Номер 1.9, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.9. Определите геометрический смысл уравнений:

1)

$x^2+3x-y+7=0;$

2)

$y^2+3y-x+7=0;$

3)

$x^2+y^2-8x+7=0;$

4)

$xy=2.$

1) Данное уравнение $x^2+3x-y+7=0$ можно преобразовать, выразив $y$ через $x$: $y = x^2+3x+7$. Это уравнение параболы вида $y=ax^2+bx+c$ с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен.
Для нахождения вершины параболы $(x_0, y_0)$ воспользуемся методом выделения полного квадрата:
$y = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 + 7 = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 7 = (x+\frac{3}{2})^2 + \frac{19}{4}$.
Из полученного уравнения $y - \frac{19}{4} = (x+\frac{3}{2})^2$ видно, что вершина параболы находится в точке с координатами $(-\frac{3}{2}, \frac{19}{4})$ или $(-1.5, 4.75)$.
Ответ: Уравнение задает параболу с вершиной в точке $(-1.5, 4.75)$ и ветвями, направленными вверх.

2) В уравнении $y^2+3y-x+7=0$ выразим $x$ через $y$: $x = y^2+3y+7$. Это уравнение параболы вида $x=ay^2+by+c$, ось симметрии которой параллельна оси Ox. Так как коэффициент при $y^2$ (равный 1) положителен, ветви параболы направлены вправо.
Найдем вершину параболы $(x_0, y_0)$, выделив полный квадрат для переменной $y$:
$x = (y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 + 7 = (y+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 7 = (y+\frac{3}{2})^2 + \frac{19}{4}$.
Из уравнения $x - \frac{19}{4} = (y+\frac{3}{2})^2$ следует, что вершина параболы находится в точке с координатами $(\frac{19}{4}, -\frac{3}{2})$ или $(4.75, -1.5)$.
Ответ: Уравнение задает параболу с вершиной в точке $(4.75, -1.5)$ и ветвями, направленными вправо.

3) Уравнение $x^2+y^2-8x+7=0$ содержит $x^2$ и $y^2$ с одинаковыми коэффициентами, что является признаком уравнения окружности. Приведем его к каноническому виду $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ путем выделения полных квадратов.
Сгруппируем слагаемые с $x$: $(x^2-8x) + y^2 + 7 = 0$.
Выделим полный квадрат для $x$: $(x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + y^2 + 7 = 0$.
$(x-4)^2 - 16 + y^2 + 7 = 0$.
$(x-4)^2 + y^2 - 9 = 0$.
$(x-4)^2 + y^2 = 9$.
Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $(a, b) = (4, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: Уравнение задает окружность с центром в точке $(4, 0)$ и радиусом $3$.

4) Уравнение $xy=2$ можно представить в виде $y=\frac{2}{x}$. Это каноническое уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=2$ положителен.
Асимптотами данной гиперболы являются оси координат: прямая $x=0$ (ось Oy) и прямая $y=0$ (ось Ox).
Ответ: Уравнение задает гиперболу с асимптотами, совпадающими с осями координат, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах.