Номер 13, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

13. Укажите общие элементы и различия понятий квадратного уравнения, квадратного трехчлена и квадратичной функции. Приведите пример.

Квадратный трехчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a \neq 0$. Это просто алгебраическое выражение.

Квадратное уравнение — это равенство вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — неизвестное, которое нужно найти, а $a, b, c$ — коэффициенты, причем $a \neq 0$. Задача состоит в нахождении корней уравнения.

Квадратичная функция — это функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), $y$ — зависимая переменная (значение функции), а $a, b, c$ — коэффициенты, причем $a \neq 0$. Она описывает зависимость между двумя переменными, ее график — парабола.

Общие элементы

Все три понятия основаны на одном и том же математическом объекте — выражении $ax^2 + bx + c$ с обязательным условием $a \neq 0$. Коэффициенты $a, b$ и $c$ имеют схожее значение для каждого из понятий. Например, дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является ключевой характеристикой для всех трех:
• Для квадратного трехчлена он определяет, можно ли разложить его на линейные множители с действительными коэффициентами.
• Для квадратного уравнения он определяет количество действительных корней (два при $D > 0$, один при $D = 0$, ноль при $D < 0$).
• Для квадратичной функции он определяет количество точек пересечения ее графика (параболы) с осью абсцисс (Ox). Эти точки называются нулями функции.

Различия

Ключевые различия заключаются в их математической сущности и целях их использования.
Сущность: Трехчлен — это выражение, уравнение — это равенство, а функция — это зависимость (правило).
Задача:
• С трехчленом мы выполняем алгебраические преобразования (например, раскладываем на множители).
• Уравнение мы решаем, то есть ищем конкретные значения переменной $x$ (корни), которые обращают равенство в верное числовое тождество.
• Функцию мы исследуем: находим ее область определения и значений, строим ее график, ищем экстремумы (вершину параболы) и т.д.
Результат:
• Результатом работы с трехчленом является другое выражение (например, его разложение на множители).
• Результатом решения уравнения является набор чисел — его корни.
• Результатом исследования функции является ее график и описание ее свойств. Корни соответствующего квадратного уравнения являются нулями функции (абсциссами точек пересечения графика с осью Ox).

Пример

Рассмотрим структуру на основе коэффициентов $a=1, b=-5, c=6$.
• Квадратный трехчлен: $x^2 - 5x + 6$. Мы можем его разложить на множители: $(x-2)(x-3)$.
• Квадратное уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Решая его, находим корни: $x_1 = 2, x_2 = 3$.
• Квадратичная функция: $y = x^2 - 5x + 6$. Это функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Вершина параболы находится в точке $(2.5, -0.25)$. Нули функции (точки пересечения с осью Ox) — это $x=2$ и $x=3$, что совпадает с корнями соответствующего уравнения.

Ответ: Общим для квадратного уравнения, трехчлена и функции является алгебраическая структура $ax^2 + bx + c$ при $a \neq 0$. Различия заключаются в их природе и назначении: трехчлен — это выражение для преобразований; уравнение — это равенство для нахождения корней; функция — это зависимость для исследования и построения графика. Например, для выражения $x^2 - 5x + 6$: это квадратный трехчлен; $x^2 - 5x + 6 = 0$ — это квадратное уравнение с корнями 2 и 3; $y = x^2 - 5x + 6$ — это квадратичная функция, график которой (парабола) пересекает ось Ox в точках $x=2$ и $x=3$.