Номер 0.48, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.48. Равносильны ли неравенства:

1) $
\frac{x-3}{x+1} \ge 0$
$ и $
(x-3)(x+1) \ge 0$;

2) $
\frac{x+5}{x-8} < 0$
$ и $
(x+5)(x-8) < 0?

1)

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Найдем решения для каждого неравенства, чтобы их сравнить.

Решим первое неравенство $\frac{x-3}{x+1} \ge 0$ методом интервалов. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x+1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$. Нули числителя и знаменателя: $x=3$ и $x=-1$. Отметим эти точки на числовой оси: $x=3$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а $x=-1$ — выколотой (ОДЗ).

Выражение $\frac{x-3}{x+1}$ положительно при $x \in (-\infty, -1)$ и $x \in (3, \infty)$, и равно нулю при $x=3$. Таким образом, решение неравенства $\frac{x-3}{x+1} \ge 0$ есть $x \in (-\infty, -1) \cup [3, \infty)$.

Теперь решим второе неравенство $(x-3)(x+1) \ge 0$. Корни уравнения $(x-3)(x+1)=0$ — это $x=3$ и $x=-1$. Так как неравенство нестрогое, обе точки включаются в решение. Метод интервалов дает те же знаки, что и для дроби.

Решение неравенства $(x-3)(x+1) \ge 0$ есть $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

Сравнивая множества решений $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ и $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$, мы видим, что они отличаются. Второе множество содержит точку $x=-1$, а первое — нет. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: нет, неравенства не равносильны.

2)

Рассмотрим неравенства $\frac{x+5}{x-8} < 0$ и $(x+5)(x-8) < 0$.

Решим первое неравенство $\frac{x+5}{x-8} < 0$ методом интервалов. ОДЗ: $x \ne 8$. Нули числителя и знаменателя: $x=-5$ и $x=8$. Так как неравенство строгое, обе точки выкалываются на числовой оси.

Нас интересует интервал, где выражение отрицательно. Это интервал $(-5, 8)$. Решение: $x \in (-5, 8)$.

Решим второе неравенство $(x+5)(x-8) < 0$. Корни: $x=-5$ и $x=8$. Неравенство строгое, поэтому обе точки выколоты. Метод интервалов дает те же знаки. Решение также $x \in (-5, 8)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, $x \in (-5, 8)$, неравенства равносильны. Это верно в общем случае для строгих неравенств: $\frac{f(x)}{g(x)}<0$ равносильно $f(x)g(x)<0$, так как знак дроби и произведения совпадает, а нули в обоих случаях исключаются.

Ответ: да, неравенства равносильны.