Страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.41. Разложите многочлены на множители:

1) $x^3-4x;$

2) $x^3-10x^2+25x;$

3) $x^3+8;$

4) $y^3+12y^2+36y;$

5) $x^4-9;$

6) $x^3+10x^2-x-10;$

7) $z^5-1;$

8) $z^3-8z^2-2z+16.$

1) Для разложения многочлена $x^3-4x$ на множители сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^3-4x = x(x^2-4)$.
Выражение в скобках $x^2-4$ является разностью квадратов, так как $4=2^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$x^2-4 = x^2-2^2 = (x-2)(x+2)$.
Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:
$x(x-2)(x+2)$.
Ответ: $x(x-2)(x+2)$.

2) В многочлене $x^3-10x^2+25x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^3-10x^2+25x = x(x^2-10x+25)$.
Выражение в скобках $x^2-10x+25$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=x$ и $b=5$:
$x^2-10x+25 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x-5)^2$.
Следовательно, разложение многочлена:
$x(x-5)^2$.
Ответ: $x(x-5)^2$.

3) Многочлен $x^3+8$ является суммой кубов, так как $8=2^3$. Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=x$ и $b=2$:
$x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2)$.
Упростив выражение, получим:
$(x+2)(x^2-2x+4)$.
Ответ: $(x+2)(x^2-2x+4)$.

4) Для разложения многочлена $y^3+12y^2+36y$ на множители вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y^3+12y^2+36y = y(y^2+12y+36)$.
Выражение в скобках $y^2+12y+36$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, где $a=y$ и $b=6$:
$y^2+12y+36 = y^2+2 \cdot y \cdot 6 + 6^2 = (y+6)^2$.
Таким образом, разложение имеет вид:
$y(y+6)^2$.
Ответ: $y(y+6)^2$.

5) Многочлен $x^4-9$ можно представить как разность квадратов, так как $x^4=(x^2)^2$ и $9=3^2$. Используем формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=x^2$ и $b=3$:
$x^4-9 = (x^2)^2 - 3^2 = (x^2-3)(x^2+3)$.
В рамках разложения на множители с целыми коэффициентами это является окончательным ответом.
Ответ: $(x^2-3)(x^2+3)$.

6) Для разложения многочлена $x^3+10x^2-x-10$ применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(x^3+10x^2) + (-x-10)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x+10) - 1(x+10)$.
Теперь вынесем общий множитель $(x+10)$ за скобки:
$(x+10)(x^2-1)$.
Выражение $x^2-1$ является разностью квадратов. Разложим его по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
Окончательное разложение:
$(x+10)(x-1)(x+1)$.
Ответ: $(x+10)(x-1)(x+1)$.

7) Многочлен $z^5-1$ является разностью пятых степеней. Для разложения используем формулу $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$. В нашем случае $a=z$, $b=1$, $n=5$:
$z^5-1 = (z-1)(z^4+z^3 \cdot 1+z^2 \cdot 1^2+z \cdot 1^3+1^4)$.
Упрощая, получаем:
$(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)$.
Многочлен $z^4+z^3+z^2+z+1$ является неприводимым над полем рациональных чисел.
Ответ: $(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)$.

8) Для разложения многочлена $z^3-8z^2-2z+16$ используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(z^3-8z^2) + (-2z+16)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$z^2(z-8) - 2(z-8)$.
Теперь вынесем общий множитель $(z-8)$ за скобки:
$(z-8)(z^2-2)$.
Это является окончательным разложением на множители с целыми коэффициентами.
Ответ: $(z-8)(z^2-2)$.

0.42. Покажите, что числа 1 и $\frac{c}{a}$ являются корнями уравнения $ax^2+bx+c=0$, если $a+b+c=0$.

Чтобы доказать, что указанные числа являются корнями уравнения, необходимо подставить их в уравнение и проверить, обращается ли оно в верное равенство, используя заданное условие.

Проверка для корня $x = 1$

Подставим значение $x = 1$ в левую часть квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$a \cdot (1)^2 + b \cdot (1) + c = a \cdot 1 + b + c = a+b+c$.

