Номер 0.16, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.16. Сравните числа:

1) $\sqrt{14}$ и $\sqrt{6} + \sqrt{8}$;

2) $7 - \sqrt{2}$ и $5 + \sqrt{2}$;

3) $\sqrt{15} - 2$ и $\sqrt{3} + 2$;

4) $\sqrt{10}$ и $\sqrt{20} - \sqrt{5}$.

1) Для сравнения чисел $\sqrt{14}$ и $\sqrt{6} + \sqrt{8}$ возведем оба выражения в квадрат, поскольку оба они положительны. Знак неравенства при этом сохранится.
Квадрат первого числа: $(\sqrt{14})^2 = 14$.
Квадрат второго числа: $(\sqrt{6} + \sqrt{8})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{8} + (\sqrt{8})^2 = 6 + 2\sqrt{48} + 8 = 14 + 2\sqrt{48}$.
Теперь сравним полученные результаты: $14$ и $14 + 2\sqrt{48}$.
Так как $\sqrt{48} > 0$, то $2\sqrt{48} > 0$. Следовательно, $14 < 14 + 2\sqrt{48}$.
Поскольку квадрат второго числа больше квадрата первого, то и само второе число больше первого.
Ответ: $\sqrt{14} < \sqrt{6} + \sqrt{8}$.

2) Сравним числа $7 - \sqrt{2}$ и $5 + \sqrt{2}$. Для этого преобразуем предполагаемое неравенство. Перенесем числа без корня в левую часть, а числа с корнем — в правую.
$7 - 5 \quad ? \quad \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$2 \quad ? \quad 2\sqrt{2}$
Разделим обе части на 2:
$1 \quad ? \quad \sqrt{2}$
Так как $1^2 = 1$, а $(\sqrt{2})^2 = 2$, и $1 < 2$, то $1 < \sqrt{2}$.
Значит, левая часть была меньше правой.
Ответ: $7 - \sqrt{2} < 5 + \sqrt{2}$.

3) Сравним числа $\sqrt{15} - 2$ и $\sqrt{3} + 2$. Перенесем целые числа в правую часть:
$\sqrt{15} \quad ? \quad \sqrt{3} + 2 + 2$
$\sqrt{15} \quad ? \quad \sqrt{3} + 4$
Обе части неравенства положительны ($\sqrt{15} \approx 3.87$, а $\sqrt{3} + 4 \approx 1.73 + 4 = 5.73$), поэтому мы можем возвести их в квадрат.
$(\sqrt{15})^2 \quad ? \quad (\sqrt{3} + 4)^2$
$15 \quad ? \quad (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + 4^2$
$15 \quad ? \quad 3 + 8\sqrt{3} + 16$
$15 \quad ? \quad 19 + 8\sqrt{3}$
Выражение $19 + 8\sqrt{3}$ очевидно больше, чем 19, а 19 в свою очередь больше 15.
Следовательно, $15 < 19 + 8\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{15} - 2 < \sqrt{3} + 2$.

4) Сравним числа $\sqrt{10}$ и $\sqrt{20} - \sqrt{5}$. Сначала упростим второе выражение. Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Теперь выражение принимает вид:
$2\sqrt{5} - \sqrt{5} = (2-1)\sqrt{5} = \sqrt{5}$.
Задача сводится к сравнению чисел $\sqrt{10}$ и $\sqrt{5}$.
Поскольку подкоренные выражения положительны, и $10 > 5$, то $\sqrt{10} > \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{10} > \sqrt{20} - \sqrt{5}$.