Номер 2, страница 4 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2. Что называется арифметическим квадратным корнем?
Какие его свойства вы знаете?

Что называется арифметическим квадратным корнем?

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.
Обозначается арифметический квадратный корень символом $\sqrt{}$. Таким образом, запись $\sqrt{a} = b$ означает, что одновременно выполняются два условия:
1. $b \ge 0$ (значение корня — неотрицательное число).
2. $b^2 = a$ (квадрат этого числа равен подкоренному выражению).
Из определения следует, что подкоренное выражение $a$ также должно быть неотрицательным ($a \ge 0$), так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным.
Например, $\sqrt{36} = 6$, потому что $6 \ge 0$ и $6^2 = 36$.
Важно отметить, что, хотя и $(-6)^2 = 36$, число $-6$ не является арифметическим квадратным корнем, так как оно отрицательное. Выражение $\sqrt{-16}$ не имеет смысла в области действительных чисел, потому что нельзя найти такое действительное число, квадрат которого был бы равен $-16$.

Ответ: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Какие его свойства вы знаете?

Существует несколько основных свойств арифметического квадратного корня, которые используются для упрощения выражений. Для всех свойств предполагается, что подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатели не равны нулю.

1. Корень из произведения
Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.
Для $a \ge 0$ и $b \ge 0$: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Пример: $\sqrt{144} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3 \cdot 4 = 12$.

2. Корень из частного (дроби)
Корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
Для $a \ge 0$ и $b > 0$: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
Пример: $\sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \frac{5}{7}$.

3. Корень из квадрата и другой четной степени
Для любого действительного числа $a$ верно тождество: $\sqrt{a^2} = |a|$.
Использование модуля обязательно, так как результат извлечения арифметического корня должен быть неотрицательным.
Пример: $\sqrt{(-10)^2} = \sqrt{100} = 10$, что равно $|-10|$. Если бы мы не использовали модуль, мы бы получили неверный результат $-10$.
В общем виде: для любого натурального $n$: $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$.

4. Возведение корня в квадрат
При возведении арифметического квадратного корня в квадрат получается подкоренное выражение.
Для $a \ge 0$: $(\sqrt{a})^2 = a$.
Пример: $(\sqrt{7})^2 = 7$.

5. Сравнение корней
Из двух неотрицательных чисел большему числу соответствует больший арифметический квадратный корень, и наоборот.
Если $a > b \ge 0$, то $\sqrt{a} > \sqrt{b}$.
Пример: Так как $17 > 16$, то $\sqrt{17} > \sqrt{16}$, то есть $\sqrt{17} > 4$.

6. Вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня
Вынесение: $\sqrt{a^2 \cdot b} = |a|\sqrt{b}$ (при $b \ge 0$).
Пример: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.
Внесение: $c \cdot \sqrt{b} = \sqrt{c^2 \cdot b}$ (при $c \ge 0, b \ge 0$).
Пример: $5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.

Ответ: Основные свойства включают правила для корня из произведения, дроби и степени ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$; $\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}$; $\sqrt{a^2} = |a|$), а также тождество $(\sqrt{a})^2 = a$ и правила для сравнения корней, вынесения и внесения множителя.