Страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 0.49–0.51 решите уравнения.

0.49. 1) $ \frac{2x-7}{x^2-9x+14} - \frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{1}{x-1} $

2) $ \frac{2x+7}{x^2+5x-6} + \frac{3}{x^2+9x+18} = \frac{1}{x+3} $

3) $ \frac{9}{4x^2+1} - \frac{8x+29}{16x^4-1} = \frac{18x+5}{8x^3+4x^2+2x+1} $

4) $ \frac{1}{x^3+3x^2+x+3} + \frac{1}{x^4-1} = \frac{\frac{1}{6}}{x^3-3x^2-x+3} $

1)

Исходное уравнение: $\frac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} - \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{x - 1}$.
Сначала разложим знаменатели на множители. Для этого найдем корни квадратных трехчленов.
Для $x^2 - 9x + 14=0$, по теореме Виета, корни $x_1=2, x_2=7$. Значит, $x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7)$.
Для $x^2 - 3x + 2=0$, по теореме Виета, корни $x_1=1, x_2=2$. Значит, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
Подставим разложенные знаменатели в уравнение:
$\frac{2x - 7}{(x - 2)(x - 7)} - \frac{1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{1}{x - 1}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x \neq 1, x \neq 2, x \neq 7$.
Общий знаменатель для всех дробей: $(x - 1)(x - 2)(x - 7)$. Умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:
$(2x - 7)(x - 1) - 1(x - 7) = 1(x - 2)(x - 7)$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$(2x^2 - 2x - 7x + 7) - (x - 7) = (x^2 - 7x - 2x + 14)$
$2x^2 - 9x + 7 - x + 7 = x^2 - 9x + 14$
$2x^2 - 10x + 14 = x^2 - 9x + 14$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 - x^2 - 10x + 9x + 14 - 14 = 0$
$x^2 - x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 1) = 0$.
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Корень $x = 0$ удовлетворяет всем условиям ($0 \neq 1, 0 \neq 2, 0 \neq 7$). Корень $x = 1$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 1$, следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x=0$.

2)

Исходное уравнение: $\frac{2x + 7}{x^2 + 5x - 6} + \frac{3}{x^2 + 9x + 18} = \frac{1}{x + 3}$.
Разложим знаменатели на множители:
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$.
$x^2 + 9x + 18 = (x + 6)(x + 3)$.
Уравнение примет вид:
$\frac{2x + 7}{(x + 6)(x - 1)} + \frac{3}{(x + 6)(x + 3)} = \frac{1}{x + 3}$.
ОДЗ: $x \neq -6, x \neq 1, x \neq -3$.
Общий знаменатель: $(x + 6)(x - 1)(x + 3)$. Умножим обе части уравнения на него:
$(2x + 7)(x + 3) + 3(x - 1) = 1(x + 6)(x - 1)$.
Раскроем скобки:
$(2x^2 + 6x + 7x + 21) + (3x - 3) = (x^2 - x + 6x - 6)$
$2x^2 + 13x + 21 + 3x - 3 = x^2 + 5x - 6$
$2x^2 + 16x + 18 = x^2 + 5x - 6$
Перенесем все в левую часть:
$2x^2 - x^2 + 16x - 5x + 18 + 6 = 0$
$x^2 + 11x + 24 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -11, а произведение 24. Корни: $x_1 = -3, x_2 = -8$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию $x \neq -3$, значит, это посторонний корень. Корень $x = -8$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=-8$.

3)

Исходное уравнение: $\frac{9}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{16x^4 - 1} = \frac{18x + 5}{8x^3 + 4x^2 + 2x + 1}$.
Разложим знаменатели на множители:
$16x^4 - 1 = (4x^2)^2 - 1^2 = (4x^2 - 1)(4x^2 + 1) = (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)$.
$8x^3 + 4x^2 + 2x + 1 = 4x^2(2x + 1) + 1(2x + 1) = (4x^2 + 1)(2x + 1)$.
Перепишем уравнение:
$\frac{9}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)} = \frac{18x + 5}{(4x^2 + 1)(2x + 1)}$.
ОДЗ: $x \neq 1/2, x \neq -1/2$. (Выражение $4x^2+1$ всегда положительно).
Общий знаменатель: $(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)$. Умножим обе части на него:
$9(2x - 1)(2x + 1) - (8x + 29) = (18x + 5)(2x - 1)$.
Раскроем скобки:
$9(4x^2 - 1) - 8x - 29 = 36x^2 - 18x + 10x - 5$
$36x^2 - 9 - 8x - 29 = 36x^2 - 8x - 5$
$36x^2 - 8x - 38 = 36x^2 - 8x - 5$
Сократим одинаковые члены $36x^2$ и $-8x$ в обеих частях уравнения:
$-38 = -5$.
Получено неверное числовое равенство, не зависящее от переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

4)