Согласно условию задачи, сумма коэффициентов равна нулю: $a+b+c=0$.

Следовательно, при подстановке $x=1$ мы получаем $0=0$, что является верным равенством. Это доказывает, что $x=1$ является корнем данного уравнения.

Ответ: Число 1 является корнем уравнения, так как при подстановке его в уравнение $ax^2+bx+c$ получается выражение $a+b+c$, которое по условию равно 0.

Проверка для корня $x = \frac{c}{a}$

Доказательство можно провести двумя способами.

Способ 1: Прямая подстановка

Подставим значение $x = \frac{c}{a}$ в левую часть уравнения (при этом $a \neq 0$, что является обязательным условием для квадратного уравнения):

$a \cdot (\frac{c}{a})^2 + b \cdot (\frac{c}{a}) + c = a \cdot \frac{c^2}{a^2} + \frac{bc}{a} + c = \frac{c^2}{a} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{a}$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $a$ и вынесем $c$ за скобки в числителе:

$\frac{c^2 + bc + ac}{a} = \frac{c(c+b+a)}{a}$.

Так как по условию $a+b+c=0$, то числитель дроби равен $c \cdot 0 = 0$.

В результате получаем $\frac{0}{a} = 0$. Левая часть уравнения равна правой ($0=0$), следовательно, $x=\frac{c}{a}$ также является корнем уравнения.

Способ 2: Использование теоремы Виета

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно свободному члену:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Мы уже доказали, что один из корней, пусть $x_1$, равен 1. Подставим это значение в формулу:

$1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Отсюда следует, что второй корень $x_2$ равен $\frac{c}{a}$.

Ответ: Число $\frac{c}{a}$ является корнем уравнения, что доказывается как прямой подстановкой с использованием условия $a+b+c=0$, так и с помощью теоремы Виета, зная, что один из корней равен 1.

0.43. Покажите, что числа -1 и $-\frac{c}{a}$ являются корнями уравнения $ax^2+bx+c=0$, если $a-b+c=0$.

Для того чтобы показать, что указанные числа являются корнями уравнения, необходимо подставить их в уравнение $ax^2+bx+c=0$ и убедиться, что получается верное равенство (то есть 0), используя заданное условие $a-b+c=0$.

Проверка для корня $x = -1$

Подставим значение $x=-1$ в левую часть уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$a(-1)^2 + b(-1) + c = a \cdot 1 - b + c = a - b + c$.

Согласно условию задачи, мы знаем, что $a-b+c=0$.

Следовательно, при подстановке $x=-1$ левая часть уравнения обращается в ноль, что доказывает, что $x=-1$ является корнем уравнения.

Ответ: Число $-1$ является корнем уравнения.

Проверка для корня $x = -\frac{c}{a}$

Подставим значение $x = -\frac{c}{a}$ в левую часть уравнения $ax^2+bx+c=0$. (Заметим, что это возможно, так как в квадратном уравнении коэффициент $a \neq 0$).

$a\left(-\frac{c}{a}\right)^2 + b\left(-\frac{c}{a}\right) + c = a\left(\frac{c^2}{a^2}\right) - \frac{bc}{a} + c = \frac{ac^2}{a^2} - \frac{bc}{a} + c = \frac{c^2}{a} - \frac{bc}{a} + \frac{ac}{a}$.

Приведем выражение к общему знаменателю $a$:

$\frac{c^2 - bc + ac}{a} = \frac{c(c-b+a)}{a}$.

Из условия задачи $a-b+c=0$. Подставим это в числитель дроби:

$\frac{c(0)}{a} = \frac{0}{a} = 0$.

Следовательно, при подстановке $x=-\frac{c}{a}$ левая часть уравнения также обращается в ноль. Это доказывает, что $x=-\frac{c}{a}$ является вторым корнем уравнения.

Ответ: Число $-\frac{c}{a}$ является корнем уравнения.

