Номер 11, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

11. Сформулируйте теорему Виета и обратную ей теорему.

Приведите пример.

Теорема Виета

Эта теорема устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Она особенно удобна для приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений, где старший коэффициент (при $x^2$) равен единице.

Формулировка для приведенного квадратного уравнения:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ равна его второму коэффициенту $p$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$.

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения (при условии, что они существуют), то:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Формулировка для полного квадратного уравнения:

Для полного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$), если $x_1$ и $x_2$ являются его корнями, то справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Ответ: Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ утверждает, что если $x_1$ и $x_2$ являются его корнями, то их сумма $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

Обратная теорема Виета

Эта теорема позволяет, зная два числа, составить квадратное уравнение, для которого они будут являться корнями, или проверить, являются ли два числа корнями заданного уравнения.

Формулировка:

Если числа $m$ и $n$ таковы, что их сумма равна $-p$ ($m + n = -p$), а их произведение равно $q$ ($m \cdot n = q$), то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Ответ: Обратная теорема Виета утверждает, что если для чисел $m$ и $n$ выполняются равенства $m + n = -p$ и $m \cdot n = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Пример

Применение теоремы Виета для нахождения корней:

Рассмотрим уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Здесь $p = -5$ и $q = 6$. По теореме Виета для его корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться условия:

$x_1 + x_2 = -(-5) = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Подбором находим, что этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $3$. Проверяем: $2 + 3 = 5$ и $2 \cdot 3 = 6$. Значит, $x_1=2$ и $x_2=3$ — корни данного уравнения.

Применение обратной теоремы Виета для составления уравнения:

Составим приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа $-4$ и $1$.

Пусть $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Найдем коэффициенты $p$ и $q$ для уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Согласно обратной теореме Виета:

$p = -(x_1 + x_2) = -(-4 + 1) = -(-3) = 3$

$q = x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot 1 = -4$

Следовательно, искомое уравнение имеет вид: $x^2 + 3x - 4 = 0$.

Ответ: Пример применения теоремы Виета: для уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ сумма корней равна $5$, произведение равно $6$, откуда корни — $2$ и $3$. Пример применения обратной теоремы: для составления уравнения с корнями $-4$ и $1$ находим $p = -(-4+1)=3$ и $q=(-4)\cdot1=-4$, что дает уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$.