Номер 0.10, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.10. Найдите множество решений неравенств:

1) $3x^2+40x+10 < -x^2+11x+3;$

2) $9x^2-x+9 \ge 3x^2+18x-6;$

3) $2x^2+8x-111 < (3x-5)(2x+6);$

4) $(5x+1)(3x-1) > (4x-1)(x+2);$

5) $2x(3x-1) > 4x^2+5x+9;$

6) $(5x+7)(x-2) < 21x^2-11x-13.$

1) $3x^2+40x+10 < -x^2+11x+3$
Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$3x^2+x^2+40x-11x+10-3 < 0$
$4x^2+29x+7 < 0$
Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $4x^2+29x+7=0$, чтобы найти его корни.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 841 - 112 = 729$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 \pm \sqrt{729}}{2 \cdot 4} = \frac{-29 \pm 27}{8}$.
$x_1 = \frac{-29 - 27}{8} = \frac{-56}{8} = -7$.
$x_2 = \frac{-29 + 27}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Графиком функции $y=4x^2+29x+7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($4 > 0$). Неравенство $4x^2+29x+7 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, решением неравенства является интервал $(-7; -1/4)$.
Ответ: $x \in (-7; -1/4)$.

2) $9x^2-x+9 \ge 3x^2+18x-6$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$9x^2-3x^2-x-18x+9+6 \ge 0$
$6x^2-19x+15 \ge 0$
Найдем корни уравнения $6x^2-19x+15=0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 15 = 361 - 360 = 1$.
Корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{19 \pm 1}{12}$.
$x_1 = \frac{19 - 1}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.
$x_2 = \frac{19 + 1}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$.
Парабола $y=6x^2-19x+15$ имеет ветви, направленные вверх ($6 > 0$). Неравенство $6x^2-19x+15 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями, включая сами корни.
Поскольку $\frac{3}{2} < \frac{5}{3}$, решением является объединение двух промежутков.
Ответ: $x \in (-\infty; 3/2] \cup [5/3; +\infty)$.

3) $2x^2+8x-111 < (3x-5)(2x+6)$
Раскроем скобки в правой части неравенства:
$(3x-5)(2x+6) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 6 - 5 \cdot 2x - 5 \cdot 6 = 6x^2+18x-10x-30 = 6x^2+8x-30$.
Подставим это выражение в исходное неравенство:
$2x^2+8x-111 < 6x^2+8x-30$
Перенесем все слагаемые в правую часть:
$0 < 6x^2-2x^2+8x-8x-30+111$
$0 < 4x^2+81$
$4x^2+81 > 0$
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.
Следовательно, $4x^2 \ge 0$, и $4x^2+81 \ge 81$.
Так как $81 > 0$, неравенство $4x^2+81 > 0$ справедливо для любого действительного значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) $(5x+1)(3x-1) > (4x-1)(x+2)$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
Левая часть: $(5x+1)(3x-1) = 15x^2-5x+3x-1 = 15x^2-2x-1$.
Правая часть: $(4x-1)(x+2) = 4x^2+8x-x-2 = 4x^2+7x-2$.
Неравенство принимает вид:
$15x^2-2x-1 > 4x^2+7x-2$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$15x^2-4x^2-2x-7x-1+2 > 0$
$11x^2-9x+1 > 0$
Найдем корни уравнения $11x^2-9x+1=0$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 1 = 81 - 44 = 37$.
$x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{37}}{22}$.
$x_1 = \frac{9 - \sqrt{37}}{22}$, $x_2 = \frac{9 + \sqrt{37}}{22}$.
Ветви параболы $y=11x^2-9x+1$ направлены вверх ($11 > 0$), поэтому квадратный трехчлен положителен вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{9 - \sqrt{37}}{22}) \cup (\frac{9 + \sqrt{37}}{22}; +\infty)$.

5) $2x(3x-1) > 4x^2+5x+9$
Раскроем скобки в левой части:
$6x^2-2x > 4x^2+5x+9$
Перенесем все слагаемые влево:
$6x^2-4x^2-2x-5x-9 > 0$
$2x^2-7x-9 > 0$
Найдем корни уравнения $2x^2-7x-9=0$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
$x_{1,2} = \frac{7 \pm 11}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 11}{4}$.
$x_1 = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
$x_2 = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$.
Ветви параболы $y=2x^2-7x-9$ направлены вверх ($2 > 0$), поэтому неравенство $2x^2-7x-9 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (9/2; +\infty)$.

6) $(5x+7)(x-2) < 21x^2-11x-13$
Раскроем скобки слева:
$5x^2-10x+7x-14 < 21x^2-11x-13$
$5x^2-3x-14 < 21x^2-11x-13$
Перенесем все слагаемые в правую часть для удобства:
$0 < 21x^2-5x^2-11x+3x-13+14$
$0 < 16x^2-8x+1$
Запишем неравенство в виде $16x^2-8x+1 > 0$.
Заметим, что левая часть является полным квадратом: $16x^2-8x+1 = (4x-1)^2$.
Неравенство принимает вид $(4x-1)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, всегда положителен. Выражение $(4x-1)^2$ равно нулю только при $4x-1=0$, то есть при $x=1/4$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=1/4$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1/4) \cup (1/4; +\infty)$.