Номер 0.45, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.45. Для данных функций найдите область определения, область значений, нули, точки разрыва (если есть таковые), промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства и постройте их графики:

1) $y=x^2+2;$

2) $y=3-4x^2;$

3) $y=3x^2-6x+1;$

4) $y=\frac{5}{x-2};$

5) $y=\frac{x}{x+1};$

6) $y=\frac{x+1}{x};$

7) $y=\begin{cases} x-1, \text{если } x \ge 0 \\ -x^2, \text{если } x < 0 \end{cases};$

8) $y=\begin{cases} x^2, \text{если } x \ge 0 \\ \frac{1}{x-1}, \text{если } x < 0 \end{cases}.$

1) $y=x^2+2$

Область определения: Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; 2)$ ($x_в = -b/2a = 0$, $y_в = 0^2+2=2$). Следовательно, минимальное значение функции равно 2. Область значений: $E(y) = [2; +\infty)$.

Нули: Для нахождения нулей решим уравнение $y=0$: $x^2+2=0 \Rightarrow x^2=-2$. Данное уравнение не имеет действительных корней, поэтому у функции нет нулей.

Точки разрыва: Функция является многочленом и непрерывна на всей своей области определения. Точек разрыва нет.

Промежутки возрастания и убывания: Вершина параболы находится в точке $x=0$. Так как ветви направлены вверх, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Поскольку минимальное значение функции равно 2, она всегда положительна. $y>0$ при всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

График функции:

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[2; +\infty)$. Нулей нет. Точек разрыва нет. Убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$. $y>0$ на $(-\infty; +\infty)$.

2) $y=3-4x^2$

Область определения: Функция является многочленом. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: График - парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-4<0$). Вершина в точке $(0; 3)$. Максимальное значение функции равно 3. $E(y) = (-\infty; 3]$.

Нули: $3-4x^2=0 \Rightarrow 4x^2=3 \Rightarrow x^2 = 3/4 \Rightarrow x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. Нули: $x_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}, x_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Точки разрыва: Функция непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

Промежутки возрастания и убывания: Вершина в $x=0$. Функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Ветви параболы направлены вниз. $y>0$ между корнями: $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$. $y<0$ вне этого интервала: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)$.

График функции:

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 3]$. Нули: $x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. Точек разрыва нет. Возрастает на $(-\infty; 0]$, убывает на $[0; +\infty)$. $y>0$ на $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $y<0$ на $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)$.

3) $y=3x^2-6x+1$

Область определения: Многочлен, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: Парабола, ветви вверх ($a=3>0$). Вершина: $x_в = -(-6)/(2 \cdot 3) = 1$. $y_в = 3(1)^2 - 6(1) + 1 = -2$. Точка вершины $(1; -2)$. $E(y) = [-2; +\infty)$.

Нули: $3x^2-6x+1=0$. $D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24$. $x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Точки разрыва: Нет, функция непрерывна.

Промежутки возрастания и убывания: Вершина в $x=1$. Убывает на $(-\infty; 1]$, возрастает на $[1; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Ветви вверх. $y>0$ при $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (1 + \frac{\sqrt{6}}{3}; +\infty)$. $y<0$ при $x \in (1 - \frac{\sqrt{6}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{6}}{3})$.

График функции:

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-2; +\infty)$. Нули: $x = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$. Точек разрыва нет. Убывает на $(-\infty; 1]$, возрастает на $[1; +\infty)$. $y>0$ на $(-\infty; 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (1 + \frac{\sqrt{6}}{3}; +\infty)$, $y<0$ на $(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{6}}{3})$.

4) $y = \frac{5}{x-2}$

Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Область значений: Дробь не может быть равна нулю, так как числитель 5. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Нули: Уравнение $\frac{5}{x-2}=0$ не имеет решений. Нулей нет.

Точки разрыва: Функция не определена в точке $x=2$. Это точка разрыва II рода (вертикальная асимптота).

Промежутки возрастания и убывания: Производная $y' = -\frac{5}{(x-2)^2} < 0$ для всех $x$ из области определения. Функция убывает на каждом из интервалов: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Нулей нет. Знак зависит от знаменателя. Если $x>2$, то $x-2>0$ и $y>0$. Если $x<2$, то $x-2<0$ и $y<0$.

График функции: Гипербола с асимптотами $x=2$ и $y=0$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Нулей нет. Точка разрыва: $x=2$. Убывает на $(-\infty; 2)$ и на $(2; +\infty)$. $y>0$ на $(2; +\infty)$, $y<0$ на $(-\infty; 2)$.

5) $y = \frac{x}{x+1}$

Область определения: $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Область значений: Преобразуем функцию: $y = \frac{x+1-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$. Так как $\frac{1}{x+1} \neq 0$, то $y \neq 1$. $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Нули: $\frac{x}{x+1}=0 \Rightarrow x=0$.

