Номер 0.46, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.46. При каких значениях $a$ все решения неравенства $x^2-(a^2-2a-3)x-a^3+3a+2 \le 0$ лежат на отрезке $[-2; 4]$?

Пусть $f(x) = x^2 - (a^2 - 2a - 3)x - a^3 + 3a + 2$. Неравенство имеет вид $f(x) \le 0$.Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), ветви параболы $y=f(x)$ направлены вверх.Решением неравенства $f(x) \le 0$ является отрезок, концами которого являются корни уравнения $f(x)=0$. Обозначим эти корни $x_1$ и $x_2$.Чтобы все решения неравенства лежали на отрезке $[-2; 4]$, необходимо и достаточно, чтобы отрезок, являющийся решением (то есть отрезок между корнями), был подмножеством отрезка $[-2; 4]$. Это, в свою очередь, равносильно тому, что оба корня $x_1$ и $x_2$ принадлежат отрезку $[-2; 4]$.

Найдем корни уравнения $x^2 - (a^2 - 2a - 3)x - (a^3 - 3a - 2) = 0$.Вычислим дискриминант $D$ этого квадратного уравнения относительно $x$:
$D = (-(a^2 - 2a - 3))^2 - 4(1)(-(a^3 - 3a - 2)) = (a^2 - 2a - 3)^2 + 4(a^3 - 3a - 2)$.
Разложим на множители выражения с параметром $a$, входящие в дискриминант:
$a^2 - 2a - 3 = (a-3)(a+1)$.
$a^3 - 3a - 2 = (a+1)^2(a-2)$.
Подставим эти выражения в формулу для дискриминанта:
$D = ((a-3)(a+1))^2 + 4(a+1)^2(a-2) = (a+1)^2 \cdot [(a-3)^2 + 4(a-2)]$
$D = (a+1)^2 \cdot [a^2 - 6a + 9 + 4a - 8] = (a+1)^2 \cdot (a^2 - 2a + 1) = (a+1)^2(a-1)^2 = ((a+1)(a-1))^2 = (a^2-1)^2$.

Так как $D=(a^2-1)^2 \ge 0$ при всех действительных $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.Найдем корни $x_1$ и $x_2$:
$x = \frac{(a^2 - 2a - 3) \pm \sqrt{(a^2-1)^2}}{2} = \frac{a^2 - 2a - 3 \pm (a^2-1)}{2}$.
$x_1 = \frac{a^2 - 2a - 3 - (a^2-1)}{2} = \frac{-2a-2}{2} = -a-1$.
$x_2 = \frac{a^2 - 2a - 3 + (a^2-1)}{2} = \frac{2a^2 - 2a - 4}{2} = a^2-a-2$.

Условие того, что все решения лежат на отрезке $[-2; 4]$, означает, что оба корня должны принадлежать этому отрезку. Запишем это в виде системы неравенств:$$ \begin{cases} -2 \le -a-1 \le 4 \\ -2 \le a^2-a-2 \le 4 \end{cases} $$

Решим первое двойное неравенство: $-2 \le -a-1 \le 4$.
Из $-2 \le -a-1$ следует $a \le -1+2$, то есть $a \le 1$.
Из $-a-1 \le 4$ следует $-a \le 5$, то есть $a \ge -5$.
Таким образом, решение первого неравенства: $a \in [-5; 1]$.

Решим второе двойное неравенство: $-2 \le a^2-a-2 \le 4$.
Оно равносильно системе из двух неравенств:
1) $a^2-a-2 \ge -2 \implies a^2-a \ge 0 \implies a(a-1) \ge 0$. Решением является $a \in (-\infty; 0] \cup [1; \infty)$.
2) $a^2-a-2 \le 4 \implies a^2-a-6 \le 0$. Корни квадратного трехчлена $a^2-a-6$ равны -2 и 3. Неравенство $(a+2)(a-3) \le 0$ имеет решение $a \in [-2; 3]$.
Пересекая эти два множества решений, получаем: $a \in ((-\infty; 0] \cup [1; \infty)) \cap [-2; 3] = [-2; 0] \cup [1; 3]$.

Теперь найдем пересечение решений для обоих двойных неравенств, чтобы найти итоговое множество значений $a$:
$a \in [-5; 1] \cap ([-2; 0] \cup [1; 3])$.
Пересечение $a \in [-5; 1]$ с $a \in [-2; 0]$ дает отрезок $a \in [-2; 0]$.
Пересечение $a \in [-5; 1]$ с $a \in [1; 3]$ дает точку $a = 1$.
Объединяя полученные результаты, находим искомые значения параметра $a$: $a \in [-2; 0] \cup \{1\}$.
Ответ: $a \in [-2; 0] \cup \{1\}$.