Номер 0.11, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.11. Постройте график функции. Определите вершину и ось параболы.

1) $y=3(x-5)^2-2;$

2) $y=2x^2-1;$

3) $y=-2(x+1)^2+3;$

4) $y=(x-5)^2.$

1) $y=3(x-5)^2-2$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Уравнение представлено в виде $y=a(x-h)^2+k$, где $(h; k)$ — координаты вершины параболы.

В данном случае, $a=3$, $h=5$, $k=-2$.

Поскольку $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(5; -2)$.

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, ее уравнение $x=h$, то есть $x=5$.

Для построения графика найдем несколько дополнительных точек, симметричных относительно оси $x=5$:

Если $x=4$, то $y = 3(4-5)^2-2 = 3(-1)^2-2 = 3-2=1$. Точка $(4; 1)$.

Если $x=6$, то $y = 3(6-5)^2-2 = 3(1)^2-2 = 3-2=1$. Точка $(6; 1)$.

Если $x=3$, то $y = 3(3-5)^2-2 = 3(-2)^2-2 = 12-2=10$. Точка $(3; 10)$.

Если $x=7$, то $y = 3(7-5)^2-2 = 3(2)^2-2 = 12-2=10$. Точка $(7; 10)$.

Построим график по найденным точкам.

Ответ: Вершина параболы в точке $(5; -2)$, ось симметрии — прямая $x=5$.

2) $y=2x^2-1$

Это также уравнение параболы. Его можно представить в виде $y=a(x-h)^2+k$ как $y=2(x-0)^2-1$.

Здесь $a=2$, $h=0$, $k=-1$.

Поскольку $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(0; -1)$.

Ось симметрии параболы — это прямая $x=h$, то есть $x=0$. Это совпадает с осью ординат (осью OY).

Для построения графика найдем несколько дополнительных точек:

Если $x=1$, то $y = 2(1)^2-1 = 2-1=1$. Точка $(1; 1)$.

В силу симметрии относительно оси $x=0$, при $x=-1$ также будет $y=1$. Точка $(-1; 1)$.

Если $x=2$, то $y = 2(2)^2-1 = 8-1=7$. Точка $(2; 7)$.

Соответственно, при $x=-2$ также будет $y=7$. Точка $(-2; 7)$.

Построим график по найденным точкам.

Ответ: Вершина параболы в точке $(0; -1)$, ось симметрии — прямая $x=0$ (ось OY).

3) $y=-2(x+1)^2+3$

Уравнение параболы можно переписать в стандартном виде $y=a(x-h)^2+k$ как $y=-2(x-(-1))^2+3$.

Здесь $a=-2$, $h=-1$, $k=3$.

Поскольку $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(-1; 3)$.

Ось симметрии параболы — это прямая $x=h$, то есть $x=-1$.

Для построения графика найдем несколько дополнительных точек:

Если $x=0$, то $y = -2(0+1)^2+3 = -2(1)+3=1$. Точка $(0; 1)$.

В силу симметрии относительно оси $x=-1$, при $x=-2$ также будет $y=1$. Точка $(-2; 1)$.

Если $x=1$, то $y = -2(1+1)^2+3 = -2(4)+3=-5$. Точка $(1; -5)$.

Соответственно, при $x=-3$ также будет $y=-5$. Точка $(-3; -5)$.

Построим график по найденным точкам.

Ответ: Вершина параболы в точке $(-1; 3)$, ось симметрии — прямая $x=-1$.

4) $y=(x-5)^2$

Уравнение параболы можно представить в виде $y=a(x-h)^2+k$ как $y=1(x-5)^2+0$.

Здесь $a=1$, $h=5$, $k=0$.

Поскольку $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(5; 0)$.

Ось симметрии параболы — это прямая $x=h$, то есть $x=5$.

Для построения графика найдем несколько дополнительных точек:

Если $x=4$, то $y = (4-5)^2 = (-1)^2=1$. Точка $(4; 1)$.

В силу симметрии относительно оси $x=5$, при $x=6$ также будет $y=1$. Точка $(6; 1)$.

Если $x=3$, то $y = (3-5)^2 = (-2)^2=4$. Точка $(3; 4)$.

Соответственно, при $x=7$ также будет $y=4$. Точка $(7; 4)$.

Построим график по найденным точкам.

Ответ: Вершина параболы в точке $(5; 0)$, ось симметрии — прямая $x=5$.