Исходное уравнение: $\frac{1}{x^3 + 3x^2 + x + 3} + \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{6}{x^3 - 3x^2 - x + 3}$.
Разложим знаменатели на множители:
$x^3 + 3x^2 + x + 3 = x^2(x + 3) + (x + 3) = (x^2 + 1)(x + 3)$.
$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.
$x^3 - 3x^2 - x + 3 = x^2(x - 3) - (x - 3) = (x^2 - 1)(x - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)$.
Подставим в уравнение:
$\frac{1}{(x^2 + 1)(x + 3)} + \frac{1}{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{6}{(x - 1)(x + 1)(x - 3)}$.
ОДЗ: $x \neq -3, x \neq \pm 1, x \neq 3$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $(x^2 + 1)(x + 3)(x^2-1)$:
$\frac{x^2 - 1 + x + 3}{(x^2 + 1)(x + 3)(x^2 - 1)} = \frac{6}{(x^2 - 1)(x - 3)}$.
$\frac{x^2 + x + 2}{(x^2 + 1)(x + 3)(x^2 - 1)} = \frac{6}{(x^2 - 1)(x - 3)}$.
Сократим дробь на $(x^2 - 1)$, так как в ОДЗ $x \neq \pm 1$:
$\frac{x^2 + x + 2}{(x^2 + 1)(x + 3)} = \frac{6}{x - 3}$.
По правилу пропорции:
$(x^2 + x + 2)(x - 3) = 6(x^2 + 1)(x + 3)$.
Раскроем скобки:
$x^3 - 3x^2 + x^2 - 3x + 2x - 6 = 6(x^3 + 3x^2 + x + 3)$
$x^3 - 2x^2 - x - 6 = 6x^3 + 18x^2 + 6x + 18$.
Перенесем все члены в одну сторону:
$5x^3 + 20x^2 + 7x + 24 = 0$.
Получено кубическое уравнение. Методами, изучаемыми в школьном курсе, найти его корни затруднительно. Проверка с помощью теоремы о рациональных корнях показывает, что целых и простых дробных корней у уравнения нет. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка.

Ответ: Уравнение сводится к кубическому уравнению $5x^3 + 20x^2 + 7x + 24 = 0$, которое не имеет простых рациональных корней.

0.50.

1) $28x^3+3x^2+3x+1=0;$

2) $126x^3-3x^2+3x-1=0;$

3) $(x^2+4x)(x^2-6x+8)=(x^3-16x)(x^2+2x-8);$

4) $(x^2+5x)(x^2-3x-28)=(x^3-16x)(x^2-2x-35).$

1) Исходное уравнение: $28x^3+3x^2+3x+1=0$.
Это кубическое уравнение. Попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ – делитель свободного члена (1), а $q$ – делитель старшего коэффициента (28).
Так как все коэффициенты в уравнении положительны, действительные корни могут быть только отрицательными.
Проверим один из возможных корней, например, $x = -1/4$:
$28(-1/4)^3 + 3(-1/4)^2 + 3(-1/4) + 1 = 28(-1/64) + 3(1/16) - 3/4 + 1 = -28/64 + 3/16 - 3/4 + 1 = -7/16 + 3/16 - 12/16 + 16/16 = (-7+3-12+16)/16 = 0$.
Значит, $x = -1/4$ является корнем уравнения, а $(x+1/4)$ или, что то же самое, $(4x+1)$ является делителем многочлена $28x^3+3x^2+3x+1$.
Разделим многочлен на $(4x+1)$ столбиком:
$(28x^3+3x^2+3x+1) \div (4x+1) = 7x^2-x+1$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(4x+1)(7x^2-x+1)=0$.
Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1. $4x+1=0 \implies x_1 = -1/4$.
2. $7x^2-x+1=0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 1 - 28 = -27$.
Так как $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.
Следовательно, единственным действительным корнем исходного уравнения является $x = -1/4$.
Ответ: $x = -1/4$.

2) Исходное уравнение: $126x^3-3x^2+3x-1=0$.
Перепишем уравнение, представив $126x^3$ как $125x^3 + x^3$:
$125x^3 + x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$.
Сгруппируем члены: $125x^3 + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 0$.
Выражение в скобках является разложением куба разности $(x-1)^3$. А $125x^3$ можно представить как $(5x)^3$.
Уравнение принимает вид суммы кубов:
$(5x)^3 + (x-1)^3 = 0$.
Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$(5x + x-1)((5x)^2 - 5x(x-1) + (x-1)^2) = 0$.
$(6x-1)(25x^2 - (5x^2-5x) + (x^2-2x+1)) = 0$.
$(6x-1)(25x^2 - 5x^2 + 5x + x^2 - 2x + 1) = 0$.
$(6x-1)(21x^2 + 3x + 1) = 0$.
Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1. $6x-1=0 \implies x_1 = 1/6$.
2. $21x^2+3x+1=0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 21 \cdot 1 = 9 - 84 = -75$.
Так как $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.
Следовательно, единственным действительным корнем исходного уравнения является $x = 1/6$.
Ответ: $x = 1/6$.

3) Исходное уравнение: $(x^2+4x)(x^2-6x+8)=(x^3-16x)(x^2+2x-8)$.
Разложим на множители каждую часть уравнения.
Левая часть:$x^2+4x = x(x+4)$.
$x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$.
Левая часть равна $x(x+4)(x-2)(x-4)$.
Правая часть:$x^3-16x = x(x^2-16) = x(x-4)(x+4)$.
$x^2+2x-8 = (x+4)(x-2)$.
Правая часть равна $x(x-4)(x+4)(x+4)(x-2) = x(x+4)^2(x-2)(x-4)$.
Теперь уравнение имеет вид:
$x(x+4)(x-2)(x-4) = x(x+4)^2(x-2)(x-4)$.
Перенесем все в левую часть:
$x(x+4)(x-2)(x-4) - x(x+4)^2(x-2)(x-4) = 0$.
Вынесем общий множитель $x(x+4)(x-2)(x-4)$ за скобки:
$x(x+4)(x-2)(x-4)[1 - (x+4)] = 0$.
$x(x+4)(x-2)(x-4)(1 - x - 4) = 0$.
$x(x+4)(x-2)(x-4)(-x - 3) = 0$.
$-x(x+4)(x-2)(x-4)(x+3) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x=0$,
$x+4=0 \implies x=-4$,
$x-2=0 \implies x=2$,
$x-4=0 \implies x=4$,
$x+3=0 \implies x=-3$.
Корни уравнения: $-4, -3, 0, 2, 4$.
Ответ: $\{-4, -3, 0, 2, 4\}$.

