Номер 0.40, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.40. Постройте графики функций:

1) $y=|2-x^2|$;

2) $y=|x^2+x-2|$;

3) $y=5x^2-7|x|+2$;

4) $y=2x^2-5|x|-3.$

1) $y=|2-x^2|$

Для построения графика функции $y = |f(x)|$, сначала строим график функции $y = f(x)$, а затем часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс (где $y < 0$), симметрично отражаем относительно этой оси.

В данном случае $f(x) = 2 - x^2$.

1. Построим график функции $y = 2 - x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$. Корни уравнения $2 - x^2 = 0$ равны $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$. Это точки пересечения с осью Ox.

2. Теперь применим модуль.

- Если $2 - x^2 \ge 0$, то есть при $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$, график $y = |2 - x^2|$ совпадает с графиком $y = 2 - x^2$.

- Если $2 - x^2 < 0$, то есть при $x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$, график $y = |2 - x^2|$ получается отражением графика $y = 2 - x^2$ относительно оси Ox. Это соответствует функции $y = -(2 - x^2) = x^2 - 2$.

Итоговый график состоит из центральной части параболы $y = 2 - x^2$ (между $x = -\sqrt{2}$ и $x = \sqrt{2}$) и двух ветвей параболы $y = x^2 - 2$ (при $|x| > \sqrt{2}$).

Ответ: График функции $y = |2 - x^2|$ представляет собой "W-образную" кривую, симметричную относительно оси Oy, с вершиной (локальным максимумом) в точке $(0, 2)$ и точками излома (минимумами) в $(\pm\sqrt{2}, 0)$.

2) $y=|x^2+x-2|$

Используем тот же подход, что и в первом задании.

1. Строим график параболы $y = x^2 + x - 2$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$).

- Координаты вершины: $x_v = -b/(2a) = -1/2 = -0.5$. $y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$. Вершина: $(-0.5, -2.25)$.

- Точки пересечения с осью Ox (корни): $x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0 \implies x_1 = -2, x_2 = 1$.

2. Применяем модуль.

- При $x \le -2$ или $x \ge 1$, выражение $x^2 + x - 2 \ge 0$, поэтому график $y = |x^2+x-2|$ совпадает с $y = x^2+x-2$.

- При $-2 < x < 1$, выражение $x^2 + x - 2 < 0$, поэтому график $y = |x^2+x-2|$ получается отражением графика $y = x^2+x-2$ относительно оси Ox. Это соответствует функции $y = -(x^2+x-2) = -x^2-x+2$.

Итоговый график состоит из двух ветвей параболы $y = x^2+x-2$ и отраженного участка этой же параболы между корнями. Вершина исходной параболы $(-0.5, -2.25)$ отражается в точку $(-0.5, 2.25)$, которая становится локальным максимумом.

Ответ: График имеет два минимума (точки излома) на оси Ox в точках $(-2, 0)$ и $(1, 0)$, и локальный максимум в точке $(-0.5, 2.25)$.

3) $y=5x^2-7|x|+2$

Данная функция является чётной, так как $y(-x) = 5(-x)^2 - 7|-x| + 2 = 5x^2 - 7|x| + 2 = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

1. Построим часть графика для $x \ge 0$. При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 5x^2 - 7x + 2$.

- Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -(-7)/(2 \cdot 5) = 0.7$. $y_v = 5(0.7)^2 - 7(0.7) + 2 = 2.45 - 4.9 + 2 = -0.45$. Вершина: $(0.7, -0.45)$.

- Корни уравнения $5x^2 - 7x + 2 = 0$: $x = \frac{7 \pm \sqrt{49-40}}{10} = \frac{7 \pm 3}{10}$. Корни $x_1 = 0.4$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

- При $x=0$, $y=2$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 2)$.

2. Для $x \ge 0$ график начинается в точке $(0, 2)$, спускается до минимума в $(0.7, -0.45)$, пересекая ось Ox в точке $(0.4, 0)$, а затем поднимается, пересекая ось Ox в точке $(1, 0)$.

3. Отражаем полученную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$. Появятся второй минимум в точке $(-0.7, -0.45)$ и еще два корня $x=-0.4$ и $x=-1$.

Ответ: График "W-образной" формы, симметричен относительно оси Oy. Имеет два минимума в точках $(\pm 0.7, -0.45)$ и локальный максимум (излом) в точке $(0, 2)$.

4) $y=2x^2-5|x|-3$

Эта функция также является чётной, так как содержит $|x|$ и $x^2$. Её график симметричен относительно оси Oy.

1. Построим график для $x \ge 0$. В этом случае $|x|=x$, и функция имеет вид $y = 2x^2 - 5x - 3$.

- Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -(-5)/(2 \cdot 2) = 5/4 = 1.25$. $y_v = 2(1.25)^2 - 5(1.25) - 3 = 2(1.5625) - 6.25 - 3 = 3.125 - 9.25 = -6.125$. Вершина: $(1.25, -6.125)$.

- Корни уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$: $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$. Корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -0.5$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только корень $x = 3$.

- При $x=0$, $y=-3$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.

2. Для $x \ge 0$ график начинается в точке $(0, -3)$, спускается до минимума в $(1.25, -6.125)$ и затем поднимается, пересекая ось Ox в точке $(3, 0)$.

3. Отражаем эту часть графика симметрично относительно оси Oy. Получаем второй минимум в $(-1.25, -6.125)$ и второй корень $x = -3$.

Ответ: График "W-образной" формы, симметричен относительно оси Oy. Имеет два минимума в точках $(\pm 1.25, -6.125)$ и локальный максимум (излом) в точке $(0, -3)$.