0.44. Найдите промежутки знакопостоянства функций:

1) $y=x-2;$

2) $y=2-3x;$

3) $y=x^2-3x+2;$

4) $y=-3x^2+5x-2;$

5) $y=(3x-10)(x+6);$

6) $y=\frac{6-x}{x};$

7) $y=\frac{4+2x}{5+x};$

8) $y=\frac{6}{(x-1)(x+8)}.$

1) Дана функция $y=x-2$.

Это линейная функция, область определения которой — все действительные числа, $D(y)=(-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $y=0$: $x-2=0$, откуда $x=2$.

Точка $x=2$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знак функции на каждом промежутке.
При $x \in (-\infty; 2)$, например при $x=0$, имеем $y=0-2=-2 < 0$.
При $x \in (2; +\infty)$, например при $x=3$, имеем $y=3-2=1 > 0$.

Таким образом, функция отрицательна при $x \in (-\infty; 2)$ и положительна при $x \in (2; +\infty)$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (2; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 2)$.

2) Дана функция $y=2-3x$.

Это линейная функция, $D(y)=(-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции: $2-3x=0$, откуда $3x=2$, $x=\frac{2}{3}$.

Точка $x=\frac{2}{3}$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

Определим знак функции:
При $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$, например при $x=0$, имеем $y=2-3(0)=2 > 0$.
При $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$, например при $x=1$, имеем $y=2-3(1)=-1 < 0$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$; $y<0$ при $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

3) Дана функция $y=x^2-3x+2$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1>0$). $D(y)=(-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2-3x+2=0$.
По теореме Виета, корни уравнения $x_1=1$ и $x_2=2$.

Нули функции $x=1$ и $x=2$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция положительна вне корней и отрицательна между корнями.

Следовательно, $y>0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$ и $y<0$ при $x \in (1; 2)$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (1; 2)$.

4) Дана функция $y=-3x^2+5x-2$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-3<0$). $D(y)=(-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $-3x^2+5x-2=0$. Умножим на -1: $3x^2-5x+2=0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $x_2 = \frac{5+1}{6} = 1$.

Нули функции $x=\frac{2}{3}$ и $x=1$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция отрицательна вне корней и положительна между корнями.

Следовательно, $y>0$ при $x \in (\frac{2}{3}; 1)$ и $y<0$ при $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (\frac{2}{3}; 1)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (1; +\infty)$.

5) Дана функция $y=(3x-10)(x+6)$.

Это квадратичная функция, $y=3x^2+8x-60$. График — парабола с ветвями, направленными вверх. $D(y)=(-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции из уравнения $(3x-10)(x+6)=0$.
$3x-10=0 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$.
$x+6=0 \Rightarrow x = -6$.

Нули функции $x=-6$ и $x=\frac{10}{3}$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -6)$, $(-6; \frac{10}{3})$ и $(\frac{10}{3}; +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция положительна вне корней и отрицательна между корнями.

Следовательно, $y>0$ при $x \in (-\infty; -6) \cup (\frac{10}{3}; +\infty)$ и $y<0$ при $x \in (-6; \frac{10}{3})$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; -6) \cup (\frac{10}{3}; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-6; \frac{10}{3})$.

6) Дана функция $y = \frac{6-x}{x}$.

Это дробно-рациональная функция. Найдем область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем нули функции, приравняв числитель к нулю: $6-x=0$, откуда $x=6$.

Точки $x=0$ (точка разрыва) и $x=6$ (нуль функции) делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 6)$ и $(6; +\infty)$.

Определим знак функции на каждом промежутке методом интервалов:
При $x \in (-\infty; 0)$, например при $x=-1$, $y = \frac{6-(-1)}{-1} = \frac{7}{-1} = -7 < 0$.
При $x \in (0; 6)$, например при $x=1$, $y = \frac{6-1}{1} = 5 > 0$.
При $x \in (6; +\infty)$, например при $x=7$, $y = \frac{6-7}{7} = -\frac{1}{7} < 0$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (0; 6)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$.

7) Дана функция $y = \frac{4+2x}{5+x}$.

Это дробно-рациональная функция. Область определения: $5+x \neq 0$, т.е. $x \neq -5$. $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

Найдем нули функции: $4+2x=0$, откуда $2x=-4$, $x=-2$.