4) Исходное уравнение: $(x^2+5x)(x^2-3x-28)=(x^3-16x)(x^2-2x-35)$.
Разложим на множители каждую часть уравнения.
Левая часть:
$x^2+5x = x(x+5)$.
$x^2-3x-28 = (x-7)(x+4)$.
Левая часть равна $x(x+5)(x-7)(x+4)$.
Правая часть:
$x^3-16x = x(x^2-16) = x(x-4)(x+4)$.
$x^2-2x-35 = (x-7)(x+5)$.
Правая часть равна $x(x-4)(x+4)(x-7)(x+5)$.
Теперь уравнение имеет вид:
$x(x+5)(x-7)(x+4) = x(x-4)(x+4)(x-7)(x+5)$.
Перенесем все в левую часть:
$x(x+5)(x-7)(x+4) - x(x-4)(x+4)(x-7)(x+5) = 0$.
Вынесем общий множитель $x(x+5)(x-7)(x+4)$ за скобки:
$x(x+5)(x-7)(x+4)[1 - (x-4)] = 0$.
$x(x+5)(x-7)(x+4)(1 - x + 4) = 0$.
$x(x+5)(x-7)(x+4)(5 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x=0$,
$x+5=0 \implies x=-5$,
$x-7=0 \implies x=7$,
$x+4=0 \implies x=-4$,
$5-x=0 \implies x=5$.
Корни уравнения: $-5, -4, 0, 5, 7$.
Ответ: $\{-5, -4, 0, 5, 7\}$.

0.51.

1) $|x-2|x^2=10-5x;$

2) $(x^2-5x+6)^2+3|x-3|=0;$

3) $(7x^2-3x-4)^2+|7x+4|(x^2-1)^2=0;$

4) $6x-12=x^2|x-2|.$

1) $|x-2|x^2 = 10-5x$

Сначала преобразуем правую часть уравнения: $10-5x = 5(2-x) = -5(x-2)$.

Теперь уравнение имеет вид: $|x-2|x^2 = -5(x-2)$.

Для решения уравнения с модулем рассмотрим два случая.

Случай 1: Выражение под знаком модуля неотрицательно. $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

В этом случае $|x-2| = x-2$. Уравнение принимает вид:

$(x-2)x^2 = -5(x-2)$

Перенесем все члены в левую часть:

$(x-2)x^2 + 5(x-2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)(x^2+5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Либо $x-2=0$, откуда $x=2$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Либо $x^2+5=0$, откуда $x^2 = -5$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: Выражение под знаком модуля отрицательно. $x-2 < 0$, то есть $x < 2$.

В этом случае $|x-2| = -(x-2)$. Уравнение принимает вид:

$-(x-2)x^2 = -5(x-2)$

Поскольку $x < 2$, то $x-2 \ne 0$. Можем разделить обе части на $-(x-2)$:

$x^2 = 5$

Отсюда $x = \sqrt{5}$ или $x = -\sqrt{5}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < 2$.

$x = \sqrt{5} \approx 2.236$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 2$.

$x = -\sqrt{5} \approx -2.236$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 2$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем два корня.

Ответ: $x = -\sqrt{5}, x = 2$.

2) $(x^2-5x+6)^2 + 3|x-3| = 0$

Это уравнение представляет собой сумму двух слагаемых. Проанализируем каждое из них.

Первое слагаемое $(x^2-5x+6)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(x^2-5x+6)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Второе слагаемое $3|x-3|$ содержит модуль, который также всегда неотрицателен: $|x-3| \ge 0$, а значит и $3|x-3| \ge 0$ для любого $x$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (x^2-5x+6)^2 = 0 \\ 3|x-3| = 0 \end{cases}$

Решим второе уравнение:

$3|x-3| = 0 \implies |x-3| = 0 \implies x-3 = 0 \implies x = 3$.

Теперь подставим найденное значение $x=3$ в первое уравнение, чтобы проверить, является ли оно его решением:

$(3^2 - 5 \cdot 3 + 6)^2 = (9 - 15 + 6)^2 = (0)^2 = 0$.

Равенство выполняется. Следовательно, $x=3$ является единственным решением системы, а значит и исходного уравнения.

Ответ: $x = 3$.

3) $(7x^2-3x-4)^2 + |7x+4|(x^2-1)^2 = 0$

Как и в предыдущем задании, левая часть уравнения является суммой двух неотрицательных слагаемых.

Первое слагаемое $(7x^2-3x-4)^2 \ge 0$, так как это квадрат выражения.

Второе слагаемое $|7x+4|(x^2-1)^2$ является произведением двух неотрицательных множителей ($|7x+4| \ge 0$ и $(x^2-1)^2 \ge 0$), поэтому оно также неотрицательно.

Сумма этих слагаемых равна нулю только в том случае, если оба они равны нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (7x^2-3x-4)^2 = 0 \\ |7x+4|(x^2-1)^2 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует:

$7x^2-3x-4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

$x_{1,2} = \frac{3 \pm 11}{2 \cdot 7}$

$x_1 = \frac{3+11}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$x_2 = \frac{3-11}{14} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы: $|7x+4|(x^2-1)^2 = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

Либо $|7x+4|=0 \implies 7x+4=0 \implies x = -\frac{4}{7}$.

