Номер 0.59, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.59. Избавьтесь от иррациональности в знаменателях дроби:

1)

$\frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}$

2)

$\frac{x^2-2x}{\sqrt{x+2}-2}$

3)

$\frac{x}{\sqrt{1-x}-\sqrt{1-2x}}$

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}$, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{x+3}+2$.

$\frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2} = \frac{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}$

Применим в знаменателе формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2) = (\sqrt{x+3})^2 - 2^2 = (x+3) - 4 = x-1$.

Тогда дробь примет вид:

$\frac{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1}$

Сократим дробь на $(x-1)$ (при условии, что $x-1 \neq 0$):

$\sqrt{x+3}+2$

Ответ: $\sqrt{x+3}+2$.

2) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x^2-2x}{\sqrt{x+2}-2}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{x+2}+2$.

$\frac{x^2-2x}{\sqrt{x+2}-2} = \frac{(x^2-2x)(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}$

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2) = (\sqrt{x+2})^2 - 2^2 = (x+2) - 4 = x-2$.

Дробь примет вид:

$\frac{(x^2-2x)(\sqrt{x+2}+2)}{x-2}$

Разложим числитель на множители: $x^2-2x = x(x-2)$.

$\frac{x(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{x-2}$

Сократим дробь на $(x-2)$ (при условии, что $x-2 \neq 0$):

$x(\sqrt{x+2}+2)$

Ответ: $x(\sqrt{x+2}+2)$.

3) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x}{\sqrt{1-x}-\sqrt{1-2x}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x}$.

$\frac{x}{\sqrt{1-x}-\sqrt{1-2x}} = \frac{x(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x})}{(\sqrt{1-x}-\sqrt{1-2x})(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x})}$

Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

$(\sqrt{1-x}-\sqrt{1-2x})(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x}) = (\sqrt{1-x})^2 - (\sqrt{1-2x})^2 = (1-x) - (1-2x) = 1-x-1+2x = x$.

Тогда дробь можно записать как:

$\frac{x(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x})}{x}$

Сократим дробь на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x}$

Ответ: $\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x}$.