Точки $x=-5$ (точка разрыва) и $x=-2$ (нуль функции) делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -5)$, $(-5; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

Определим знак функции на каждом промежутке методом интервалов:
При $x \in (-\infty; -5)$, например при $x=-6$, $y = \frac{4+2(-6)}{5-6} = \frac{-8}{-1} = 8 > 0$.
При $x \in (-5; -2)$, например при $x=-3$, $y = \frac{4+2(-3)}{5-3} = \frac{-2}{2} = -1 < 0$.
При $x \in (-2; +\infty)$, например при $x=0$, $y = \frac{4+0}{5+0} = \frac{4}{5} > 0$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-5; -2)$.

8) Дана функция $y = \frac{6}{(x-1)(x+8)}$.

Это дробно-рациональная функция. Область определения: $(x-1)(x+8) \neq 0$, т.е. $x \neq 1$ и $x \neq -8$. $D(y) = (-\infty; -8) \cup (-8; 1) \cup (1; +\infty)$.

Числитель дроби равен 6, он всегда положителен. Следовательно, знак функции $y$ совпадает со знаком знаменателя $g(x)=(x-1)(x+8)$.

Знаменатель является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями вверх, с нулями в точках $x=1$ и $x=-8$.

Точки разрыва $x=-8$ и $x=1$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -8)$, $(-8; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Знак знаменателя (и, соответственно, функции $y$):
При $x \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$, знаменатель положителен, значит $y>0$.
При $x \in (-8; 1)$, знаменатель отрицателен, значит $y<0$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-8; 1)$.

0.45. Для данных функций найдите область определения, область значений, нули, точки разрыва (если есть таковые), промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства и постройте их графики:

1) $y=x^2+2;$

2) $y=3-4x^2;$

3) $y=3x^2-6x+1;$

4) $y=\frac{5}{x-2};$

5) $y=\frac{x}{x+1};$

6) $y=\frac{x+1}{x};$

7) $y=\begin{cases} x-1, \text{если } x \ge 0 \\ -x^2, \text{если } x < 0 \end{cases};$

8) $y=\begin{cases} x^2, \text{если } x \ge 0 \\ \frac{1}{x-1}, \text{если } x < 0 \end{cases}.$

1) $y=x^2+2$

Область определения: Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; 2)$ ($x_в = -b/2a = 0$, $y_в = 0^2+2=2$). Следовательно, минимальное значение функции равно 2. Область значений: $E(y) = [2; +\infty)$.

Нули: Для нахождения нулей решим уравнение $y=0$: $x^2+2=0 \Rightarrow x^2=-2$. Данное уравнение не имеет действительных корней, поэтому у функции нет нулей.

Точки разрыва: Функция является многочленом и непрерывна на всей своей области определения. Точек разрыва нет.

Промежутки возрастания и убывания: Вершина параболы находится в точке $x=0$. Так как ветви направлены вверх, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Поскольку минимальное значение функции равно 2, она всегда положительна. $y>0$ при всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

График функции:

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[2; +\infty)$. Нулей нет. Точек разрыва нет. Убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$. $y>0$ на $(-\infty; +\infty)$.

2) $y=3-4x^2$

Область определения: Функция является многочленом. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: График - парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-4<0$). Вершина в точке $(0; 3)$. Максимальное значение функции равно 3. $E(y) = (-\infty; 3]$.

Нули: $3-4x^2=0 \Rightarrow 4x^2=3 \Rightarrow x^2 = 3/4 \Rightarrow x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. Нули: $x_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}, x_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Точки разрыва: Функция непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

Промежутки возрастания и убывания: Вершина в $x=0$. Функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Ветви параболы направлены вниз. $y>0$ между корнями: $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$. $y<0$ вне этого интервала: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)$.

График функции:

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 3]$. Нули: $x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. Точек разрыва нет. Возрастает на $(-\infty; 0]$, убывает на $[0; +\infty)$. $y>0$ на $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $y<0$ на $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)$.

