Номер 0.52, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.52. Составьте такое биквадратное уравнение, чтобы числа $ \sqrt{2} $ и $ -\sqrt{3} $ были его корнями.

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$.

Важным свойством биквадратного уравнения является то, что если $x_0$ является его корнем, то и $-x_0$ также является его корнем. Это следует из того, что в уравнении переменная $x$ содержится только в четных степенях ($x^4$ и $x^2$), поэтому $a(-x_0)^4 + b(-x_0)^2 + c = ax_0^4 + bx_0^2 + c = 0$.

По условию, числа $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{3}$ являются корнями искомого биквадратного уравнения. Исходя из вышеупомянутого свойства, мы можем найти остальные корни. Раз $\sqrt{2}$ является корнем, то и $-\sqrt{2}$ также должен быть корнем. Аналогично, раз $-\sqrt{3}$ является корнем, то и $-(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}$ также должен быть корнем.

Таким образом, мы знаем все четыре корня биквадратного уравнения: $x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = -\sqrt{2}$, $x_3 = \sqrt{3}$ и $x_4 = -\sqrt{3}$.

Составить уравнение можно двумя способами.

Способ 1: Через разложение на множители

Если известны все корни многочлена, его можно представить в виде произведения множителей $(x - x_i)$, где $x_i$ — корни. Для нашего случая уравнение будет иметь вид (для простоты возьмем старший коэффициент равным 1):

$(x - \sqrt{2})(x - (-\sqrt{2}))(x - \sqrt{3})(x - (-\sqrt{3})) = 0$

Упростим выражение:

$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к каждой паре скобок:

$(x^2 - (\sqrt{2})^2)(x^2 - (\sqrt{3})^2) = 0$

$(x^2 - 2)(x^2 - 3) = 0$

Теперь раскроем скобки, чтобы привести уравнение к стандартному виду $ax^4 + bx^2 + c = 0$:

$x^2 \cdot x^2 - 3 \cdot x^2 - 2 \cdot x^2 + (-2) \cdot (-3) = 0$

$x^4 - 3x^2 - 2x^2 + 6 = 0$

$x^4 - 5x^2 + 6 = 0$

Это и есть искомое биквадратное уравнение.

Способ 2: Через замену переменной

Биквадратное уравнение $ax^4 + bx^2 + c = 0$ можно свести к квадратному уравнению с помощью замены $y = x^2$. Получится уравнение $ay^2 + by + c = 0$. Его корнями будут значения квадратов корней исходного уравнения.

Нам даны корни $x_A = \sqrt{2}$ и $x_B = -\sqrt{3}$. Найдем соответствующие значения для $y = x^2$:

$y_1 = (x_A)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$y_2 = (x_B)^2 = (-\sqrt{3})^2 = 3$

Таким образом, корнями вспомогательного квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ являются числа $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

По теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $y^2 + py + q = 0$ с корнями $y_1$ и $y_2$ коэффициенты равны:

$p = -(y_1 + y_2)$

$q = y_1 \cdot y_2$

В нашем случае:

$p = -(2 + 3) = -5$

$q = 2 \cdot 3 = 6$

Значит, квадратное уравнение для $y$ имеет вид:

$y^2 - 5y + 6 = 0$

Теперь выполним обратную замену $y = x^2$, чтобы получить искомое биквадратное уравнение:

$(x^2)^2 - 5(x^2) + 6 = 0$

$x^4 - 5x^2 + 6 = 0$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $x^4 - 5x^2 + 6 = 0$.