Либо $(x^2-1)^2=0 \implies x^2-1=0 \implies x^2=1 \implies x=1$ или $x=-1$.

Решением исходного уравнения будут те значения $x$, которые удовлетворяют обоим уравнениям системы. Найдем общие корни.

Корни первого уравнения: $\{1, -\frac{4}{7}\}$.

Корни второго уравнения: $\{-\frac{4}{7}, 1, -1\}$.

Общими корнями являются $x=1$ и $x=-\frac{4}{7}$.

Ответ: $x = -\frac{4}{7}, x = 1$.

4) $6x-12 = x^2|x-2|$

Вынесем общий множитель в левой части уравнения: $6(x-2) = x^2|x-2|$.

Рассмотрим два случая раскрытия модуля.

Случай 1: $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

При этом условии $|x-2| = x-2$. Уравнение примет вид:

$6(x-2) = x^2(x-2)$

$6(x-2) - x^2(x-2) = 0$

$(x-2)(6-x^2) = 0$

Отсюда либо $x-2=0 \implies x=2$, либо $6-x^2=0 \implies x^2=6 \implies x = \pm\sqrt{6}$.

Проверим полученные корни на соответствие условию $x \ge 2$.

$x=2$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

$x=\sqrt{6} \approx 2.45$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

$x=-\sqrt{6} \approx -2.45$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Таким образом, в этом случае решениями являются $x=2$ и $x=\sqrt{6}$.

Случай 2: $x-2 < 0$, то есть $x < 2$.

При этом условии $|x-2| = -(x-2)$. Уравнение примет вид:

$6(x-2) = x^2(-(x-2))$

$6(x-2) = -x^2(x-2)$

$6(x-2) + x^2(x-2) = 0$

$(x-2)(6+x^2) = 0$

Отсюда либо $x-2=0 \implies x=2$, что не удовлетворяет условию $x<2$. Либо $6+x^2=0 \implies x^2=-6$, что не имеет действительных корней.

В этом случае решений нет.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, получаем два корня.

Ответ: $x = 2, x = \sqrt{6}$.

0.52. Составьте такое биквадратное уравнение, чтобы числа $ \sqrt{2} $ и $ -\sqrt{3} $ были его корнями.

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$.

Важным свойством биквадратного уравнения является то, что если $x_0$ является его корнем, то и $-x_0$ также является его корнем. Это следует из того, что в уравнении переменная $x$ содержится только в четных степенях ($x^4$ и $x^2$), поэтому $a(-x_0)^4 + b(-x_0)^2 + c = ax_0^4 + bx_0^2 + c = 0$.

По условию, числа $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{3}$ являются корнями искомого биквадратного уравнения. Исходя из вышеупомянутого свойства, мы можем найти остальные корни. Раз $\sqrt{2}$ является корнем, то и $-\sqrt{2}$ также должен быть корнем. Аналогично, раз $-\sqrt{3}$ является корнем, то и $-(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}$ также должен быть корнем.

Таким образом, мы знаем все четыре корня биквадратного уравнения: $x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = -\sqrt{2}$, $x_3 = \sqrt{3}$ и $x_4 = -\sqrt{3}$.

Составить уравнение можно двумя способами.

Способ 1: Через разложение на множители

Если известны все корни многочлена, его можно представить в виде произведения множителей $(x - x_i)$, где $x_i$ — корни. Для нашего случая уравнение будет иметь вид (для простоты возьмем старший коэффициент равным 1):

$(x - \sqrt{2})(x - (-\sqrt{2}))(x - \sqrt{3})(x - (-\sqrt{3})) = 0$

Упростим выражение:

$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к каждой паре скобок:

$(x^2 - (\sqrt{2})^2)(x^2 - (\sqrt{3})^2) = 0$

$(x^2 - 2)(x^2 - 3) = 0$

Теперь раскроем скобки, чтобы привести уравнение к стандартному виду $ax^4 + bx^2 + c = 0$:

$x^2 \cdot x^2 - 3 \cdot x^2 - 2 \cdot x^2 + (-2) \cdot (-3) = 0$

$x^4 - 3x^2 - 2x^2 + 6 = 0$

$x^4 - 5x^2 + 6 = 0$

Это и есть искомое биквадратное уравнение.

Способ 2: Через замену переменной

Биквадратное уравнение $ax^4 + bx^2 + c = 0$ можно свести к квадратному уравнению с помощью замены $y = x^2$. Получится уравнение $ay^2 + by + c = 0$. Его корнями будут значения квадратов корней исходного уравнения.

Нам даны корни $x_A = \sqrt{2}$ и $x_B = -\sqrt{3}$. Найдем соответствующие значения для $y = x^2$:

$y_1 = (x_A)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$y_2 = (x_B)^2 = (-\sqrt{3})^2 = 3$

Таким образом, корнями вспомогательного квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ являются числа $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

По теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $y^2 + py + q = 0$ с корнями $y_1$ и $y_2$ коэффициенты равны:

$p = -(y_1 + y_2)$

$q = y_1 \cdot y_2$

В нашем случае:

$p = -(2 + 3) = -5$

$q = 2 \cdot 3 = 6$

Значит, квадратное уравнение для $y$ имеет вид:

$y^2 - 5y + 6 = 0$

Теперь выполним обратную замену $y = x^2$, чтобы получить искомое биквадратное уравнение:

$(x^2)^2 - 5(x^2) + 6 = 0$

$x^4 - 5x^2 + 6 = 0$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $x^4 - 5x^2 + 6 = 0$.