3) $y=3x^2-6x+1$

Область определения: Многочлен, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: Парабола, ветви вверх ($a=3>0$). Вершина: $x_в = -(-6)/(2 \cdot 3) = 1$. $y_в = 3(1)^2 - 6(1) + 1 = -2$. Точка вершины $(1; -2)$. $E(y) = [-2; +\infty)$.

Нули: $3x^2-6x+1=0$. $D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24$. $x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Точки разрыва: Нет, функция непрерывна.

Промежутки возрастания и убывания: Вершина в $x=1$. Убывает на $(-\infty; 1]$, возрастает на $[1; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Ветви вверх. $y>0$ при $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (1 + \frac{\sqrt{6}}{3}; +\infty)$. $y<0$ при $x \in (1 - \frac{\sqrt{6}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{6}}{3})$.

График функции:

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-2; +\infty)$. Нули: $x = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$. Точек разрыва нет. Убывает на $(-\infty; 1]$, возрастает на $[1; +\infty)$. $y>0$ на $(-\infty; 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (1 + \frac{\sqrt{6}}{3}; +\infty)$, $y<0$ на $(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{6}}{3})$.

4) $y = \frac{5}{x-2}$

Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Область значений: Дробь не может быть равна нулю, так как числитель 5. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Нули: Уравнение $\frac{5}{x-2}=0$ не имеет решений. Нулей нет.

Точки разрыва: Функция не определена в точке $x=2$. Это точка разрыва II рода (вертикальная асимптота).

Промежутки возрастания и убывания: Производная $y' = -\frac{5}{(x-2)^2} < 0$ для всех $x$ из области определения. Функция убывает на каждом из интервалов: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Нулей нет. Знак зависит от знаменателя. Если $x>2$, то $x-2>0$ и $y>0$. Если $x<2$, то $x-2<0$ и $y<0$.

График функции: Гипербола с асимптотами $x=2$ и $y=0$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Нулей нет. Точка разрыва: $x=2$. Убывает на $(-\infty; 2)$ и на $(2; +\infty)$. $y>0$ на $(2; +\infty)$, $y<0$ на $(-\infty; 2)$.

5) $y = \frac{x}{x+1}$

Область определения: $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Область значений: Преобразуем функцию: $y = \frac{x+1-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$. Так как $\frac{1}{x+1} \neq 0$, то $y \neq 1$. $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Нули: $\frac{x}{x+1}=0 \Rightarrow x=0$.

Точки разрыва: Точка разрыва II рода (вертикальная асимптота) при $x=-1$.

Промежутки возрастания и убывания: Производная $y' = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} > 0$. Функция возрастает на $(-\infty; -1)$ и на $(-1; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Методом интервалов (точки $-1$ и $0$). $y>0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$. $y<0$ при $x \in (-1; 0)$.

График функции: Гипербола с асимптотами $x=-1$ и $y=1$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Нуль: $x=0$. Точка разрыва: $x=-1$. Возрастает на $(-\infty; -1)$ и на $(-1; +\infty)$. $y>0$ на $(-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$, $y<0$ на $(-1; 0)$.

6) $y = \frac{x+1}{x}$

Область определения: $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений: $y = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$. Так как $\frac{1}{x} \neq 0$, то $y \neq 1$. $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Нули: $\frac{x+1}{x}=0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

Точки разрыва: Точка разрыва II рода (вертикальная асимптота) при $x=0$.

Промежутки возрастания и убывания: Производная $y' = -\frac{1}{x^2} < 0$. Функция убывает на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Методом интервалов (точки $-1$ и $0$). $y>0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$. $y<0$ при $x \in (-1; 0)$.

График функции: Гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=1$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Нуль: $x=-1$. Точка разрыва: $x=0$. Убывает на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$. $y>0$ на $(-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$, $y<0$ на $(-1; 0)$.

7) $y = \begin{cases} x-1, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: При $x < 0$, $y = -x^2 \in (-\infty; 0)$. При $x \ge 0$, $y = x-1 \in [-1; +\infty)$. Объединяя, получаем $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Нули: При $x \ge 0$, $x-1=0 \Rightarrow x=1$. При $x<0$, $-x^2=0 \Rightarrow x=0$, что не входит в интервал. Единственный нуль: $x=1$.

