Номер 0.41, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.41. Разложите многочлены на множители:

1) $x^3-4x;$

2) $x^3-10x^2+25x;$

3) $x^3+8;$

4) $y^3+12y^2+36y;$

5) $x^4-9;$

6) $x^3+10x^2-x-10;$

7) $z^5-1;$

8) $z^3-8z^2-2z+16.$

1) Для разложения многочлена $x^3-4x$ на множители сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^3-4x = x(x^2-4)$.
Выражение в скобках $x^2-4$ является разностью квадратов, так как $4=2^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$x^2-4 = x^2-2^2 = (x-2)(x+2)$.
Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:
$x(x-2)(x+2)$.
Ответ: $x(x-2)(x+2)$.

2) В многочлене $x^3-10x^2+25x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^3-10x^2+25x = x(x^2-10x+25)$.
Выражение в скобках $x^2-10x+25$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=x$ и $b=5$:
$x^2-10x+25 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x-5)^2$.
Следовательно, разложение многочлена:
$x(x-5)^2$.
Ответ: $x(x-5)^2$.

3) Многочлен $x^3+8$ является суммой кубов, так как $8=2^3$. Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=x$ и $b=2$:
$x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2)$.
Упростив выражение, получим:
$(x+2)(x^2-2x+4)$.
Ответ: $(x+2)(x^2-2x+4)$.

4) Для разложения многочлена $y^3+12y^2+36y$ на множители вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y^3+12y^2+36y = y(y^2+12y+36)$.
Выражение в скобках $y^2+12y+36$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, где $a=y$ и $b=6$:
$y^2+12y+36 = y^2+2 \cdot y \cdot 6 + 6^2 = (y+6)^2$.
Таким образом, разложение имеет вид:
$y(y+6)^2$.
Ответ: $y(y+6)^2$.

5) Многочлен $x^4-9$ можно представить как разность квадратов, так как $x^4=(x^2)^2$ и $9=3^2$. Используем формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=x^2$ и $b=3$:
$x^4-9 = (x^2)^2 - 3^2 = (x^2-3)(x^2+3)$.
В рамках разложения на множители с целыми коэффициентами это является окончательным ответом.
Ответ: $(x^2-3)(x^2+3)$.

6) Для разложения многочлена $x^3+10x^2-x-10$ применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(x^3+10x^2) + (-x-10)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x+10) - 1(x+10)$.
Теперь вынесем общий множитель $(x+10)$ за скобки:
$(x+10)(x^2-1)$.
Выражение $x^2-1$ является разностью квадратов. Разложим его по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
Окончательное разложение:
$(x+10)(x-1)(x+1)$.
Ответ: $(x+10)(x-1)(x+1)$.

7) Многочлен $z^5-1$ является разностью пятых степеней. Для разложения используем формулу $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$. В нашем случае $a=z$, $b=1$, $n=5$:
$z^5-1 = (z-1)(z^4+z^3 \cdot 1+z^2 \cdot 1^2+z \cdot 1^3+1^4)$.
Упрощая, получаем:
$(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)$.
Многочлен $z^4+z^3+z^2+z+1$ является неприводимым над полем рациональных чисел.
Ответ: $(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)$.

8) Для разложения многочлена $z^3-8z^2-2z+16$ используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(z^3-8z^2) + (-2z+16)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$z^2(z-8) - 2(z-8)$.
Теперь вынесем общий множитель $(z-8)$ за скобки:
$(z-8)(z^2-2)$.
Это является окончательным разложением на множители с целыми коэффициентами.
Ответ: $(z-8)(z^2-2)$.