0.53. При каких значениях параметров a и b три целых корня уравнения $x^4+x^3-18x^2+ax+b=0$ равны между собой?

Пусть данное уравнение $x^4 + x^3 - 18x^2 + ax + b = 0$ имеет три равных целых корня. Обозначим этот кратный целый корень как $k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Пусть четвертый корень уравнения — $x_4$.

Согласно формулам Виета для многочлена четвертой степени, связь между корнями ($x_1=k, x_2=k, x_3=k, x_4$) и коэффициентами уравнения следующая:

1) Сумма корней: $k+k+k+x_4 = 3k+x_4 = -1$

2) Сумма попарных произведений корней: $k \cdot k + k \cdot k + k \cdot x_4 + k \cdot k + k \cdot x_4 + k \cdot x_4 = 3k^2 + 3kx_4 = -18$

3) Сумма произведений корней по три: $k \cdot k \cdot k + k \cdot k \cdot x_4 + k \cdot k \cdot x_4 + k \cdot k \cdot x_4 = k^3 + 3k^2x_4 = -a$

4) Произведение корней: $k \cdot k \cdot k \cdot x_4 = k^3x_4 = b$

Для нахождения $k$ и $x_4$ решим систему из первых двух уравнений. Из первого уравнения выразим $x_4$:$x_4 = -1 - 3k$

Подставим это выражение во второе уравнение:$3k^2 + 3k(-1 - 3k) = -18$$3k^2 - 3k - 9k^2 = -18$$-6k^2 - 3k + 18 = 0$

Разделим обе части на $-3$, чтобы упростить уравнение:$2k^2 + k - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $k$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.Корни уравнения:$k_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$k_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

По условию, $k$ — целый корень, следовательно, подходит только значение $k = -2$.

Теперь найдем четвертый корень $x_4$:$x_4 = -1 - 3k = -1 - 3(-2) = -1 + 6 = 5$.

Используя найденные значения $k=-2$ и $x_4=5$, вычислим параметры $a$ и $b$ из третьего и четвертого уравнений:$a = -(k^3 + 3k^2x_4) = -((-2)^3 + 3(-2)^2 \cdot 5) = -(-8 + 3 \cdot 4 \cdot 5) = -(-8 + 60) = -52$.$b = k^3x_4 = (-2)^3 \cdot 5 = (-8) \cdot 5 = -40$.

Следовательно, искомые значения параметров $a = -52$ и $b = -40$.

Ответ: $a = -52, b = -40$.

0.54. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(a+4x-x^2-1)(a+1-|x-2|)=0$ имеет три корня?

Исходное уравнение $(a+4x-x^2-1)(a+1-|x-2|)=0$ является произведением двух сомножителей, равным нулю. Это равносильно совокупности двух уравнений:

$a+4x-x^2-1=0$ или $a+1-|x-2|=0$.

Задача состоит в том, чтобы найти такие значения параметра $a$, при которых эта совокупность уравнений имеет ровно три различных корня.

Рассмотрим данную задачу графически в координатной плоскости $(x, a)$. Для этого выразим $a$ через $x$ в каждом уравнении:

1. $a = x^2 - 4x + 1$

2. $a = |x-2| - 1$

Количество корней исходного уравнения для заданного значения $a$ равно количеству точек пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x + 1$ и $y = |x-2| - 1$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Построим и проанализируем графики этих функций.

График функции $y = x^2 - 4x + 1$:

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины:

$x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_в = (2)^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$

Вершина параболы находится в точке $(2, -3)$.

График функции $y = |x-2| - 1$:

Это график модуля, смещенный на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Вершина этого графика находится в точке $(2, -1)$. При $x \ge 2$ график представляет собой прямую $y = (x-2)-1 = x-3$. При $x < 2$ график представляет собой прямую $y = -(x-2)-1 = -x+1$.

Для определения числа общих корней найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^2 - 4x + 1 = |x-2| - 1$.

Случай 1: $x \ge 2$

$x^2 - 4x + 1 = (x-2) - 1$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Условию $x \ge 2$ удовлетворяет только $x=4$. При $x=4$ значение $a$ равно $4^2 - 4 \cdot 4 + 1 = 1$.

Случай 2: $x < 2$

$x^2 - 4x + 1 = -(x-2) - 1$

$x^2 - 3x = 0$

Корни этого уравнения $x_3 = 0$ и $x_4 = 3$. Условию $x < 2$ удовлетворяет только $x=0$. При $x=0$ значение $a$ равно $0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках: $(0, 1)$ и $(4, 1)$. Это означает, что при $a=1$ оба уравнения имеют общие корни $x=0$ и $x=4$.

Теперь проанализируем количество корней в зависимости от значения параметра $a$, мысленно проводя горизонтальную прямую $y=a$ и подсчитывая количество точек пересечения с обоими графиками.

• При $a < -3$: прямая $y=a$ не пересекает ни один из графиков. 0 корней.
• При $a = -3$: прямая касается вершины параболы в точке $(2, -3)$ и не пересекает график модуля. 1 корень.
• При $-3 < a < -1$: прямая пересекает параболу в двух точках и не пересекает график модуля. 2 корня.
• При $a = -1$: прямая касается вершины графика модуля в точке $(2, -1)$ и пересекает параболу в двух других точках. Найдем эти точки: $x^2 - 4x + 1 = -1 \Rightarrow x^2 - 4x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{2}$. Итого получаем три различных корня: $2-\sqrt{2}$, $2$, $2+\sqrt{2}$. 3 корня.
• При $-1 < a < 1$: прямая пересекает параболу в двух точках и график модуля в двух точках. Так как $a \neq 1$, эти точки различны. 4 корня.
• При $a = 1$: прямая проходит через точки пересечения графиков. Уравнение $x^2-4x+1=1$ дает корни $x=0, x=4$. Уравнение $|x-2|-1=1$ дает корни $x=0, x=4$. Множество корней обоих уравнений совпадает. 2 корня.
• При $a > 1$: прямая пересекает параболу в двух точках и график модуля в двух точках. Все точки пересечения различны. 4 корня.

