Номер 0.5, страница 6 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.5. Найдите корни квадратных уравнений:

1) $2x^2-5x-3=0;$

2) $3x^2-3x+1=0;$

3) $3x^2-8x+5=0;$

4) $x^2+9x-22=0;$

5) $5x^2+9x+4=0;$

6) $7x^2-11x-6=0;$

7) $36x^2-12x+1=0;$

8) $3x^2+x-2=0.$

Для решения квадратных уравнений вида $ax^2+bx+c=0$ будем использовать формулу корней через дискриминант: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

1) $2x^2-5x-3=0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=2$, $b=-5$, $c=-3$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.

Ответ: $x_1=3$, $x_2=-0.5$.

2) $3x^2-3x+1=0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=-3$, $c=1$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 - 12 = -3$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

3) $3x^2-8x+5=0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=-8$, $c=5$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) + 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) - 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: $x_1=\frac{5}{3}$, $x_2=1$.

4) $x^2+9x-22=0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=9$, $c=-22$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11$.

Ответ: $x_1=2$, $x_2=-11$.

5) $5x^2+9x+4=0$

Коэффициенты: $a=5$, $b=9$, $c=4$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0.8$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 1}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$.

Ответ: $x_1=-0.8$, $x_2=-1$.

6) $7x^2-11x-6=0$

Коэффициенты: $a=7$, $b=-11$, $c=-6$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-6) = 121 + 168 = 289$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) + 17}{2 \cdot 7} = \frac{11 + 17}{14} = \frac{28}{14} = 2$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) - 17}{2 \cdot 7} = \frac{11 - 17}{14} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7}$.

Ответ: $x_1=2$, $x_2=-\frac{3}{7}$.

7) $36x^2-12x+1=0$

Коэффициенты: $a=36$, $b=-12$, $c=1$.

Можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(6x-1)^2=0$.

Отсюда $6x-1=0$, $6x=1$, $x=\frac{1}{6}$.

Или, используя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 144 - 144 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.

$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-12)}{2 \cdot 36} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $x=\frac{1}{6}$.

8) $3x^2+x-2=0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=1$, $c=-2$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.

Ответ: $x_1=\frac{2}{3}$, $x_2=-1$.