Точки разрыва: На стыке в точке $x=0$: $\lim_{x\to0^-} y = \lim_{x\to0^-} (-x^2) = 0$. $y(0) = 0-1 = -1$. $\lim_{x\to0^+} y = \lim_{x\to0^+} (x-1) = -1$. Так как $\lim_{x\to0^-} y \neq y(0)$, в точке $x=0$ разрыв I рода (скачок).

Промежутки возрастания и убывания: При $x<0$, $y'=-2x > 0$, функция возрастает. При $x>0$, $y'=1 > 0$, функция возрастает. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и на $[0; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$, так как $y=-x^2<0$. $y<0$ при $x \in [0; 1)$, так как $y=x-1<0$. $y=0$ при $x=1$. $y>0$ при $x \in (1; +\infty)$. Итого, $y<0$ на $(-\infty; 1)$, $y>0$ на $(1; +\infty)$.

График функции:

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Нуль: $x=1$. Точка разрыва: $x=0$. Возрастает на $(-\infty; 0)$ и на $[0; +\infty)$. $y<0$ на $(-\infty; 1)$, $y>0$ на $(1; +\infty)$.

8) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ \frac{1}{x-1}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Область определения: Для $x \ge 0$ функция определена. Для $x < 0$, знаменатель $x-1$ не равен нулю (он всегда меньше -1). $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: При $x \ge 0$, $y=x^2 \in [0; +\infty)$. При $x<0$, $x-1 \in (-\infty; -1)$, тогда $y = \frac{1}{x-1} \in (-1; 0)$. Объединяя, получаем $E(y) = (-1; +\infty)$.

Нули: При $x \ge 0$, $x^2=0 \Rightarrow x=0$. При $x<0$, $\frac{1}{x-1}=0$ не имеет решений. Единственный нуль: $x=0$.

Точки разрыва: На стыке в точке $x=0$: $\lim_{x\to0^-} y = \lim_{x\to0^-} \frac{1}{x-1} = -1$. $y(0) = 0^2 = 0$. $\lim_{x\to0^+} y = \lim_{x\to0^+} x^2 = 0$. Так как $\lim_{x\to0^-} y \neq y(0)$, в точке $x=0$ разрыв I рода (скачок).

Промежутки возрастания и убывания: При $x<0$, $y' = -\frac{1}{(x-1)^2} < 0$, функция убывает. При $x>0$, $y'=2x > 0$, функция возрастает. Убывает на $(-\infty; 0)$, возрастает на $[0; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: При $x<0$, $x-1<0$, поэтому $y=\frac{1}{x-1}<0$. При $x>0$, $y=x^2>0$. При $x=0$, $y=0$. Итак, $y<0$ на $(-\infty; 0)$, $y>0$ на $(0; +\infty)$.

График функции:

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-1; +\infty)$. Нуль: $x=0$. Точка разрыва: $x=0$. Убывает на $(-\infty; 0)$, возрастает на $[0; +\infty)$. $y<0$ на $(-\infty; 0)$, $y>0$ на $(0; +\infty)$.

0.46. При каких значениях $a$ все решения неравенства $x^2-(a^2-2a-3)x-a^3+3a+2 \le 0$ лежат на отрезке $[-2; 4]$?

Пусть $f(x) = x^2 - (a^2 - 2a - 3)x - a^3 + 3a + 2$. Неравенство имеет вид $f(x) \le 0$.Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), ветви параболы $y=f(x)$ направлены вверх.Решением неравенства $f(x) \le 0$ является отрезок, концами которого являются корни уравнения $f(x)=0$. Обозначим эти корни $x_1$ и $x_2$.Чтобы все решения неравенства лежали на отрезке $[-2; 4]$, необходимо и достаточно, чтобы отрезок, являющийся решением (то есть отрезок между корнями), был подмножеством отрезка $[-2; 4]$. Это, в свою очередь, равносильно тому, что оба корня $x_1$ и $x_2$ принадлежат отрезку $[-2; 4]$.