Таким образом, уравнение имеет ровно три корня только при одном значении параметра $a$.

Ответ: $a=-1$.

0.55. При каких значениях $x$ график функции $y = \frac{x-13}{x^2+x-6}$ лежит в промежутке $0 \leq y \leq 1$?

Условие, при котором график функции $y = \frac{x-13}{x^2+x-6}$ лежит в промежутке $0 \le y \le 1$, можно записать в виде двойного неравенства:

$0 \le \frac{x-13}{x^2+x-6} \le 1$

Это неравенство равносильно системе из двух неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x-13}{x^2+x-6} \ge 0 \\ \frac{x-13}{x^2+x-6} \le 1 \end{cases} $$

Прежде всего, найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x^2+x-6 \ne 0$

Найдем корни уравнения $x^2+x-6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Таким образом, область определения: $x \ne 2$ и $x \ne -3$.

Теперь решим каждое неравенство системы.

1. Решим первое неравенство:

$\frac{x-13}{x^2+x-6} \ge 0$

Разложим знаменатель на множители:

$\frac{x-13}{(x-2)(x+3)} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x=13$, $x=2$, $x=-3$. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом из полученных интервалов.

Выражение неотрицательно при $x \in (-3; 2) \cup [13; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$\frac{x-13}{x^2+x-6} \le 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x-13}{x^2+x-6} - 1 \le 0$

$\frac{x-13 - (x^2+x-6)}{x^2+x-6} \le 0$

$\frac{x-13-x^2-x+6}{x^2+x-6} \le 0$

$\frac{-x^2-7}{x^2+x-6} \le 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2+7}{x^2+x-6} \ge 0$

Числитель $x^2+7$ всегда положителен при любом действительном значении $x$ (так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2+7 \ge 7$). Поэтому знак дроби определяется знаком знаменателя. Неравенство равносильно следующему:

$x^2+x-6 > 0$

$(x-2)(x+3) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого неравенства: $x \in (-3; 2) \cup [13; +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Найдем пересечение этих двух множеств. Интервал $(-3; 2)$ из первого решения не пересекается со вторым решением. Интервал $[13; +\infty)$ из первого решения полностью входит в интервал $(2; +\infty)$ из второго решения. Следовательно, их пересечение есть $[13; +\infty)$.

Таким образом, общее решение системы неравенств — это $x \in [13; +\infty)$.

Ответ: $x \in [13; +\infty)$.

0.56. Докажите, что четырехзначное число является простым числом, если оно не имеет простых делителей, меньших, чем 100.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть $N$ — произвольное четырехзначное число. Это означает, что $1000 \le N \le 9999$. По условию, у числа $N$ нет простых делителей, меньших чем 100.

Предположим, что утверждение неверно, то есть $N$ является составным числом.

Известно, что любое составное число $N$ имеет по крайней мере один простой делитель $p$, который не превышает квадратного корня из этого числа, то есть $p \le \sqrt{N}$.

Давайте докажем этот факт. Если $N$ — составное, то его можно представить в виде произведения $N = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — целые числа, большие 1. Без ограничения общности можно предположить, что $a \le b$. Тогда $a \cdot a \le a \cdot b$, что равносильно $a^2 \le N$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $a \le \sqrt{N}$. Поскольку $a > 1$, у него есть как минимум один простой делитель (согласно основной теореме арифметики), назовем его $p$. Этот простой делитель $p$ также будет делителем $N$. И так как $p \le a$, то справедливо и $p \le \sqrt{N}$.

Теперь вернемся к нашей задаче. Так как $N$ — четырехзначное число, максимальное его значение — 9999. Найдем верхнюю границу для $\sqrt{N}$:

$\sqrt{N} \le \sqrt{9999}$

Мы знаем, что $100^2 = 10000$, поэтому $\sqrt{9999} < \sqrt{10000} = 100$.

Таким образом, для любого четырехзначного числа $N$ верно, что $\sqrt{N} < 100$.

Из нашего предположения, что $N$ — составное, следует, что у него должен быть простой делитель $p \le \sqrt{N}$. Совместив это с предыдущим выводом, мы получаем, что у $N$ должен быть простой делитель $p < 100$.

Однако это напрямую противоречит исходному условию задачи, в котором сказано, что у числа $N$ нет простых делителей, меньших чем 100.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что $N$ является составным числом, было неверным. Следовательно, число $N$ должно быть простым.

Ответ: Утверждение доказано. Если четырехзначное число $N$ является составным, то оно обязано иметь хотя бы один простой делитель $p$, удовлетворяющий условию $p \le \sqrt{N}$. Поскольку для любого четырехзначного числа $N$ выполняется неравенство $N \le 9999$, то $\sqrt{N} < \sqrt{10000} = 100$. Следовательно, любой составной четырехзначный номер должен иметь простой делитель, меньший 100. Это противоречит условию задачи. Таким образом, число не может быть составным, а значит, оно является простым.

0.57. Покажите, что число:

а) $\underbrace{77\dots7}_{2004} \cdot 3$;

б) $100^{100}-1$ является составным числом.