Точки разрыва: Точка разрыва II рода (вертикальная асимптота) при $x=-1$.

Промежутки возрастания и убывания: Производная $y' = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} > 0$. Функция возрастает на $(-\infty; -1)$ и на $(-1; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Методом интервалов (точки $-1$ и $0$). $y>0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$. $y<0$ при $x \in (-1; 0)$.

График функции: Гипербола с асимптотами $x=-1$ и $y=1$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Нуль: $x=0$. Точка разрыва: $x=-1$. Возрастает на $(-\infty; -1)$ и на $(-1; +\infty)$. $y>0$ на $(-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$, $y<0$ на $(-1; 0)$.

6) $y = \frac{x+1}{x}$

Область определения: $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений: $y = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$. Так как $\frac{1}{x} \neq 0$, то $y \neq 1$. $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Нули: $\frac{x+1}{x}=0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

Точки разрыва: Точка разрыва II рода (вертикальная асимптота) при $x=0$.

Промежутки возрастания и убывания: Производная $y' = -\frac{1}{x^2} < 0$. Функция убывает на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Методом интервалов (точки $-1$ и $0$). $y>0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$. $y<0$ при $x \in (-1; 0)$.

График функции: Гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=1$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Нуль: $x=-1$. Точка разрыва: $x=0$. Убывает на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$. $y>0$ на $(-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$, $y<0$ на $(-1; 0)$.

7) $y = \begin{cases} x-1, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: При $x < 0$, $y = -x^2 \in (-\infty; 0)$. При $x \ge 0$, $y = x-1 \in [-1; +\infty)$. Объединяя, получаем $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Нули: При $x \ge 0$, $x-1=0 \Rightarrow x=1$. При $x<0$, $-x^2=0 \Rightarrow x=0$, что не входит в интервал. Единственный нуль: $x=1$.

Точки разрыва: На стыке в точке $x=0$: $\lim_{x\to0^-} y = \lim_{x\to0^-} (-x^2) = 0$. $y(0) = 0-1 = -1$. $\lim_{x\to0^+} y = \lim_{x\to0^+} (x-1) = -1$. Так как $\lim_{x\to0^-} y \neq y(0)$, в точке $x=0$ разрыв I рода (скачок).

Промежутки возрастания и убывания: При $x<0$, $y'=-2x > 0$, функция возрастает. При $x>0$, $y'=1 > 0$, функция возрастает. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и на $[0; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$, так как $y=-x^2<0$. $y<0$ при $x \in [0; 1)$, так как $y=x-1<0$. $y=0$ при $x=1$. $y>0$ при $x \in (1; +\infty)$. Итого, $y<0$ на $(-\infty; 1)$, $y>0$ на $(1; +\infty)$.

График функции:

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Нуль: $x=1$. Точка разрыва: $x=0$. Возрастает на $(-\infty; 0)$ и на $[0; +\infty)$. $y<0$ на $(-\infty; 1)$, $y>0$ на $(1; +\infty)$.

8) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ \frac{1}{x-1}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Область определения: Для $x \ge 0$ функция определена. Для $x < 0$, знаменатель $x-1$ не равен нулю (он всегда меньше -1). $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: При $x \ge 0$, $y=x^2 \in [0; +\infty)$. При $x<0$, $x-1 \in (-\infty; -1)$, тогда $y = \frac{1}{x-1} \in (-1; 0)$. Объединяя, получаем $E(y) = (-1; +\infty)$.

Нули: При $x \ge 0$, $x^2=0 \Rightarrow x=0$. При $x<0$, $\frac{1}{x-1}=0$ не имеет решений. Единственный нуль: $x=0$.

Точки разрыва: На стыке в точке $x=0$: $\lim_{x\to0^-} y = \lim_{x\to0^-} \frac{1}{x-1} = -1$. $y(0) = 0^2 = 0$. $\lim_{x\to0^+} y = \lim_{x\to0^+} x^2 = 0$. Так как $\lim_{x\to0^-} y \neq y(0)$, в точке $x=0$ разрыв I рода (скачок).

Промежутки возрастания и убывания: При $x<0$, $y' = -\frac{1}{(x-1)^2} < 0$, функция убывает. При $x>0$, $y'=2x > 0$, функция возрастает. Убывает на $(-\infty; 0)$, возрастает на $[0; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: При $x<0$, $x-1<0$, поэтому $y=\frac{1}{x-1}<0$. При $x>0$, $y=x^2>0$. При $x=0$, $y=0$. Итак, $y<0$ на $(-\infty; 0)$, $y>0$ на $(0; +\infty)$.

График функции:

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-1; +\infty)$. Нуль: $x=0$. Точка разрыва: $x=0$. Убывает на $(-\infty; 0)$, возрастает на $[0; +\infty)$. $y<0$ на $(-\infty; 0)$, $y>0$ на $(0; +\infty)$.