,09} + 0,78\sqrt{100}}$
Сначала вычислим значение числителя, а затем знаменателя.
1. Числитель: $\sqrt{225} + 3\sqrt{121} = 15 + 3 \cdot 11 = 15 + 33 = 48$.
2. Знаменатель: $\frac{2}{3}\sqrt{0,09} + 0,78\sqrt{100} = \frac{2}{3} \cdot 0,3 + 0,78 \cdot 10 = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{10} + 7,8 = \frac{2}{10} + 7,8 = 0,2 + 7,8 = 8$.
3. Найдем значение дроби: $\frac{48}{8} = 6$.
Ответ: $6$.

4) $(\frac{\sqrt{324}}{2} \cdot \frac{\sqrt{0,16}}{0,2} - 6\sqrt{\frac{1}{4}}) : \sqrt{25}$
Решим выражение по действиям.
1. Вычислим значение выражения в скобках. Для этого найдем значения корней: $\sqrt{324}=18$, $\sqrt{0,16}=0,4$, $\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}=0,5$.
Подставим значения: $(\frac{18}{2} \cdot \frac{0,4}{0,2} - 6 \cdot 0,5) = (9 \cdot 2 - 3) = 18 - 3 = 15$.
2. Найдем значение делителя: $\sqrt{25} = 5$.
3. Выполним деление: $15 : 5 = 3$.
Ответ: $3$.

0.15. Найдите область определения выражений:

1) $\sqrt{x-3};$

2) $\sqrt{x+3};$

3) $\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x-1};$

4) $\frac{1}{\sqrt{x-3}};$

5) $\sqrt{x^2-9};$

6) $\sqrt{|x|-3}.$

1) Область определения выражения $\sqrt{x-3}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это значит, что выражение имеет смысл только при тех значениях $x$, для которых выполняется неравенство:
$x - 3 \ge 0$
Перенося -3 в правую часть неравенства, получаем:
$x \ge 3$
Таким образом, область определения — это числовой промежуток, включающий все числа, большие или равные 3.
Ответ: $[3; +\infty)$.

2) Для выражения $\sqrt{x+3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Составим и решим соответствующее неравенство:
$x + 3 \ge 0$
$x \ge -3$
Область определения — это все числа, большие или равные -3.
Ответ: $[-3; +\infty)$.

3) Выражение $\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x-1}$ представляет собой сумму двух квадратных корней. Чтобы все выражение имело смысл, должны иметь смысл оба слагаемых. Это означает, что подкоренные выражения у обоих корней должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} 2x + 3 \ge 0 \\ 4x - 1 \ge 0 \end{cases}$
Решим каждое неравенство по отдельности:
1) $2x + 3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$
2) $4x - 1 \ge 0 \implies 4x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{4}$ или $x \ge 0.25$
Областью определения будет пересечение решений этих двух неравенств. На числовой прямой нужно найти значения $x$, которые одновременно больше или равны -1.5 и больше или равны 0.25. Более строгим условием является $x \ge 0.25$.
Ответ: $[0.25; +\infty)$.

4) В выражении $\frac{1}{\sqrt{x-3}}$ переменная находится в знаменателе под знаком корня. Это накладывает два ограничения:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-3 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x-3} \ne 0$.
Объединение этих двух условий дает одно строгое неравенство: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
$x - 3 > 0$
$x > 3$
Область определения — это все числа, строго большие 3.
Ответ: $(3; +\infty)$.

5) Для нахождения области определения выражения $\sqrt{x^2 - 9}$ требуется, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.
$x^2 - 9 \ge 0$
Это квадратичное неравенство. Разложим его левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(x-3)(x+3) \ge 0$
Для решения используем метод интервалов. Корни уравнения $(x-3)(x+3) = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3]$, $[-3; 3]$ и $[3; +\infty)$. Определим знак произведения $(x-3)(x+3)$ на каждом из них:
- Если $x \le -3$ (например, $x=-4$), то $(-4-3)(-4+3) = (-7)(-1) = 7 \ge 0$. Интервал подходит.
- Если $-3 \le x \le 3$ (например, $x=0$), то $(0-3)(0+3) = -9 < 0$. Интервал не подходит.
- Если $x \ge 3$ (например, $x=4$), то $(4-3)(4+3) = (1)(7) = 7 \ge 0$. Интервал подходит.
Область определения является объединением двух промежутков.
Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

