Номер 7, страница 4 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7. Какие числовые промежутки вы знаете? Выразите их с помощью неравенств. Приведите пример.

Числовые промежутки — это подмножества множества действительных чисел, которые можно изобразить на числовой прямой в виде интервалов, отрезков или лучей. Вот основные виды числовых промежутков:

1. Открытый интервал (или просто интервал)

Это множество всех чисел, заключенных между двумя числами $a$ и $b$, не включая сами эти числа. Его обозначают круглыми скобками.

Обозначение: $(a; b)$

Запись с помощью неравенства: $a < x < b$

Графическое изображение: На числовой прямой такой промежуток изображается отрезком, концы которого ("выколотые" точки) не закрашены.

Пример: Интервал $(-2; 3)$ включает все числа, которые строго больше -2 и строго меньше 3. Неравенство: $-2 < x < 3$.

Ответ: Открытый интервал $(a; b)$ — это множество чисел $x$, удовлетворяющих строгому двойному неравенству $a < x < b$. Пример: $(-2; 3)$, что соответствует $-2 < x < 3$.

2. Замкнутый интервал (или отрезок)

Это множество всех чисел, заключенных между двумя числами $a$ и $b$, включая сами эти числа. Его обозначают квадратными скобками.

Обозначение: $[a; b]$

Запись с помощью неравенства: $a \le x \le b$

Графическое изображение: На числовой прямой такой промежуток изображается отрезком, концы которого (закрашенные точки) включены в множество.

Пример: Отрезок $[-1; 4]$ включает все числа от -1 до 4, включая -1 и 4. Неравенство: $-1 \le x \le 4$.

Ответ: Замкнутый интервал (отрезок) $[a; b]$ — это множество чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому двойному неравенству $a \le x \le b$. Пример: $[-1; 4]$, что соответствует $-1 \le x \le 4$.

3. Полуинтервал (или полуотрезок)

Это промежуток, у которого один конец включен, а другой — нет. Существует два вида.

а) Промежуток вида $[a; b)$

Обозначение: $[a; b)$

Запись с помощью неравенства: $a \le x < b$

Графическое изображение:

Пример: Полуинтервал $[0; 5)$ включает 0 и все числа до 5, но не само число 5. Неравенство: $0 \le x < 5$.

Ответ: Полуинтервал $[a; b)$ — это множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $a \le x < b$. Пример: $[0; 5)$, что соответствует $0 \le x < 5$.

б) Промежуток вида $(a; b]$

Обозначение: $(a; b]$

Запись с помощью неравенства: $a < x \le b$

Графическое изображение:

Пример: Полуинтервал $(-4; 1]$ включает все числа больше -4 и до 1, включая 1. Неравенство: $-4 < x \le 1$.

Ответ: Полуинтервал $(a; b]$ — это множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $a < x \le b$. Пример: $(-4; 1]$, что соответствует $-4 < x \le 1$.

4. Числовые лучи (бесконечные промежутки)

Это промежутки, у которых один из концов — бесконечность $(+\infty$ или $-\infty)$.

а) Луч $[a; +\infty)$ (включая точку $a$): $x \ge a$. Пример: $[3; +\infty)$ соответствует $x \ge 3$.

б) Открытый луч $(a; +\infty)$ (не включая точку $a$): $x > a$. Пример: $(5; +\infty)$ соответствует $x > 5$.

в) Луч $(-\infty; b]$ (включая точку $b$): $x \le b$. Пример: $(-\infty; 0]$ соответствует $x \le 0$.

г) Открытый луч $(-\infty; b)$ (не включая точку $b$): $x < b$. Пример: $(-\infty; -1)$ соответствует $x < -1$.

Ответ: Числовые лучи — это бесконечные промежутки, задаваемые простыми неравенствами вида $x \ge a$, $x > a$, $x \le b$ или $x < b$. Примеры: $[3; +\infty)$ соответствует $x \ge 3$; $(-\infty; -1)$ соответствует $x < -1$.

5. Числовая прямая

Это множество всех действительных чисел.

Обозначение: $(-\infty; +\infty)$ или $\mathbb{R}$

Запись с помощью неравенства: Неравенством не выражается, так как включает все числа. Иногда формально записывают как $-\infty < x < +\infty$.

Графическое изображение: Вся числовая ось.

Пример: Множество всех чисел на числовой прямой.

Ответ: Числовая прямая $(-\infty; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.