Найдем корни уравнения $x^2 - (a^2 - 2a - 3)x - (a^3 - 3a - 2) = 0$.Вычислим дискриминант $D$ этого квадратного уравнения относительно $x$:
$D = (-(a^2 - 2a - 3))^2 - 4(1)(-(a^3 - 3a - 2)) = (a^2 - 2a - 3)^2 + 4(a^3 - 3a - 2)$.
Разложим на множители выражения с параметром $a$, входящие в дискриминант:
$a^2 - 2a - 3 = (a-3)(a+1)$.
$a^3 - 3a - 2 = (a+1)^2(a-2)$.
Подставим эти выражения в формулу для дискриминанта:
$D = ((a-3)(a+1))^2 + 4(a+1)^2(a-2) = (a+1)^2 \cdot [(a-3)^2 + 4(a-2)]$
$D = (a+1)^2 \cdot [a^2 - 6a + 9 + 4a - 8] = (a+1)^2 \cdot (a^2 - 2a + 1) = (a+1)^2(a-1)^2 = ((a+1)(a-1))^2 = (a^2-1)^2$.

Так как $D=(a^2-1)^2 \ge 0$ при всех действительных $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.Найдем корни $x_1$ и $x_2$:
$x = \frac{(a^2 - 2a - 3) \pm \sqrt{(a^2-1)^2}}{2} = \frac{a^2 - 2a - 3 \pm (a^2-1)}{2}$.
$x_1 = \frac{a^2 - 2a - 3 - (a^2-1)}{2} = \frac{-2a-2}{2} = -a-1$.
$x_2 = \frac{a^2 - 2a - 3 + (a^2-1)}{2} = \frac{2a^2 - 2a - 4}{2} = a^2-a-2$.

Условие того, что все решения лежат на отрезке $[-2; 4]$, означает, что оба корня должны принадлежать этому отрезку. Запишем это в виде системы неравенств:$$ \begin{cases} -2 \le -a-1 \le 4 \\ -2 \le a^2-a-2 \le 4 \end{cases} $$

Решим первое двойное неравенство: $-2 \le -a-1 \le 4$.
Из $-2 \le -a-1$ следует $a \le -1+2$, то есть $a \le 1$.
Из $-a-1 \le 4$ следует $-a \le 5$, то есть $a \ge -5$.
Таким образом, решение первого неравенства: $a \in [-5; 1]$.

Решим второе двойное неравенство: $-2 \le a^2-a-2 \le 4$.
Оно равносильно системе из двух неравенств:
1) $a^2-a-2 \ge -2 \implies a^2-a \ge 0 \implies a(a-1) \ge 0$. Решением является $a \in (-\infty; 0] \cup [1; \infty)$.
2) $a^2-a-2 \le 4 \implies a^2-a-6 \le 0$. Корни квадратного трехчлена $a^2-a-6$ равны -2 и 3. Неравенство $(a+2)(a-3) \le 0$ имеет решение $a \in [-2; 3]$.
Пересекая эти два множества решений, получаем: $a \in ((-\infty; 0] \cup [1; \infty)) \cap [-2; 3] = [-2; 0] \cup [1; 3]$.

Теперь найдем пересечение решений для обоих двойных неравенств, чтобы найти итоговое множество значений $a$:
$a \in [-5; 1] \cap ([-2; 0] \cup [1; 3])$.
Пересечение $a \in [-5; 1]$ с $a \in [-2; 0]$ дает отрезок $a \in [-2; 0]$.
Пересечение $a \in [-5; 1]$ с $a \in [1; 3]$ дает точку $a = 1$.
Объединяя полученные результаты, находим искомые значения параметра $a$: $a \in [-2; 0] \cup \{1\}$.
Ответ: $a \in [-2; 0] \cup \{1\}$.

0.47. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 + x - 6 < 0, \\ -x^2 + 2x + 3 > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 4x - 5 > 0, \\ x^2 - 2x - 8 < 0. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + x - 6 < 0 \\ -x^2 + 2x + 3 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство: $x^2 + x - 6 < 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Используя теорему Виета, имеем:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases} $

Отсюда находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Неравенство $x^2 + x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-3, 2)$.