а) Чтобы доказать, что число $N_a = \underbrace{77...7}_{2004} \cdot 3$ является составным, достаточно показать, что оно имеет делители, отличные от 1 и самого себя.
Составное число — это натуральное число, большее 1, которое можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, больших 1.
Данное число уже представлено в виде произведения двух множителей: $A = \underbrace{77...7}_{2004}$ и $B = 3$.
Первый множитель, $A$, — это натуральное число, состоящее из 2004 цифр «7». Очевидно, что $A > 1$.
Второй множитель, $B = 3$, также является натуральным числом, большим 1.
Поскольку число $N_a$ является произведением двух натуральных чисел, каждое из которых больше 1, оно по определению является составным. Его делителями являются, например, 3 и $\underbrace{77...7}_{2004}$.

Ответ: Число $\underbrace{77...7}_{2004} \cdot 3$ является составным, так как оно равно произведению двух натуральных чисел ($\underbrace{77...7}_{2004}$ и 3), каждое из которых больше единицы.

б) Чтобы доказать, что число $N_б = 100^{100} - 1$ является составным, представим его в виде произведения двух множителей, отличных от 1 и самого числа.
Для этого воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим исходное число в следующем виде:$N_б = 100^{100} - 1 = (100^{50})^2 - 1^2$.
Применив формулу разности квадратов, где $a = 100^{50}$ и $b = 1$, получим:$N_б = (100^{50} - 1)(100^{50} + 1)$.
Мы разложили число $N_б$ на два множителя: $(100^{50} - 1)$ и $(100^{50} + 1)$.
Первый множитель, $100^{50} - 1$, является натуральным числом. Так как $100^{50}$ — это число, равное единице со ста нулями ($10^{200}$), то $100^{50} - 1$ — очень большое натуральное число, очевидно большее 1.
Второй множитель, $100^{50} + 1$, также является натуральным числом и очевидно больше 1.
Поскольку число $N_б$ представлено в виде произведения двух натуральных чисел, каждое из которых больше 1, оно является составным.

Ответ: Число $100^{100} - 1$ является составным, так как оно раскладывается на множители $(100^{50} - 1)$ и $(100^{50} + 1)$, каждый из которых является натуральным числом, большим единицы.

0.58. Упростите выражения:

1) $\sqrt{7+\sqrt{24}}$;

2) $\sqrt{7-\sqrt{24}}$;

3) $\sqrt{5+\sqrt{24}}$;

4) $\sqrt{7+\sqrt{48}}$;

5) $\sqrt{17-4\sqrt{9+4\sqrt{5}}}$;

6) $\sqrt{2\sqrt{6}+2\sqrt{5}-\sqrt{13+\sqrt{48}}}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{7 + \sqrt{24}}$ представим подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}$. Для этого сначала преобразуем внутренний корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. Теперь выражение имеет вид $\sqrt{7 + 2\sqrt{6}}$. Нам нужно найти такие числа $x$ и $y$, для которых выполняются условия: $x+y = 7$ и $xy = 6$. Методом подбора легко находим, что эти числа — $6$ и $1$. Тогда $7+2\sqrt{6} = (6+1) + 2\sqrt{6 \cdot 1} = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{1})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{1} = (\sqrt{6}+\sqrt{1})^2 = (\sqrt{6}+1)^2$. Следовательно, $\sqrt{7 + \sqrt{24}} = \sqrt{(\sqrt{6}+1)^2} = |\sqrt{6}+1| = \sqrt{6}+1$.
Ответ: $\sqrt{6}+1$.

2) Упростим выражение $\sqrt{7 - \sqrt{24}}$. Это выражение похоже на предыдущее. Преобразуем $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$, получим $\sqrt{7 - 2\sqrt{6}}$. Будем использовать формулу полного квадрата разности $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = x+y-2\sqrt{xy}$. Нам нужны числа $x$ и $y$, такие что $x+y=7$ и $xy=6$. Как и в предыдущем задании, это $x=6$ и $y=1$. Тогда $7-2\sqrt{6} = (6+1) - 2\sqrt{6 \cdot 1} = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{1})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{1} = (\sqrt{6}-\sqrt{1})^2 = (\sqrt{6}-1)^2$. Следовательно, $\sqrt{7 - \sqrt{24}} = \sqrt{(\sqrt{6}-1)^2} = |\sqrt{6}-1|$. Так как $\sqrt{6} > \sqrt{1}$, то разность $\sqrt{6}-1$ положительна, и модуль можно опустить.
Ответ: $\sqrt{6}-1$.

3) Упростим выражение $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$. Заменяем $\sqrt{24}$ на $2\sqrt{6}$, получаем $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$. Ищем числа $x$ и $y$ такие, что $x+y=5$ и $xy=6$. Методом подбора находим, что $x=3$ и $y=2$. Тогда $5+2\sqrt{6} = (3+2) + 2\sqrt{3 \cdot 2} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$. Следовательно, $\sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3}+\sqrt{2}| = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.

4) Упростим выражение $\sqrt{7 + \sqrt{48}}$. Сначала упростим внутренний корень: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$. Выражение принимает вид $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$. Чтобы использовать формулу полного квадрата, нам нужен член вида $2\sqrt{xy}$. Представим $4\sqrt{3}$ как $2 \cdot 2\sqrt{3}$. Внесём множитель $2$ под корень: $2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$. Получаем $\sqrt{7 + 2\sqrt{12}}$. Ищем числа $x$ и $y$ такие, что $x+y=7$ и $xy=12$. Подбором находим, что $x=4$ и $y=3$. Тогда $7+2\sqrt{12} = (4+3)+2\sqrt{4 \cdot 3} = (\sqrt{4})^2+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{4}\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$. Следовательно, $\sqrt{7 + \sqrt{48}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3}$.
Ответ: $2+\sqrt{3}$.

