Страница 17 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие уравнения называются уравнениями с несколькими переменными? Приведите пример.

2. Как определить степень уравнения? Приведите пример.

3. Напишите общий вид линейного уравнения с двумя переменными и уравнения второй степени.

Линейное уравнение с двумя переменными: $Ax + By + C = 0$

Уравнение второй степени: $ax^2 + bx + c = 0$

4. Каков геометрический смысл уравнений с двумя переменными?

5. Что значит решить уравнение с двумя переменными?

1. Какие уравнения называются уравнениями с несколькими переменными? Приведите пример.
Уравнениями с несколькими переменными называют уравнения, которые содержат две или более неизвестные величины (переменные). Равенство в таких уравнениях обращается в верное числовое равенство не для любых, а только для определённых наборов значений этих переменных. Решением такого уравнения является упорядоченный набор чисел.
Например, уравнение с двумя переменными $x$ и $y$: $2x - 5y = 10$. Его решением является, например, пара чисел $(5; 0)$.
Другой пример — уравнение с тремя переменными $x, y, z$: $x + y + z = 6$. Его решением является, например, тройка чисел $(1; 2; 3)$.
Ответ:

2. Как определить степень уравнения? Приведите пример.
Степень уравнения с несколькими переменными определяется после того, как его приводят к виду $P(x, y, ...) = 0$, где $P$ — многочлен, записанный в стандартном виде. Степенью такого уравнения называют наибольшую из степеней его членов. Степенью члена многочлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.
Например, рассмотрим уравнение $4x^2y^3 - 7xy^5 + 2x - 1 = 0$.
Степень члена $4x^2y^3$ равна $2+3=5$.
Степень члена $-7xy^5$ равна $1+5=6$.
Степень члена $2x$ равна $1$.
Наибольшая из этих степеней равна 6, следовательно, данное уравнение является уравнением шестой степени.
Ответ:

3. Напишите общий вид линейного уравнения с двумя переменными и уравнения второй степени.
Общий вид линейного уравнения (уравнения первой степени) с двумя переменными $x$ и $y$ следующий:
$ax + by + c = 0$
где $a, b, c$ — некоторые числа (коэффициенты), причём хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю.

Общий вид уравнения второй степени с двумя переменными $x$ и $y$ следующий:
$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$
где $a, b, c, d, e, f$ — коэффициенты, причём хотя бы один из коэффициентов $a, b$ или $c$ отличен от нуля.
Ответ:

4. Каков геометрический смысл уравнений с двумя переменными?
Геометрический смысл уравнения с двумя переменными состоит в том, что множество всех его решений, то есть всех пар чисел $(x; y)$, которые удовлетворяют этому уравнению, образует на координатной плоскости Oxy некоторую линию (кривую). Эту линию называют графиком данного уравнения. Каждая точка, лежащая на этой линии, имеет координаты, являющиеся решением уравнения, и наоборот, каждая пара чисел, являющаяся решением уравнения, представляет собой координаты некоторой точки на этой линии.
Например, графиком линейного уравнения $ax+by+c=0$ является прямая, а графиком уравнения $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ является окружность.
Ответ:

5. Что значит решить уравнение с двумя переменными?
Решением уравнения с двумя переменными, например $x$ и $y$, называется любая упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство. Как правило, таких пар бесконечно много.
Решить уравнение с двумя переменными — это значит найти множество всех его решений. Это множество можно описать аналитически (например, выразив одну переменную через другую: $y = f(x)$) или представить графически, построив график этого уравнения на координатной плоскости. Например, для уравнения $x - y = 3$ решением будет множество всех пар вида $(k; k-3)$, где $k$ - любое число. Геометрически это множество представляет собой прямую линию.
Ответ:

Практическая работа

Дана точка C(4;3).

а) Постройте окружность с центром в точке C и проходящую через начало координат.

б) Измерьте линейкой радиус окружности.

в) Проверьте точность измерения аналитическим способом, т.е. найдите радиус окружности с помощью формулы нахождения расстояния между двумя точками. ($R = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$). Для точки C(4;3) и начала координат (0;0) радиус $R$ будет равен $R = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

г) Напишите уравнение окружности. ($ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 $). Для данной окружности уравнение будет $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 5^2$ или $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 25$.

д) Раскройте скобки в полученном уравнении окружности и запишите ее в виде уравнения 2-го порядка. Сделайте вывод о свободном члене полученного уравнения. Обоснуйте ответ.

Раскрытие скобок: $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 25$ преобразуется в $x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 25$.

После упрощения: $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 + 9 - 25 = 0$, что приводит к уравнению $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$.

а) Для построения окружности необходимо сначала построить систему координат. Затем отметить на ней центр окружности — точку $C(4; 3)$. Поскольку окружность проходит через начало координат — точку $O(0; 0)$, — радиус окружности будет равен расстоянию между точками $C$ и $O$. Соединив эти точки и используя полученное расстояние как радиус, строим окружность с помощью циркуля.

Ответ: Построение представлено на рисунке выше.

б) Этот пункт предполагает практическое измерение. Если построить чертеж в масштабе, где 1 единица равна 1 см, то измерение линейкой расстояния от центра $C$ до начала координат $O$ даст результат примерно 5 см.

Ответ: $R \approx 5$ единиц.

в) Радиус окружности $R$ — это расстояние между ее центром $C(x_C; y_C) = C(4; 3)$ и точкой на окружности, в данном случае началом координат $O(x_O; y_O) = O(0; 0)$. Найдем это расстояние по формуле расстояния между двумя точками:

$R = \sqrt{(x_C - x_O)^2 + (y_C - y_O)^2}$

Подставим координаты точек:

$R = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Аналитический расчет показывает, что точное значение радиуса равно 5. Этот результат подтверждает точность измерения, выполненного в пункте б).

Ответ: $R = 5$.

г) Уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Для нашей окружности центр $C(a; b) = (4; 3)$ и радиус $R = 5$. Подставим эти значения в формулу:

$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 5^2$

$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$

Ответ: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

д) Раскроем скобки в полученном уравнении, чтобы привести его к виду уравнения 2-го порядка. Используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) = 25$

$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9) = 25$

Сгруппируем члены и перенесем все в левую часть уравнения:

$x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 + 9 - 25 = 0$

$x^2 + y^2 - 8x - 6y + 25 - 25 = 0$

$x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$

Это и есть уравнение окружности в виде уравнения 2-го порядка.

Вывод о свободном члене: В полученном уравнении $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$ свободный член (константа, не умноженная на переменную) равен 0.

Обоснование: Общее уравнение кривой второго порядка, задающей окружность, имеет вид $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. Точка лежит на кривой, если ее координаты удовлетворяют уравнению. Поскольку наша окружность проходит через начало координат, точка $O(0; 0)$ принадлежит ей. Подставив координаты этой точки в общее уравнение, получаем: $0^2 + 0^2 + D \cdot 0 + E \cdot 0 + F = 0$, что упрощается до $F = 0$. Таким образом, свободный член любого уравнения окружности, проходящей через начало координат, всегда равен нулю.Это также можно проверить через параметры нашей окружности: $F = a^2 + b^2 - R^2 = 4^2 + 3^2 - 5^2 = 16 + 9 - 25 = 0$.

Ответ: Уравнение 2-го порядка: $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$. Свободный член равен 0. Обоснование: так как окружность проходит через начало координат (точку (0;0)), подстановка этих координат в общее уравнение окружности $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ дает $F=0$.