Номер 0.53, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.53. При каких значениях параметров a и b три целых корня уравнения $x^4+x^3-18x^2+ax+b=0$ равны между собой?

Пусть данное уравнение $x^4 + x^3 - 18x^2 + ax + b = 0$ имеет три равных целых корня. Обозначим этот кратный целый корень как $k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Пусть четвертый корень уравнения — $x_4$.

Согласно формулам Виета для многочлена четвертой степени, связь между корнями ($x_1=k, x_2=k, x_3=k, x_4$) и коэффициентами уравнения следующая:

1) Сумма корней: $k+k+k+x_4 = 3k+x_4 = -1$

2) Сумма попарных произведений корней: $k \cdot k + k \cdot k + k \cdot x_4 + k \cdot k + k \cdot x_4 + k \cdot x_4 = 3k^2 + 3kx_4 = -18$

3) Сумма произведений корней по три: $k \cdot k \cdot k + k \cdot k \cdot x_4 + k \cdot k \cdot x_4 + k \cdot k \cdot x_4 = k^3 + 3k^2x_4 = -a$

4) Произведение корней: $k \cdot k \cdot k \cdot x_4 = k^3x_4 = b$

Для нахождения $k$ и $x_4$ решим систему из первых двух уравнений. Из первого уравнения выразим $x_4$:$x_4 = -1 - 3k$

Подставим это выражение во второе уравнение:$3k^2 + 3k(-1 - 3k) = -18$$3k^2 - 3k - 9k^2 = -18$$-6k^2 - 3k + 18 = 0$

Разделим обе части на $-3$, чтобы упростить уравнение:$2k^2 + k - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $k$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.Корни уравнения:$k_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$k_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

По условию, $k$ — целый корень, следовательно, подходит только значение $k = -2$.

Теперь найдем четвертый корень $x_4$:$x_4 = -1 - 3k = -1 - 3(-2) = -1 + 6 = 5$.

Используя найденные значения $k=-2$ и $x_4=5$, вычислим параметры $a$ и $b$ из третьего и четвертого уравнений:$a = -(k^3 + 3k^2x_4) = -((-2)^3 + 3(-2)^2 \cdot 5) = -(-8 + 3 \cdot 4 \cdot 5) = -(-8 + 60) = -52$.$b = k^3x_4 = (-2)^3 \cdot 5 = (-8) \cdot 5 = -40$.

Следовательно, искомые значения параметров $a = -52$ и $b = -40$.

Ответ: $a = -52, b = -40$.