5) Упростим выражение $\sqrt{17 - 4\sqrt{9+4\sqrt{5}}}$. Начнем с упрощения самого внутреннего радикала: $\sqrt{9+4\sqrt{5}}$. Представим $4\sqrt{5}$ в виде $2 \cdot 2\sqrt{5} = 2\sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{20}$. Получаем $\sqrt{9+2\sqrt{20}}$. Ищем $x, y$ такие, что $x+y=9$ и $xy=20$. Это числа $5$ и $4$. Значит, $9+2\sqrt{20} = 5+4+2\sqrt{5 \cdot 4} = (\sqrt{5}+\sqrt{4})^2 = (\sqrt{5}+2)^2$. Тогда $\sqrt{9+4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+2)^2} = \sqrt{5}+2$. Подставим это обратно в исходное выражение: $\sqrt{17 - 4(\sqrt{5}+2)} = \sqrt{17 - 4\sqrt{5} - 8} = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$. Теперь упростим $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$. Снова представим $4\sqrt{5}$ как $2\sqrt{20}$. Получаем $\sqrt{9 - 2\sqrt{20}}$. Ищем $x, y$ такие, что $x+y=9$ и $xy=20$. Это снова $5$ и $4$. Значит, $9 - 2\sqrt{20} = 5+4-2\sqrt{5 \cdot 4} = (\sqrt{5}-\sqrt{4})^2 = (\sqrt{5}-2)^2$. Тогда $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2|$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236 > 2$, то $\sqrt{5}-2 > 0$. Итоговый результат: $\sqrt{5}-2$.
Ответ: $\sqrt{5}-2$.

6) Упростим выражение $2\sqrt{6+2\sqrt{5}} - \sqrt{13+\sqrt{48}}$. Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $2\sqrt{6+2\sqrt{5}}$. Упростим радикал $\sqrt{6+2\sqrt{5}}$. Ищем $x, y$ такие, что $x+y=6$ и $xy=5$. Это числа $5$ и $1$. $6+2\sqrt{5} = 5+1+2\sqrt{5 \cdot 1} = (\sqrt{5}+\sqrt{1})^2 = (\sqrt{5}+1)^2$. Значит, $\sqrt{6+2\sqrt{5}} = \sqrt{5}+1$. Тогда первое слагаемое равно $2(\sqrt{5}+1) = 2\sqrt{5}+2$.
Второе слагаемое (вычитаемое): $\sqrt{13+\sqrt{48}}$. Упростим $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$. Получаем $\sqrt{13+4\sqrt{3}}$. Представим $4\sqrt{3}$ как $2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{12}$. Имеем $\sqrt{13+2\sqrt{12}}$. Ищем $x, y$ такие, что $x+y=13$ и $xy=12$. Это числа $12$ и $1$. $13+2\sqrt{12} = 12+1+2\sqrt{12 \cdot 1} = (\sqrt{12}+\sqrt{1})^2 = (2\sqrt{3}+1)^2$. Значит, $\sqrt{13+\sqrt{48}} = \sqrt{(2\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{3}+1$.
Выполняем вычитание: $(2\sqrt{5}+2) - (2\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{5}+2 - 2\sqrt{3} - 1 = 1+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}$.
Ответ: $1+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}$.

0.59. Избавьтесь от иррациональности в знаменателях дроби:

1)

$\frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}$

2)

$\frac{x^2-2x}{\sqrt{x+2}-2}$

3)

$\frac{x}{\sqrt{1-x}-\sqrt{1-2x}}$

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}$, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{x+3}+2$.

$\frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2} = \frac{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}$

Применим в знаменателе формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2) = (\sqrt{x+3})^2 - 2^2 = (x+3) - 4 = x-1$.

Тогда дробь примет вид:

$\frac{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1}$

Сократим дробь на $(x-1)$ (при условии, что $x-1 \neq 0$):

$\sqrt{x+3}+2$

Ответ: $\sqrt{x+3}+2$.

2) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x^2-2x}{\sqrt{x+2}-2}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{x+2}+2$.

$\frac{x^2-2x}{\sqrt{x+2}-2} = \frac{(x^2-2x)(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}$

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2) = (\sqrt{x+2})^2 - 2^2 = (x+2) - 4 = x-2$.

Дробь примет вид:

$\frac{(x^2-2x)(\sqrt{x+2}+2)}{x-2}$

Разложим числитель на множители: $x^2-2x = x(x-2)$.

$\frac{x(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{x-2}$

Сократим дробь на $(x-2)$ (при условии, что $x-2 \neq 0$):

$x(\sqrt{x+2}+2)$

Ответ: $x(\sqrt{x+2}+2)$.

3) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x}{\sqrt{1-x}-\sqrt{1-2x}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x}$.

$\frac{x}{\sqrt{1-x}-\sqrt{1-2x}} = \frac{x(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x})}{(\sqrt{1-x}-\sqrt{1-2x})(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x})}$

Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

$(\sqrt{1-x}-\sqrt{1-2x})(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x}) = (\sqrt{1-x})^2 - (\sqrt{1-2x})^2 = (1-x) - (1-2x) = 1-x-1+2x = x$.

Тогда дробь можно записать как:

$\frac{x(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x})}{x}$

Сократим дробь на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x}$

Ответ: $\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x}$.