Номер 1.7, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.7. Постройте графики уравнений:

1) $y-|x|=0$;

2) $|x|+y=5$;

3) $|y|-x=0$;

4) $x+|y|=5$.

1) y - |x| = 0;

Преобразуем данное уравнение, выразив y: $y = |x|$. Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и уравнение принимает вид $y = x$. Это прямая линия, являющаяся биссектрисой первого координатного угла.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $y = -x$. Это прямая линия, являющаяся биссектрисой второго координатного угла.

Объединив эти два луча, получим график функции $y = |x|$, который представляет собой "галочку" с вершиной в начале координат.

Ответ: График представляет собой объединение двух лучей: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$.

2) |x| + y = 5;

Преобразуем уравнение, выразив y: $y = 5 - |x|$. Этот график можно получить из графика $y = |x|$ с помощью двух преобразований: 1. Симметричное отражение относительно оси OX, чтобы получить $y = -|x|$. 2. Сдвиг на 5 единиц вверх по оси OY, чтобы получить $y = 5 - |x|$.

Также можно построить график, раскрыв модуль:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и уравнение принимает вид $y = 5 - x$. Это прямая, проходящая через точки (0, 5) и (5, 0).

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $y = 5 - (-x) = 5 + x$. Это прямая, проходящая через точки (0, 5) и (-5, 0).

График представляет собой "галочку", перевернутую вниз, с вершиной в точке (0, 5).

Ответ: График представляет собой объединение двух лучей с общей вершиной в точке (0, 5): $y = 5 + x$ для $x < 0$ и $y = 5 - x$ для $x \ge 0$.

3) |y| - x = 0;

Преобразуем уравнение, выразив x: $x = |y|$. Это уравнение аналогично первому ($y=|x|$), но переменные x и y поменялись местами. Это означает, что график будет симметричен относительно оси OX (а не OY).

Рассмотрим два случая:

1. Если $y \ge 0$, то $|y| = y$, и уравнение принимает вид $x = y$ (или $y = x$). Это луч, выходящий из начала координат и расположенный в первой координатной четверти.

2. Если $y < 0$, то $|y| = -y$, и уравнение принимает вид $x = -y$ (или $y = -x$). Это луч, выходящий из начала координат и расположенный в четвертой координатной четверти.

График представляет собой "галочку", повернутую вправо, с вершиной в точке (0, 0).

Ответ: График представляет собой объединение двух лучей: $x = y$ для $y \ge 0$ и $x = -y$ для $y < 0$.

4) x + |y| = 5.

Преобразуем уравнение: $|y| = 5 - x$. Поскольку левая часть уравнения $|y|$ всегда неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной: $5 - x \ge 0$, откуда $x \le 5$. Это означает, что график целиком лежит в полуплоскости слева от вертикальной прямой $x=5$.

Раскроем модуль:

1. Если $y \ge 0$, то $|y| = y$, и уравнение принимает вид $y = 5 - x$. Это луч, выходящий из точки (5, 0) и направленный в левый верхний угол.

2. Если $y < 0$, то $|y| = -y$, и уравнение принимает вид $-y = 5 - x$, или $y = x - 5$. Это луч, выходящий из точки (5, 0) и направленный в левый нижний угол.

График представляет собой "галочку", повернутую влево, с вершиной в точке (5, 0).

Ответ: График представляет собой объединение двух лучей с общей вершиной в точке (5, 0): $y = 5 - x$ для $y \ge 0$ и $y = x - 5$ для $y < 0$, при условии $x \le 5$.