Номер 0.50, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.50.

1) $28x^3+3x^2+3x+1=0;$

2) $126x^3-3x^2+3x-1=0;$

3) $(x^2+4x)(x^2-6x+8)=(x^3-16x)(x^2+2x-8);$

4) $(x^2+5x)(x^2-3x-28)=(x^3-16x)(x^2-2x-35).$

1) Исходное уравнение: $28x^3+3x^2+3x+1=0$.
Это кубическое уравнение. Попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ – делитель свободного члена (1), а $q$ – делитель старшего коэффициента (28).
Так как все коэффициенты в уравнении положительны, действительные корни могут быть только отрицательными.
Проверим один из возможных корней, например, $x = -1/4$:
$28(-1/4)^3 + 3(-1/4)^2 + 3(-1/4) + 1 = 28(-1/64) + 3(1/16) - 3/4 + 1 = -28/64 + 3/16 - 3/4 + 1 = -7/16 + 3/16 - 12/16 + 16/16 = (-7+3-12+16)/16 = 0$.
Значит, $x = -1/4$ является корнем уравнения, а $(x+1/4)$ или, что то же самое, $(4x+1)$ является делителем многочлена $28x^3+3x^2+3x+1$.
Разделим многочлен на $(4x+1)$ столбиком:
$(28x^3+3x^2+3x+1) \div (4x+1) = 7x^2-x+1$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(4x+1)(7x^2-x+1)=0$.
Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1. $4x+1=0 \implies x_1 = -1/4$.
2. $7x^2-x+1=0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 1 - 28 = -27$.
Так как $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.
Следовательно, единственным действительным корнем исходного уравнения является $x = -1/4$.
Ответ: $x = -1/4$.

2) Исходное уравнение: $126x^3-3x^2+3x-1=0$.
Перепишем уравнение, представив $126x^3$ как $125x^3 + x^3$:
$125x^3 + x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$.
Сгруппируем члены: $125x^3 + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 0$.
Выражение в скобках является разложением куба разности $(x-1)^3$. А $125x^3$ можно представить как $(5x)^3$.
Уравнение принимает вид суммы кубов:
$(5x)^3 + (x-1)^3 = 0$.
Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$(5x + x-1)((5x)^2 - 5x(x-1) + (x-1)^2) = 0$.
$(6x-1)(25x^2 - (5x^2-5x) + (x^2-2x+1)) = 0$.
$(6x-1)(25x^2 - 5x^2 + 5x + x^2 - 2x + 1) = 0$.
$(6x-1)(21x^2 + 3x + 1) = 0$.
Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1. $6x-1=0 \implies x_1 = 1/6$.
2. $21x^2+3x+1=0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 21 \cdot 1 = 9 - 84 = -75$.
Так как $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.
Следовательно, единственным действительным корнем исходного уравнения является $x = 1/6$.
Ответ: $x = 1/6$.

3) Исходное уравнение: $(x^2+4x)(x^2-6x+8)=(x^3-16x)(x^2+2x-8)$.
Разложим на множители каждую часть уравнения.
Левая часть:$x^2+4x = x(x+4)$.
$x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$.
Левая часть равна $x(x+4)(x-2)(x-4)$.
Правая часть:$x^3-16x = x(x^2-16) = x(x-4)(x+4)$.
$x^2+2x-8 = (x+4)(x-2)$.
Правая часть равна $x(x-4)(x+4)(x+4)(x-2) = x(x+4)^2(x-2)(x-4)$.
Теперь уравнение имеет вид:
$x(x+4)(x-2)(x-4) = x(x+4)^2(x-2)(x-4)$.
Перенесем все в левую часть:
$x(x+4)(x-2)(x-4) - x(x+4)^2(x-2)(x-4) = 0$.
Вынесем общий множитель $x(x+4)(x-2)(x-4)$ за скобки:
$x(x+4)(x-2)(x-4)[1 - (x+4)] = 0$.
$x(x+4)(x-2)(x-4)(1 - x - 4) = 0$.
$x(x+4)(x-2)(x-4)(-x - 3) = 0$.
$-x(x+4)(x-2)(x-4)(x+3) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x=0$,
$x+4=0 \implies x=-4$,
$x-2=0 \implies x=2$,
$x-4=0 \implies x=4$,
$x+3=0 \implies x=-3$.
Корни уравнения: $-4, -3, 0, 2, 4$.
Ответ: $\{-4, -3, 0, 2, 4\}$.

4) Исходное уравнение: $(x^2+5x)(x^2-3x-28)=(x^3-16x)(x^2-2x-35)$.
Разложим на множители каждую часть уравнения.
Левая часть:
$x^2+5x = x(x+5)$.
$x^2-3x-28 = (x-7)(x+4)$.
Левая часть равна $x(x+5)(x-7)(x+4)$.
Правая часть:
$x^3-16x = x(x^2-16) = x(x-4)(x+4)$.
$x^2-2x-35 = (x-7)(x+5)$.
Правая часть равна $x(x-4)(x+4)(x-7)(x+5)$.
Теперь уравнение имеет вид:
$x(x+5)(x-7)(x+4) = x(x-4)(x+4)(x-7)(x+5)$.
Перенесем все в левую часть:
$x(x+5)(x-7)(x+4) - x(x-4)(x+4)(x-7)(x+5) = 0$.
Вынесем общий множитель $x(x+5)(x-7)(x+4)$ за скобки:
$x(x+5)(x-7)(x+4)[1 - (x-4)] = 0$.
$x(x+5)(x-7)(x+4)(1 - x + 4) = 0$.
$x(x+5)(x-7)(x+4)(5 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x=0$,
$x+5=0 \implies x=-5$,
$x-7=0 \implies x=7$,
$x+4=0 \implies x=-4$,
$5-x=0 \implies x=5$.
Корни уравнения: $-5, -4, 0, 5, 7$.
Ответ: $\{-5, -4, 0, 5, 7\}$.