Номер 0.43, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.43. Покажите, что числа -1 и $-\frac{c}{a}$ являются корнями уравнения $ax^2+bx+c=0$, если $a-b+c=0$.

Для того чтобы показать, что указанные числа являются корнями уравнения, необходимо подставить их в уравнение $ax^2+bx+c=0$ и убедиться, что получается верное равенство (то есть 0), используя заданное условие $a-b+c=0$.

Проверка для корня $x = -1$

Подставим значение $x=-1$ в левую часть уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$a(-1)^2 + b(-1) + c = a \cdot 1 - b + c = a - b + c$.

Согласно условию задачи, мы знаем, что $a-b+c=0$.

Следовательно, при подстановке $x=-1$ левая часть уравнения обращается в ноль, что доказывает, что $x=-1$ является корнем уравнения.

Ответ: Число $-1$ является корнем уравнения.

Проверка для корня $x = -\frac{c}{a}$

Подставим значение $x = -\frac{c}{a}$ в левую часть уравнения $ax^2+bx+c=0$. (Заметим, что это возможно, так как в квадратном уравнении коэффициент $a \neq 0$).

$a\left(-\frac{c}{a}\right)^2 + b\left(-\frac{c}{a}\right) + c = a\left(\frac{c^2}{a^2}\right) - \frac{bc}{a} + c = \frac{ac^2}{a^2} - \frac{bc}{a} + c = \frac{c^2}{a} - \frac{bc}{a} + \frac{ac}{a}$.

Приведем выражение к общему знаменателю $a$:

$\frac{c^2 - bc + ac}{a} = \frac{c(c-b+a)}{a}$.

Из условия задачи $a-b+c=0$. Подставим это в числитель дроби:

$\frac{c(0)}{a} = \frac{0}{a} = 0$.

Следовательно, при подстановке $x=-\frac{c}{a}$ левая часть уравнения также обращается в ноль. Это доказывает, что $x=-\frac{c}{a}$ является вторым корнем уравнения.

Ответ: Число $-\frac{c}{a}$ является корнем уравнения.