Номер 14, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

14. Как разложить квадратный трехчлен на множители?

Квадратный трехчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, причем обязательным условием является $a \neq 0$. Разложить квадратный трехчлен на множители означает представить его в виде произведения, как правило, двух линейных множителей и старшего коэффициента.

Основное правило для разложения квадратного трехчлена на множители основано на его корнях. Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то для трехчлена справедлива следующая формула разложения:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Таким образом, алгоритм разложения состоит из следующих шагов:

1. Приравнять данный квадратный трехчлен к нулю, чтобы получить соответствующее ему квадратное уравнение: $ax^2 + bx + c = 0$.

2. Найти корни этого уравнения. Стандартный способ — через дискриминант. Сначала вычисляется дискриминант ($D$) по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

3. В зависимости от значения дискриминанта возможны три случая:

• Если $D > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня. Они находятся по формулам: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$. В этом случае трехчлен раскладывается на множители.

• Если $D = 0$, то уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня), который вычисляется по формуле: $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$. В этом случае трехчлен является полным квадратом и его разложение выглядит так: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$.

• Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что данный квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

4. Подставить найденные значения корней $x_1$, $x_2$ и коэффициент $a$ в общую формулу разложения.

Рассмотрим применение этого алгоритма на примерах.

Пример 1 ($D > 0$): Разложить на множители трехчлен $2x^2 + 7x - 4$.

1. Составляем уравнение: $2x^2 + 7x - 4 = 0$. Здесь $a=2, b=7, c=-4$.

2. Вычисляем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

3. Так как $D=81 > 0$, уравнение имеет два корня. Находим их:

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

4. Подставляем корни в формулу разложения: $a(x-x_1)(x-x_2)$.

$2x^2 + 7x - 4 = 2(x - \frac{1}{2})(x - (-4)) = 2(x - \frac{1}{2})(x + 4)$.

Можно внести множитель 2 в первую скобку, чтобы избавиться от дроби: $(2x - 1)(x + 4)$.

Пример 2 ($D = 0$): Разложить на множители трехчлен $4x^2 - 20x + 25$.

1. Составляем уравнение: $4x^2 - 20x + 25 = 0$. Здесь $a=4, b=-20, c=25$.

2. Вычисляем дискриминант: $D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 400 - 400 = 0$.

3. Так как $D=0$, уравнение имеет один корень:

$x_1 = x_2 = -\frac{-20}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$

4. Подставляем корень в формулу: $4x^2 - 20x + 25 = 4(x - \frac{5}{2})^2$.

Это выражение является полным квадратом: $4(x - \frac{5}{2})^2 = (2(x - \frac{5}{2}))^2 = (2x - 5)^2$.

Пример 3 ($D < 0$): Разложить на множители трехчлен $x^2 + 2x + 3$.

1. Составляем уравнение: $x^2 + 2x + 3 = 0$. Здесь $a=1, b=2, c=3$.

2. Вычисляем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

3. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, этот трехчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Частный случай: Теорема Виета

Для приведенных квадратных трехчленов (у которых старший коэффициент $a=1$), имеющих вид $x^2 + px + q$, корни можно находить по теореме Виета. Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$, то выполняются равенства: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$. Разложение в этом случае будет иметь вид: $(x-x_1)(x-x_2)$.

Пример 4 (Теорема Виета): Разложить на множители $x^2 - 5x + 6$.

1. Для уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ ищем два числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 6. Методом подбора находим, что это числа 2 и 3.

2. Значит, корни $x_1=2$ и $x_2=3$.

3. Разложение: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Ответ: Чтобы разложить квадратный трехчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, нужно найти корни $x_1$ и $x_2$ соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если корни существуют (то есть дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$), то разложение осуществляется по формуле: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Если действительных корней нет ($D < 0$), разложить трехчлен на линейные множители с действительными коэффициентами невозможно.