Номер 0.51, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.51.

1) $|x-2|x^2=10-5x;$

2) $(x^2-5x+6)^2+3|x-3|=0;$

3) $(7x^2-3x-4)^2+|7x+4|(x^2-1)^2=0;$

4) $6x-12=x^2|x-2|.$

1) $|x-2|x^2 = 10-5x$

Сначала преобразуем правую часть уравнения: $10-5x = 5(2-x) = -5(x-2)$.

Теперь уравнение имеет вид: $|x-2|x^2 = -5(x-2)$.

Для решения уравнения с модулем рассмотрим два случая.

Случай 1: Выражение под знаком модуля неотрицательно. $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

В этом случае $|x-2| = x-2$. Уравнение принимает вид:

$(x-2)x^2 = -5(x-2)$

Перенесем все члены в левую часть:

$(x-2)x^2 + 5(x-2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)(x^2+5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Либо $x-2=0$, откуда $x=2$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Либо $x^2+5=0$, откуда $x^2 = -5$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: Выражение под знаком модуля отрицательно. $x-2 < 0$, то есть $x < 2$.

В этом случае $|x-2| = -(x-2)$. Уравнение принимает вид:

$-(x-2)x^2 = -5(x-2)$

Поскольку $x < 2$, то $x-2 \ne 0$. Можем разделить обе части на $-(x-2)$:

$x^2 = 5$

Отсюда $x = \sqrt{5}$ или $x = -\sqrt{5}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < 2$.

$x = \sqrt{5} \approx 2.236$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 2$.

$x = -\sqrt{5} \approx -2.236$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 2$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем два корня.

Ответ: $x = -\sqrt{5}, x = 2$.

2) $(x^2-5x+6)^2 + 3|x-3| = 0$

Это уравнение представляет собой сумму двух слагаемых. Проанализируем каждое из них.

Первое слагаемое $(x^2-5x+6)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(x^2-5x+6)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Второе слагаемое $3|x-3|$ содержит модуль, который также всегда неотрицателен: $|x-3| \ge 0$, а значит и $3|x-3| \ge 0$ для любого $x$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (x^2-5x+6)^2 = 0 \\ 3|x-3| = 0 \end{cases}$

Решим второе уравнение:

$3|x-3| = 0 \implies |x-3| = 0 \implies x-3 = 0 \implies x = 3$.

Теперь подставим найденное значение $x=3$ в первое уравнение, чтобы проверить, является ли оно его решением:

$(3^2 - 5 \cdot 3 + 6)^2 = (9 - 15 + 6)^2 = (0)^2 = 0$.

Равенство выполняется. Следовательно, $x=3$ является единственным решением системы, а значит и исходного уравнения.

Ответ: $x = 3$.

3) $(7x^2-3x-4)^2 + |7x+4|(x^2-1)^2 = 0$

Как и в предыдущем задании, левая часть уравнения является суммой двух неотрицательных слагаемых.

Первое слагаемое $(7x^2-3x-4)^2 \ge 0$, так как это квадрат выражения.

Второе слагаемое $|7x+4|(x^2-1)^2$ является произведением двух неотрицательных множителей ($|7x+4| \ge 0$ и $(x^2-1)^2 \ge 0$), поэтому оно также неотрицательно.

Сумма этих слагаемых равна нулю только в том случае, если оба они равны нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (7x^2-3x-4)^2 = 0 \\ |7x+4|(x^2-1)^2 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует:

$7x^2-3x-4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

$x_{1,2} = \frac{3 \pm 11}{2 \cdot 7}$

$x_1 = \frac{3+11}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$x_2 = \frac{3-11}{14} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы: $|7x+4|(x^2-1)^2 = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

Либо $|7x+4|=0 \implies 7x+4=0 \implies x = -\frac{4}{7}$.

Либо $(x^2-1)^2=0 \implies x^2-1=0 \implies x^2=1 \implies x=1$ или $x=-1$.

Решением исходного уравнения будут те значения $x$, которые удовлетворяют обоим уравнениям системы. Найдем общие корни.

Корни первого уравнения: $\{1, -\frac{4}{7}\}$.

Корни второго уравнения: $\{-\frac{4}{7}, 1, -1\}$.

Общими корнями являются $x=1$ и $x=-\frac{4}{7}$.

Ответ: $x = -\frac{4}{7}, x = 1$.

4) $6x-12 = x^2|x-2|$

Вынесем общий множитель в левой части уравнения: $6(x-2) = x^2|x-2|$.

Рассмотрим два случая раскрытия модуля.

Случай 1: $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

При этом условии $|x-2| = x-2$. Уравнение примет вид:

$6(x-2) = x^2(x-2)$

$6(x-2) - x^2(x-2) = 0$

$(x-2)(6-x^2) = 0$

Отсюда либо $x-2=0 \implies x=2$, либо $6-x^2=0 \implies x^2=6 \implies x = \pm\sqrt{6}$.

Проверим полученные корни на соответствие условию $x \ge 2$.

$x=2$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

$x=\sqrt{6} \approx 2.45$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

$x=-\sqrt{6} \approx -2.45$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Таким образом, в этом случае решениями являются $x=2$ и $x=\sqrt{6}$.

Случай 2: $x-2 < 0$, то есть $x < 2$.

При этом условии $|x-2| = -(x-2)$. Уравнение примет вид:

$6(x-2) = x^2(-(x-2))$

$6(x-2) = -x^2(x-2)$

$6(x-2) + x^2(x-2) = 0$

$(x-2)(6+x^2) = 0$

Отсюда либо $x-2=0 \implies x=2$, что не удовлетворяет условию $x<2$. Либо $6+x^2=0 \implies x^2=-6$, что не имеет действительных корней.

В этом случае решений нет.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, получаем два корня.

Ответ: $x = 2, x = \sqrt{6}$.