Номер 1.4, страница 18 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.4. Постройте графики уравнений:

1) $x^2+y^2=16;$

2) $(x-3)^2+(y-1)^2=9;$

3) $(x+2)^2+y^2=4;$

4) $y=(x-2)^2-1;$

5) $y=x^2-4x+3;$

6) $y=x^2-2.$

1)Уравнение $x^2+y^2=16$ представляет собой каноническое уравнение окружности вида $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.В данном случае уравнение можно записать как $(x-0)^2+(y-0)^2=4^2$.Отсюда следует, что центр окружности находится в начале координат, точке $(0, 0)$, а ее радиус равен $R=4$.График этой окружности показан на рисунке ниже.


Ответ: Графиком является окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 4.

2)Уравнение $(x-3)^2+(y-1)^2=9$ также является уравнением окружности вида $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.Его можно переписать как $(x-3)^2+(y-1)^2=3^2$.Из этой формы видно, что центр окружности находится в точке $(a, b) = (3, 1)$, а радиус равен $R=3$.


Ответ: Графиком является окружность с центром в точке $(3, 1)$ и радиусом 3.

3)Уравнение $(x+2)^2+y^2=4$ — это уравнение окружности. Перепишем его в каноническом виде $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$:$(x-(-2))^2+(y-0)^2=2^2$.Отсюда видно, что центр окружности находится в точке $(a, b) = (-2, 0)$, а ее радиус $R=2$.


Ответ: Графиком является окружность с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом 2.

4)Уравнение $y=(x-2)^2-1$ задает параболу. Оно представлено в виде $y=a(x-h)^2+k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.В данном случае $a=1$, $h=2$, $k=-1$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.Поскольку коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.Найдем точки пересечения с осями:При $x=0$, $y=(0-2)^2-1 = 4-1=3$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 3)$.При $y=0$, $0=(x-2)^2-1 \Rightarrow (x-2)^2=1 \Rightarrow x-2=\pm 1$. Отсюда $x_1=1$, $x_2=3$. Точки пересечения с осью OX: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.


Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(2, -1)$, ветви которой направлены вверх.

5)Уравнение $y=x^2-4x+3$ задает параболу вида $y=ax^2+bx+c$. Для построения графика найдем координаты ее вершины $(x_v, y_v)$.Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.Ордината вершины: $y_v = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$. Так как $a=1>0$, ветви параболы направлены вверх.Можно заметить, что это та же парабола, что и в предыдущем задании, если выделить полный квадрат:$y = x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1$.График идентичен графику из пункта 4.


Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(2, -1)$, ветви которой направлены вверх.

6)Уравнение $y=x^2-2$ задает параболу. Это график стандартной параболы $y=x^2$, смещенный на 2 единицы вниз по оси OY.Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$, а ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный).Найдем точки пересечения с осью OX: при $y=0$, $x^2-2=0 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$. Точки пересечения: $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.


Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(0, -2)$, ветви которой направлены вверх.