6) В выражении $\sqrt{|x|-3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$|x| - 3 \ge 0$
Перенесем -3 в правую часть:
$|x| \ge 3$
Это неравенство с модулем равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 3$ или $x \le -3$. Это означает, что подходят все числа, которые по модулю больше или равны 3.
Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

0.16. Сравните числа:

1) $\sqrt{14}$ и $\sqrt{6} + \sqrt{8}$;

2) $7 - \sqrt{2}$ и $5 + \sqrt{2}$;

3) $\sqrt{15} - 2$ и $\sqrt{3} + 2$;

4) $\sqrt{10}$ и $\sqrt{20} - \sqrt{5}$.

1) Для сравнения чисел $\sqrt{14}$ и $\sqrt{6} + \sqrt{8}$ возведем оба выражения в квадрат, поскольку оба они положительны. Знак неравенства при этом сохранится.
Квадрат первого числа: $(\sqrt{14})^2 = 14$.
Квадрат второго числа: $(\sqrt{6} + \sqrt{8})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{8} + (\sqrt{8})^2 = 6 + 2\sqrt{48} + 8 = 14 + 2\sqrt{48}$.
Теперь сравним полученные результаты: $14$ и $14 + 2\sqrt{48}$.
Так как $\sqrt{48} > 0$, то $2\sqrt{48} > 0$. Следовательно, $14 < 14 + 2\sqrt{48}$.
Поскольку квадрат второго числа больше квадрата первого, то и само второе число больше первого.
Ответ: $\sqrt{14} < \sqrt{6} + \sqrt{8}$.

2) Сравним числа $7 - \sqrt{2}$ и $5 + \sqrt{2}$. Для этого преобразуем предполагаемое неравенство. Перенесем числа без корня в левую часть, а числа с корнем — в правую.
$7 - 5 \quad ? \quad \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$2 \quad ? \quad 2\sqrt{2}$
Разделим обе части на 2:
$1 \quad ? \quad \sqrt{2}$
Так как $1^2 = 1$, а $(\sqrt{2})^2 = 2$, и $1 < 2$, то $1 < \sqrt{2}$.
Значит, левая часть была меньше правой.
Ответ: $7 - \sqrt{2} < 5 + \sqrt{2}$.

3) Сравним числа $\sqrt{15} - 2$ и $\sqrt{3} + 2$. Перенесем целые числа в правую часть:
$\sqrt{15} \quad ? \quad \sqrt{3} + 2 + 2$
$\sqrt{15} \quad ? \quad \sqrt{3} + 4$
Обе части неравенства положительны ($\sqrt{15} \approx 3.87$, а $\sqrt{3} + 4 \approx 1.73 + 4 = 5.73$), поэтому мы можем возвести их в квадрат.
$(\sqrt{15})^2 \quad ? \quad (\sqrt{3} + 4)^2$
$15 \quad ? \quad (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + 4^2$
$15 \quad ? \quad 3 + 8\sqrt{3} + 16$
$15 \quad ? \quad 19 + 8\sqrt{3}$
Выражение $19 + 8\sqrt{3}$ очевидно больше, чем 19, а 19 в свою очередь больше 15.
Следовательно, $15 < 19 + 8\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{15} - 2 < \sqrt{3} + 2$.

4) Сравним числа $\sqrt{10}$ и $\sqrt{20} - \sqrt{5}$. Сначала упростим второе выражение. Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Теперь выражение принимает вид:
$2\sqrt{5} - \sqrt{5} = (2-1)\sqrt{5} = \sqrt{5}$.
Задача сводится к сравнению чисел $\sqrt{10}$ и $\sqrt{5}$.
Поскольку подкоренные выражения положительны, и $10 > 5$, то $\sqrt{10} > \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{10} > \sqrt{20} - \sqrt{5}$.