Практическая работа, страница 17 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

Дана точка C(4;3).

а) Постройте окружность с центром в точке C и проходящую через начало координат.

б) Измерьте линейкой радиус окружности.

в) Проверьте точность измерения аналитическим способом, т.е. найдите радиус окружности с помощью формулы нахождения расстояния между двумя точками. ($R = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$). Для точки C(4;3) и начала координат (0;0) радиус $R$ будет равен $R = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

г) Напишите уравнение окружности. ($ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 $). Для данной окружности уравнение будет $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 5^2$ или $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 25$.

д) Раскройте скобки в полученном уравнении окружности и запишите ее в виде уравнения 2-го порядка. Сделайте вывод о свободном члене полученного уравнения. Обоснуйте ответ.

Раскрытие скобок: $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 25$ преобразуется в $x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 25$.

После упрощения: $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 + 9 - 25 = 0$, что приводит к уравнению $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$.

а) Для построения окружности необходимо сначала построить систему координат. Затем отметить на ней центр окружности — точку $C(4; 3)$. Поскольку окружность проходит через начало координат — точку $O(0; 0)$, — радиус окружности будет равен расстоянию между точками $C$ и $O$. Соединив эти точки и используя полученное расстояние как радиус, строим окружность с помощью циркуля.

Ответ: Построение представлено на рисунке выше.

б) Этот пункт предполагает практическое измерение. Если построить чертеж в масштабе, где 1 единица равна 1 см, то измерение линейкой расстояния от центра $C$ до начала координат $O$ даст результат примерно 5 см.

Ответ: $R \approx 5$ единиц.

в) Радиус окружности $R$ — это расстояние между ее центром $C(x_C; y_C) = C(4; 3)$ и точкой на окружности, в данном случае началом координат $O(x_O; y_O) = O(0; 0)$. Найдем это расстояние по формуле расстояния между двумя точками:

$R = \sqrt{(x_C - x_O)^2 + (y_C - y_O)^2}$

Подставим координаты точек:

$R = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Аналитический расчет показывает, что точное значение радиуса равно 5. Этот результат подтверждает точность измерения, выполненного в пункте б).

Ответ: $R = 5$.

г) Уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Для нашей окружности центр $C(a; b) = (4; 3)$ и радиус $R = 5$. Подставим эти значения в формулу:

$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 5^2$

$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$

Ответ: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

д) Раскроем скобки в полученном уравнении, чтобы привести его к виду уравнения 2-го порядка. Используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) = 25$

$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9) = 25$

Сгруппируем члены и перенесем все в левую часть уравнения:

$x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 + 9 - 25 = 0$

$x^2 + y^2 - 8x - 6y + 25 - 25 = 0$

$x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$

Это и есть уравнение окружности в виде уравнения 2-го порядка.

Вывод о свободном члене: В полученном уравнении $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$ свободный член (константа, не умноженная на переменную) равен 0.

Обоснование: Общее уравнение кривой второго порядка, задающей окружность, имеет вид $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. Точка лежит на кривой, если ее координаты удовлетворяют уравнению. Поскольку наша окружность проходит через начало координат, точка $O(0; 0)$ принадлежит ей. Подставив координаты этой точки в общее уравнение, получаем: $0^2 + 0^2 + D \cdot 0 + E \cdot 0 + F = 0$, что упрощается до $F = 0$. Таким образом, свободный член любого уравнения окружности, проходящей через начало координат, всегда равен нулю.Это также можно проверить через параметры нашей окружности: $F = a^2 + b^2 - R^2 = 4^2 + 3^2 - 5^2 = 16 + 9 - 25 = 0$.

Ответ: Уравнение 2-го порядка: $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$. Свободный член равен 0. Обоснование: так как окружность проходит через начало координат (точку (0;0)), подстановка этих координат в общее уравнение окружности $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ дает $F=0$.