Второе неравенство: $-x^2 + 2x + 3 > 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -3 \end{cases} $

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 - 2x - 3 < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-1, 3)$.

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $x \in (-3, 2) \cap (-1, 3)$.

Изобразим интервалы решений на числовой оси. Решение первого неравенства $x \in (-3, 2)$ показано синим цветом, а решение второго $x \in (-1, 3)$ — красным. Общая область (пересечение) является решением системы.

Пересечением интервалов является интервал $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 2)$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 4x - 5 > 0 \\ x^2 - 2x - 8 < 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство: $x^2 + 4x - 5 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_1 \cdot x_2 = -5 \end{cases} $

Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 5$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Неравенство $x^2 + 4x - 5 > 0$ выполняется за пределами интервала между корнями.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.

Второе неравенство: $x^2 - 2x - 8 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -8 \end{cases} $

Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Неравенство $x^2 - 2x - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-2, 4)$.

Найдем пересечение множеств решений: $x \in ((-\infty, -5) \cup (1, \infty)) \cap (-2, 4)$.

Изобразим множества решений на числовой оси. Решение первого неравенства $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$ показано синим цветом, а решение второго $x \in (-2, 4)$ — красным.

Пересечением множеств является интервал $(1, 4)$.

Ответ: $x \in (1, 4)$.

0.48. Равносильны ли неравенства:

1) $
\frac{x-3}{x+1} \ge 0$
$ и $
(x-3)(x+1) \ge 0$;

2) $
\frac{x+5}{x-8} < 0$
$ и $
(x+5)(x-8) < 0?

1)

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Найдем решения для каждого неравенства, чтобы их сравнить.

Решим первое неравенство $\frac{x-3}{x+1} \ge 0$ методом интервалов. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x+1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$. Нули числителя и знаменателя: $x=3$ и $x=-1$. Отметим эти точки на числовой оси: $x=3$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а $x=-1$ — выколотой (ОДЗ).

Выражение $\frac{x-3}{x+1}$ положительно при $x \in (-\infty, -1)$ и $x \in (3, \infty)$, и равно нулю при $x=3$. Таким образом, решение неравенства $\frac{x-3}{x+1} \ge 0$ есть $x \in (-\infty, -1) \cup [3, \infty)$.

Теперь решим второе неравенство $(x-3)(x+1) \ge 0$. Корни уравнения $(x-3)(x+1)=0$ — это $x=3$ и $x=-1$. Так как неравенство нестрогое, обе точки включаются в решение. Метод интервалов дает те же знаки, что и для дроби.

Решение неравенства $(x-3)(x+1) \ge 0$ есть $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

Сравнивая множества решений $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ и $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$, мы видим, что они отличаются. Второе множество содержит точку $x=-1$, а первое — нет. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: нет, неравенства не равносильны.

2)

Рассмотрим неравенства $\frac{x+5}{x-8} < 0$ и $(x+5)(x-8) < 0$.

Решим первое неравенство $\frac{x+5}{x-8} < 0$ методом интервалов. ОДЗ: $x \ne 8$. Нули числителя и знаменателя: $x=-5$ и $x=8$. Так как неравенство строгое, обе точки выкалываются на числовой оси.

Нас интересует интервал, где выражение отрицательно. Это интервал $(-5, 8)$. Решение: $x \in (-5, 8)$.

Решим второе неравенство $(x+5)(x-8) < 0$. Корни: $x=-5$ и $x=8$. Неравенство строгое, поэтому обе точки выколоты. Метод интервалов дает те же знаки. Решение также $x \in (-5, 8)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, $x \in (-5, 8)$, неравенства равносильны. Это верно в общем случае для строгих неравенств: $\frac{f(x)}{g(x)}<0$ равносильно $f(x)g(x)<0$, так как знак дроби и произведения совпадает, а нули в обоих случаях исключаются.

Ответ: да, неравенства равносильны.