Номер 4, страница 4 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4. Какие числа называются действительными и как вы понимаете множество действительных чисел?

Какие числа называются действительными

Действительными (или вещественными) числами называются все числа, которые можно расположить на числовой прямой. Множество действительных чисел, обозначаемое символом $\mathbb{R}$, является объединением множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел.

1. Рациональные числа ($\mathbb{Q}$)
Это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число (принадлежит множеству $\mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральное число (принадлежит множеству $\mathbb{N}$). В виде десятичной дроби рациональные числа являются либо конечными, либо бесконечными периодическими.
К рациональным числам относятся:
- Натуральные числа ($\mathbb{N}$): $1, 2, 3, 100, ...$
- Целые числа ($\mathbb{Z}$): $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$
- Дробные числа: $\frac{1}{2} = 0.5$; $\quad -\frac{3}{4} = -0.75$; $\quad \frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$.

2. Иррациональные числа ($\mathbb{I}$)
Это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. В виде десятичной дроби они являются бесконечными непериодическими.
Известные примеры иррациональных чисел:
- Число $\pi$ (отношение длины окружности к её диаметру): $\pi \approx 3.14159265...$
- Число $e$ (основание натурального логарифма): $e \approx 2.71828182...$
- Корни из чисел, не являющихся точными квадратами: $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$, $\sqrt{3}$ и т.д.

Таким образом, множество действительных чисел $\mathbb{R}$ — это совокупность всех рациональных и иррациональных чисел: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$.

Ответ: Действительные числа — это все рациональные и иррациональные числа вместе взятые, то есть все числа, которые можно расположить на числовой прямой.

Как вы понимаете множество действительных чисел

Понимание множества действительных чисел основывается на его ключевых свойствах и концепциях:

1. Геометрическая модель (числовая прямая). Множество действительных чисел можно наглядно представить в виде бесконечной прямой линии. Каждой точке этой прямой соответствует ровно одно действительное число, и каждому действительному числу — ровно одна точка. Это взаимно-однозначное соответствие помогает визуализировать упорядоченность и непрерывность чисел. На рисунке ниже показана числовая прямая с целыми числами, а также отмечены положения иррациональных чисел: красной точкой — число $\sqrt{2}$, а синей — число $\pi$.

2. Свойство непрерывности (полноты). Это фундаментальное отличие действительных чисел от рациональных. На числовой прямой, состоящей только из рациональных чисел, существуют "пробелы" или "дыры" — места, где должны находиться иррациональные числа. Множество действительных чисел заполняет все эти пробелы, образуя сплошную, непрерывную линию. Это свойство означает, что любой отрезок на числовой прямой, как бы мал он ни был, содержит действительные числа. Непрерывность является основой математического анализа (понятий предела, производной, интеграла).

3. Упорядоченность. Для любых двух различных действительных чисел $a$ и $b$ всегда выполняется одно из трех соотношений: $a < b$ (a меньше b), $a > b$ (a больше b) или $a = b$. Это позволяет сравнивать любые два действительных числа и располагать их в строгом порядке на числовой прямой.

4. Алгебраическая структура. На множестве действительных чисел определены операции сложения и умножения, которые обладают привычными свойствами (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность), а также для каждого числа существует противоположное и для каждого ненулевого — обратное. Это делает множество $\mathbb{R}$ упорядоченным полем.

Ответ: Множество действительных чисел понимается как непрерывная (без "пробелов"), упорядоченная совокупность всех рациональных и иррациональных чисел, которую наглядно представляет числовая прямая и которая служит основой для измерения непрерывных величин и для математического анализа.